Felix Hausdorff

Felix Hausdorff (født 8. november 1868 i Breslau ; død 26. januar 1942 i Bonn ) var en tysk matematiker .

Han betragtes som en medstifter af generel topologi og yder betydelige bidrag til generel og beskrivende sætteori , målteori , funktionel analyse og algebra . Hans sidste stol var i Bonn.

Ud over sit job arbejdede han også som en filosofisk forfatter og bogstavmand under pseudonymet Paul Mongré . Han blev forfulgt af nationalsocialisterne og begik selvmord for at undgå koncentrationslejrsystemet .

Liv og arbejde

Barndom og ungdomsår

Hausdorffs far, den jødiske købmand Louis Hausdorff (1843–1896), flyttede med sin unge familie til Leipzig i efteråret 1870 og ledede gennem årene forskellige virksomheder på Leipziger Brühl , herunder en butik til linned og bomuld . Han var en uddannet mand og havde optjent Morenu- titlen i en alder af 14 år . Der er adskillige afhandlinger fra hans pen, herunder et længere arbejde med de aramatiske oversættelser af Bibelen set fra perspektivet af Talmudisk lov.

Hausdorffs mor Hedwig (1848–1902), som også kaldes Johanna i forskellige dokumenter, kom fra den omfattende jødiske Tietz-familie. Hermann Tietz , grundlægger af det første stormagasin og senere medejer af stormagasinkæden "Hermann Tietz" , kom også ud af en gren af ​​denne familie . I løbet af det nationalsocialistiske diktatur blev dette "araniseret" under navnet Hertie .

Fra 1878 og derefter deltog Felix Hausdorff i Nicolai-Gymnasium i Leipzig, en institution, der havde et fremragende ry som en børnehave for humanistisk uddannelse. Han var en fremragende studerende, top i sin klasse i årevis og blev ofte beæret af det faktum, at han fik lov til at recitere sine egne latinske eller tyske digte ved skolefester. I sin Abitur-klasse i 1887 (med to topprima ) var han den eneste, der opnåede den samlede karakter "I".

Valget af emne var ikke let for Hausdorff. Magda Dierkesmann, der var hyppig gæst i Hausdorffs hus som studerende i Bonn fra 1926 til 1932, rapporterede i 1967:

For Abitur blev beslutningen taget til fordel for naturvidenskaben.

Undersøgelser, doktorgrad og habilitering

Fra sommersemestret 1887 til sommersemestret 1891 studerede Hausdorff matematik og astronomi , hovedsageligt i sit hjemland Leipzig, afbrudt af hvert semester i Freiburg im Breisgau (sommersemester 1888) og Berlin (vintersemester 1888/1889). De overlevende undersøgelsesrapporter viser ham som en ekstraordinært alsidig ung mand, der ud over de matematiske og astronomiske forelæsninger også deltog i forelæsninger i fysik, kemi og geografi samt forelæsninger om filosofi og filosofihistorie samt om emner i lingvistik, litteratur og samfundsvidenskab. I Leipzig hørte han musikologen Pauls foredrag om musikhistorien. Hans tidlige kærlighed til musik varede hele livet; I Hausdorffs hus var der imponerende musikaftener med værten ved klaveret som vidnesbyrd om forskellige deltagere. Selv som Leipzig-studerende var han en beundrer og kender af Richard Wagners musik .

I de sidste semestre af hans studier fulgte Hausdorff nøje Heinrich Bruns (1848–1919). Bruns var professor i astronomi og direktør for observatoriet ved universitetet i Leipzig. Med ham modtog Hausdorff sin doktorgrad i 1891 med arbejdet med teorien om astronomisk brydning om lysbrydning i atmosfæren. Dette blev efterfulgt af to yderligere publikationer om det samme emne og i 1895 habiliteringen med en afhandling om udryddelse af lys i atmosfæren. Disse tidlige astronomiske værker af Hausdorff har trods deres fremragende matematiske gennemgang ikke opnået nogen betydning. På den ene side har den underliggende idé om Bruns vist sig at være uholdbar (astronomiske refraktionsobservationer nær horisonten var påkrævet, som - som Julius Bauschinger var i stand til at vise lidt senere - i princippet ikke kan opnås med den krævede nøjagtighed) . På den anden side gjorde fremskridt i den direkte måling af atmosfæriske data (ballonopstigninger) meget hurtigt den besværlige beregning af disse data fra refraktionsobservationer unødvendig. I tiden mellem doktorgrad og habilitering afsluttede Hausdorff den etårige frivillige militærtjeneste og arbejdede som computer ved Leipzig observatoriet i to år .

Privatlærer i Leipzig

Med sin habilitering blev Hausdorff privatlærer ved universitetet i Leipzig og begyndte omfattende undervisningsaktiviteter inden for en bred vifte af matematiske områder. Ud over at undervise og forske i matematik forfulgte han sine litterære og filosofiske tilbøjeligheder. Som en mand med forskellige interesser, omfattende uddannet, meget følsom og differentieret i tænkning, følelse og oplevelse, forbandt han sig med en række kendte forfattere, kunstnere og udgivere som Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein og Max Klinger under sin tid i Leipzig , Max Reger og Frank Wedekind . Årene 1897 til omkring 1904 markerer højdepunktet i hans litterære og filosofiske arbejde; I løbet af denne tid blev 18 af de 22 skrifter, der blev offentliggjort under et pseudonym, udgivet, herunder et lyrik af poesi, et skuespil, en epistemologisk bog og en mængde aforismer .

Hausdorff giftede sig med Charlotte Goldschmidt i 1899, datter af den jødiske læge Siegismund Goldschmidt fra Bad Reichenhall. Hans stedmor var den berømte kvindelige rettighedsaktivist og førskolelærer Henriette Goldschmidt . Hausdorffs eneste barn, datter Lenore (Nora), blev født i 1900; hun overlevede nazitiden og døde meget gammel i 1991 i Bonn.

Aktivitetssteder som professor

I december 1901 blev Hausdorff udnævnt adjungeret professor ved universitetet i Leipzig. Den ofte gentagne påstand om, at Hausdorff modtog et opkald fra Göttingen og afviste det, kan ikke arkiveres og er sandsynligvis forkert. Da dekan Kirchner ansøgte i Leipzig, følte han sig tvunget til at tilføje følgende tilføjelse til den meget positive stemme fra specialkollegerne, skrevet af Heinrich Bruns:

Denne tilføjelse fremhæver den skjulte antisemitisme , som især efter grundlæggernes nedbrud i 1873 havde et stærkt opsving i hele det tyske imperium. Leipzig var et centrum for den antisemitiske bevægelse, især blandt studerende. Dette kan have været en af ​​grundene til, at Hausdorff ikke følte sig særlig behagelig ved Leipzig Universitet; En anden var måske den eftertrykkeligt hierarkiske opførsel af Leipzig Ordinaries, hvor lektor var irrelevant.

Efter at have afsluttet sin habilitering skrev Hausdorff en afhandling om optik, en om ikke-euklidisk geometri og en om hyper-komplekse talesystemer samt to artikler om sandsynlighedsteori . Hans vigtigste arbejdsområde blev dog snart sætteori, især teorien om ordnede sæt. Det var oprindeligt en filosofisk interesse, der fik ham til at studere Georg Cantors arbejde omkring 1897 . Allerede i sommersemestret 1901 holdt Hausdorff et foredrag om sætteori. Dette var overhovedet en af ​​de første foredrag om sætteori, kun Ernst Zermelos kollegium i Göttingen i vintersemestret 1900/1901 var lidt tidligere. Cantor selv har aldrig læst om sætteori. Denne forelæsning indeholder Hausdorffs første sætteoretiske opdagelse: Typeklassen for alle tællelige ordretyper har styrken af kontinuumet . Imidlertid var denne sætning allerede at finde i Felix Bernsteins afhandling.

I sommersemestret 1910 blev Hausdorff udnævnt til en planlagt lektor ved Universitetet i Bonn. I Bonn begyndte han med en forelæsning om sætteori, som han gentog i sommersemestret 1912, i alt væsentligt revideret og udvidet.

I sommeren 1912 begyndte arbejdet med hans magnum opus, bogen Basic Features of Set Theory, der blev offentliggjort i april 1914.

Hausdorff blev udnævnt til fuld professor ved universitetet i Greifswald i sommersemestret 1913 . Dette universitet var det mindste blandt de preussiske universiteter. Det matematiske institut var også lille; i sommersemestret 1916 og i vintersemestret 1916/17 var Hausdorff den eneste matematiker i Greifswald. Dette betød, at hans undervisning næsten fuldstændig var optaget af de grundlæggende forelæsninger.

Det betød en betydelig forbedring af hans videnskabelige situation, at Hausdorff blev udnævnt til Bonn i 1921. Her var han i stand til at udvikle en bred undervisningsaktivitet og gentagne gange præsentere den nyeste forskning. Særligt bemærkelsesværdigt er for eksempel et foredrag om sandsynlighedsteori (NL Hausdorff: Kapsel 21: Fasz. 64.) fra sommersemestret 1923, hvor han grundlagde denne teori aksiomatisk og med hensyn til masseteori, og dette ti år før AN Kolmogoroffs grundlæggende begreber om sandsynlighedsberegning (trykt fuldt ud i de samlede værker, bind V). I Bonn havde Hausdorff fremragende matematikere som kolleger og venner med Eduard Study og senere med Otto Toeplitz .

Hausdorff under det nationalsocialistiske diktatur

Når de nationalsocialisterne kom til magten, antisemitisme blev staten doktrin. Hausdorff blev oprindeligt ikke direkte berørt af " loven om genopretning af den professionelle offentlige tjeneste ", der blev vedtaget i 1933 , da han var tysk embedsmand før 1914. Imidlertid blev han sandsynligvis ikke skånet for det faktum, at en af ​​hans forelæsninger blev afbrudt af nationalsocialistiske studerende. Så han afbrød sin forelæsning om calculus III fra vintersemestret 1934/35 den 20. november. Da der i dag fandt sted en arbejdskonference for det nationalsocialistiske tyske studenterunion (NSDStB) på Bonn University , hvor det blev fastslået, at arbejdets fokus i det nuværende semester var emnet "Race og etnicitet", er det meget sandsynligt, at Hausdorff opgav foredraget har at gøre med denne begivenhed, fordi han aldrig har afbrudt en forelæsning i sin lange karriere som universitetslektor.

Den 31. marts 1935 trak Hausdorff sig til sidst efter nogle frem og tilbage. De ansvarlige på det tidspunkt fandt ikke et takord for 40 års vellykket arbejde inden for tysk videregående uddannelse. Han arbejdede utrætteligt og ud over den udvidede nye udgave af sin sætteori udgav syv artikler om topologi og beskrivende sætteori, som alle optrådte i polske tidsskrifter: en i Studia Mathematica , resten i Fundamenta Mathematicae .

Hausdorffs ejendom viser også, at han i de stadig sværere tider arbejdede konstant matematisk og forsøgte at følge den aktuelle udvikling inden for de områder, der interesserede ham. Erich Bessel-Hagen støttede ham uselvisk ved ikke kun at være loyal over for Hausdorff-familien i venskab, men også få bøger og magasiner fra instituttets bibliotek, som Hausdorff ikke længere fik lov til at komme ind som jøde.

Der er meget kendt fra forskellige kilder om den ydmygelse, som Hausdorff og hans familie blev udsat for, især efter novemberpogromerne i 1938 , f.eks. B. fra Bessel-Hagens breve.

I 1939 forsøgte Hausdorff forgæves at få et stipendium i USA gennem matematikeren Richard Courant for at være i stand til at emigrere.

I midten af ​​1941 begyndte Bonn-jøderne endelig at blive deporteret til klosteret "For evig tilbedelse" i Bonn-Endenich , hvorfra nonnerne var blevet udvist. Derefter fulgte transporten til udryddelseslejrene i øst. Efter at Felix Hausdorff, hans kone og hans kones søster, Edith Pappenheim, der boede hos dem, modtog ordren i januar 1942 om at flytte til Endeich-lejren, døde de sammen den 26. januar 1942 ved at tage en overdosis af veronal . Hendes sidste hvilested er på Poppelsdorf kirkegård i Bonn. Mellem ordren i det midlertidige lagerfacilitet og selvmordet gav han sin håndskrevne ejendom til egyptologen og præster Hans Bonnet , som i vid udstrækning var i stand til at redde ham fra et bomberamt trods hans hus blev ødelagt.

Nogle jøder i Bonn kan have haft nogle illusioner om Endeich- forsamlingslejren - men ikke Hausdorff selv. E. Neuenschwander opdagede også afskedsbrevet i Bessel-Hagen-ejendommen, som Hausdorff havde skrevet til den jødiske advokat Hans Wollstein; her begynder og slutter på brevet:

Efter at have takket venner og efter at have udtrykt sine sidste ønsker om begravelsen og viljen med stor ro, fortsætter Hausdorff:

Hausdorffs sidste skriftlige ønske blev ikke opfyldt: advokat Wollstein blev myrdet i Auschwitz .

Hausdorffs bibliotek blev solgt af hans svigersøn og eneste arving Arthur König. Den håndskrevne ejendom blev overtaget til opbevaring af en familieven, Bonn-egyptologen Hans Bonnet. I dag er det på universitetet og statsbiblioteket i Bonn . Godset er katalogiseret.

Arbejde og reception

Hausdorff som filosof og forfatter (Paul Mongré)

Hans volumen aforismer fra 1897 var Hausdorffs første værk, der optrådte under pseudonymet Paul Mongré ( à mon gré betyder: efter mine ønsker, som jeg kan lide det). Det bærer titlen Sant 'Ilario. Tanker fra landskabet i Zoroaster. Undertitlen til Sant 'Ilario "Tanker fra landskabet i Zarathustra" henviser til, at Hausdorff afsluttede sin bog, mens han slappede af på den liguriske kyst omkring Genova, og at Friedrich Nietzsche skrev de to første dele af Also sprach Zarathustra i dette område ; han henviser også til den åndelige nærhed til Nietzsche. I en selvreklame af Sant 'Ilario i den ugentlige Die Zukunft anerkendte Hausdorff udtrykkeligt Nietzsche.

Hausdorff forsøgte ikke at kopiere Nietzsche eller endda at overgå den. "Intet spor af Nietzsche-efterligning", står det i en nutidig gennemgang. Ved siden af ​​Nietzsche stræber han efter at frigøre individuel tænkning, tage friheden til at sætte spørgsmålstegn ved traditionelle normer. Hausdorff holdt en kritisk afstand fra Nietzsches sene arbejde. I sit essay om bogen Der Wille zur Macht (Viljen til magt) , udarbejdet af Nietzsches noter efterladt af Nietzsche Archive , står der:

Hausdorff tog sin kritiske målestok fra Nietzsche selv,

I 1898 - også under pseudonymet Paul Mongré - blev Hausdorffs epistemologiske forsøg The Chaos in Cosmic Selection offentliggjort. Den metafysiske kritik, der blev præsenteret i denne bog, havde sit udgangspunkt i Hausdorffs analyse af Nietzsches idé om det evige tilbagevenden . Når alt kommer til alt er pointen at endelig ødelægge enhver form for metafysik. Vi ved intet, og vi kan ikke vide noget om verden selv , om den transcendente kerne i verden - som Hausdorff udtrykker det. Vi er nødt til at forudsætte "verden i sig selv" som ubestemt og ubestemmelig, som blot kaos. Verden af ​​vores oplevelse, vores kosmos, er resultatet af udvælgelsen, den udvælgelse, som vi altid ufrivilligt har foretaget og fortsætter med at gøre i henhold til vores videnmuligheder. Set fra dette kaos ville enhver anden orden, anden kosmoi, også kunne tænkes. Under alle omstændigheder kan man ikke drage nogen konklusion fra vores kosmos verden til en transcendent verden.

I 1904 optrådte Hausdorffs stykke , enakterne The Doctor of His Honor , i magasinet Die neue Rundschau . Det er en rå satire på dueller og på de traditionelle æresbegreber for adelen og det preussiske officerkorps, der blev mere og mere anakronistisk i det borgerlige samfund under udvikling. Hans ærelæge var Hausdorffs største litterære succes. Der var adskillige forestillinger i mere end tredive byer mellem 1904 og 1918. Hausdorff skrev senere en epilog til stykket, men det blev ikke udført på det tidspunkt. Det var først i 2006, at denne epilog havde premiere på den årlige konference for den tyske matematikerforening i Bonn.

Foruden ovennævnte værker skrev Hausdorff adskillige essays, der optrådte i datidens førende litterære tidsskrifter, samt et volumen digte Ekstasen (1900). Nogle af hans digte blev sat på musik af den østrigske komponist Joseph Marx .

Bestilt sætteori

Hausdorff indtræden i en grundig undersøgelse af bestilte sæt blev motiveret ikke mindst af Cantor 's kontinuum problem , som stiller den kardinal nummer indtager i serien . I et brev til Hilbert dateret 29. september 1904 sagde han, at dette problem havde " plaget ham næsten som en monomani ". Han så i sætningen en ny strategi til at tackle problemet. Cantor mistænkt; var kun bevist . er "antallet" af mulige velordrer i et tællbart sæt ; havde nu vist sig at være “nummeret” på alle mulige ordrer i et sådant sæt. Det var derfor fornuftigt at undersøge ordrer, der er mere specifikke end enhver ordre, men mere generelle end velordnede ordrer. Dette er præcis, hvad Hausdorff gjorde i sin første sætteoretiske publikation i 1901 med studiet af "graduerede sæt". Det er kendt fra resultaterne af Kurt Gödel og Paul Cohen, at denne strategi til løsning af kontinuumproblemet var lige så mislykket som Cantors strategi, som havde til formål at anvende Cantor-Bendixsons sætning fra lukkede sæt til vilkårlige utallige punktsæt generaliserede. ${\ displaystyle \ aleph = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ mathrm {card} (T (\ aleph _ {0})) = \ aleph}$${\ displaystyle \ aleph = \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph \ geq \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph}$

I 1904 offentliggjorde Hausdorff rekursionsformlen opkaldt efter ham :

Følgende gælder for alle ikke-begrænsede tal${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ mu} ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ mu} \; \ aleph _ {\ mu -1} ^ {\ aleph _ {\ alpha}}. }$

Denne formel blev sammen med begrebet begrænsning , som senere blev introduceret af Hausdorff , grundlaget for alle yderligere resultater på Alep-eksponentiering . Præcis viden om problemet med rekursionsformler af denne art gjorde det muligt for Hausdorff at  afdække fejlen i Julius Königs forelæsning på den internationale matematikerkongres 1904 i Heidelberg. König havde sagt der, at kontinuumet ikke kunne ordnes ordentligt, det vil sige, at dets hovednummer slet ikke var en aleph; han havde skabt en fornemmelse med det. Erklæringen om, at det var Hausdorff, der ryddede fejlen, er særlig vigtig, fordi historisk litteratur har tegnet et forkert billede af begivenhederne i Heidelberg i mere end 50 år.

I årene 1906 til 1909 falder Hausdorffs grundlæggende værker om bestilte mængder. Her kan kun få punkter berøres kort. Begrebet integritet introduceret af Hausdorff er af grundlæggende betydning for hele teorien. Et ordinalnummer kaldes regelmæssigt, hvis det ikke er begrænset med noget mindre ordinalnummer, ellers ental. Hausdorffs spørgsmål om, hvorvidt der er regelmæssige starttal med et grænseindeks, var udgangspunktet for teorien om uopnåelige hovedtal. Hausdorff havde allerede bemærket, at sådanne tal, hvis de findes, skulle være af "ublu størrelse".

Den følgende sætning af Hausdorff er af grundlæggende betydning: For hvert ordnet ubegrænset tæt sæt er der to entydigt bestemte regelmæssige startnumre, således at med confinal, med (* betegner den omvendte rækkefølge) er mønten. For eksempel giver denne sætning en teknik til at karakterisere huller og elementer i ordnede sæt. Hausdorff brugte det hul og elementære tegn, som han havde introduceret. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}, \ omega _ {\ eta}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ eta} ^ {*}}$

Hvis der er et givet sæt tegn (element- og mellemrumstegn), opstår spørgsmålet, om der er ordnede sæt, hvis sæt sæt er ens . Det er relativt let at finde en nødvendig betingelse for . Hausdorff lykkedes at vise, at denne betingelse også er tilstrækkelig, dvs. for alle, der opfylder betingelsen, er der et ordnet sæt, der har tegnsættet. Til dette har du brug for et rigt reservoir med bestilte mængder; Hausdorff var i stand til at opnå dette med sin teori om de generelt bestilte produkter og styrker. Sådanne interessante strukturer som de normale Hausdorff- typer findes i dette reservoir ; I forbindelse med deres studier formulerede Hausdorff den generaliserede kontinuumhypotese for første gang. Hausdorffs mængder udgjorde udgangspunktet for undersøgelsen af ​​de mættede strukturer, der er så vigtige i modelteorien .${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$

Hausdorffs generelle produkter og styrker havde også ført ham til begrebet det delvist bestilte sæt. Desuden viste de endelige graderinger af sekvenser eller funktioner, som han studerede i detaljer, at være delordrer. Problemet med, om der er maksimalt ordnede delmængder (Hausdorff kaldte dem pantachia) uden huller i disse delvist ordnede sæt er det ældste stadig uløste problem i sætteori. Spørgsmålet om, hvorvidt der er et maksimalt bestilt delmængde, der indeholder hvert bestilt delmængde af et delvist ordnet sæt, blev besvaret positivt af Hausdorff ved hjælp af den velordnede sætning. Dette er det maksimale kædesæt, der er opkaldt efter ham i dag . Det følger ikke kun af den velordnede sætning (eller af det valgte aksiom, der svarer til det), men som det viste sig senere, svarer det endda til det valgte aksiom.${\ displaystyle \ omega _ {1} \ omega _ {1} ^ {*}}$

Så tidligt som i 1908 havde Arthur Moritz Schoenflies i anden del af sin rapport om sætteori erklæret, at den nyere teori om ordnede sæt (dvs. udvidelser af denne teori ifølge Cantor) næsten udelukkende skyldtes Hausdorff.

Den opus magnum "Principles of Set Theory"

Sætteori i forståelsen af ​​dette område på det tidspunkt omfattede ikke kun generel sætteori, men også teorien om punktsæt samt indholds- og målteori. Hausdorffs arbejde var den første lærebog, der systematisk og med fuldstændig dokumentation præsenterede hele teorisættet i denne omfattende forstand. Hausdorff var klar over, hvor let det menneskelige sind kan fejle i stræben efter strenghed og sandhed. I forordet til de vigtigste træk lover han :

Denne bog gik langt ud over den mesterlige skildring af det velkendte. Den indeholdt et antal væsentlige originale bidrag fra forfatteren, som kun kan kortfattes nedenfor.

De første seks kapitler i det grundlæggende handler om generel sætteori. Øverst sætter Hausdorff en detaljeret sæt algebra med delvist nye, fremadrettede koncepter (kæder af forskelle, sæt af ringe og sæt af sæt og systemer). Disse indledende afsnit om sæt og deres forbindelser indeholder for eksempel også det moderne sætteoretiske funktionsbegreb ; de giver så at sige fremtidens matematiske sprog. Kapitel 3 til 5 efterfølges af den klassiske teori om hovedtal, ordretyper og ordinære tal . I det sjette kapitel "Forholdet mellem ordnede og velordnede sæt" præsenterer Hausdorff blandt andet de vigtigste resultater af sin egen forskning på ordnede sæt. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ sigma}$

I kapitlerne om "punktsæt" - de topologiske kapitler - udviklede Hausdorff først en systematisk teori om topologiske rum baseret på hans velkendte miljøaksiomer , og opfordrede desuden til aksiomet for adskillelse, som senere blev opkaldt efter ham . Denne teori fremgår af en omfattende syntese af tidligere tilgange fra andre matematikere og Hausdorffs egne refleksioner over det rumlige problem. Begreberne og propositionerne i den klassiske punktsætteori overføres - så vidt muligt - til det generelle tilfælde og dermed en del af den nyoprettede generelle eller sætteoretiske topologi. Men Hausdorff udfører ikke kun dette "oversættelsesarbejde", han udvikler også grundlæggende konstruktionsmetoder for topologien såsom kernedannelse (åben kerne, selvstændig kerne ) og skaldannelse ( lukket skal ), og han arbejder på den grundlæggende betydning af konceptet med det åbne sæt (fra ham "Area") og kompakthedskonceptet introduceret af Fréchet . Han etablerer og udvikler også teorien om forholdet , især ved at introducere udtrykkene "komponent" og "kvasi-komponent". ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Ved hjælp af det første og endelig det andet Hausdorff-optællingsaksiom er de betragtede rum gradvist yderligere specialiserede. De metriske rum danner en stor klasse af rum, der tilfredsstiller det første aksiom for tællbarhed . De blev introduceret i 1906 af Fréchet under navnet "klasser (E)". Udtrykket "metrisk rum" kommer fra Hausdorff. Han udviklede systematisk de grundlæggende funktioner i teorien om metriske rum og berigede den med en række nye koncepter: Hausdorff-metrics, færdiggørelse, total begrænsning, kontekst, reducerbare sæt. Fréchets arbejde havde fået lidt opmærksomhed; Det var kun gennem Hausdorffs grundlæggende træk, at metriske rum blev matematikers fælles ejendom. ${\ displaystyle \ rho}$

Kapitlet om illustrationer og det sidste kapitel om de vigtigste elementer i teorien om foranstaltning og integration også fængslende på grund af den generelle betydning af den holdning, og originaliteten af præsentationen. Hausdorffs henvisning til vigtigheden af ​​målingsteorien til beregning af sandsynligheden havde - skønt lakonisk korthed - haft en stor historisk effekt. Dette kapitel indeholder også det første korrekte bevis på Émile Borels stærke lov om stort antal . Endelig indeholder tillægget det sandsynligvis det mest spektakulære individuelle resultat af hele bogen, nemlig Hausdorffs forslag om, at man kan definere et indhold til delmængder , der ikke er begrænset til alle. Beviset er baseret på Hausdorffs paradoksale nedbrydning af kugler, til hvis produktion man har brug for det valgte aksiom.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 3}$

I løbet af det 20. århundrede blev det standarden at opbygge matematiske teorier aksiomatisk ved hjælp af sætteori. Oprettelsen af ​​aksiomatisk baserede generelle teorier, såsom generel topologi, tjente blandt andet til at fjerne den fælles strukturelle kerne fra forskellige konkrete tilfælde eller underområder og derefter oprette en abstrakt teori, der indeholdt alle disse dele som specialtilfælde og som gav store fordele Forenkling, standardisering og dermed i sidste ende en tankeøkonomi medført. Hausdorff selv dette aspekt har de vigtigste funktioner fremhævet. Set på denne måde er de topologiske kapitler i de grundlæggende træk metodisk en banebrydende præstation, og i den henseende pegede de vejen for udviklingen af ​​moderne matematik.

De grundlæggende i mængdelære dukkede i en allerede anspændt tid på tærsklen til Første Verdenskrig . I august 1914 begyndte krigen, som også dramatisk påvirkede det videnskabelige liv i Europa. Under disse omstændigheder kunne Hausdorffs bog næppe have nogen virkning i de første fem til seks år efter dens udgivelse. Efter krigen satte en ung ny generation af forskere sig for at tage de forslag op, der er så rigeligt indeholdt i dette arbejde, med utvivlsomt topologi som fokus for interesse. Tidsskriftet Fundamenta Mathematicae, der blev grundlagt i Polen i 1920, spillede en særlig rolle i modtagelsen af ​​Hausdorffs ideer . Det var en af ​​de første matematiske specialtidsskrifter med fokus på sætteori, topologi, teori om virkelige funktioner, måle- og integrationsteori, funktionel analyse, logik og matematikens grundlæggende. Den generelle topologi var af særlig betydning i dette spektrum. Hausdorffs hovedtræk var til stede i Fundamenta Mathematicae med bemærkelsesværdig frekvens fra første bind. Af de 558 værker (ikke medregnet Hausdorffs egne tre værker), der optrådte i de første tyve bind fra 1920 til 1933, citerer 88 hovedtrækkene. Man skal også tage højde for, at Hausdorffs konceptuelle formationer i stigende grad blev almindelig kendskab, så de også bruges i en række værker, der ikke udtrykkeligt navngiver ham.

Den russiske topologiske skole, der blev grundlagt af Paul Alexandroff og Paul Urysohn , var også i vid udstrækning baseret på Hausdorffs hovedtræk. Korrespondancen med Urysohn og især Alexandroff og også Urysohns Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , et værk på størrelse med en bog, hvor Urysohn udvikler sin teori om dimensioner og hvor hovedtrækkene er citeret ikke mindre end 60 gange, vidner om dette.

Hausdorffs bog var meget efterspurgt længe efter Anden Verdenskrig, og Chelsea havde tre genoptryk i 1949, 1965 og 1978.

Beskrivende sætteori, målteori og analyse

I 1916 løste Hausdorff og Alexandroff kontinuumproblemet for Borel-sæt uafhængigt af hinanden : Hvert Borelsæt i et komplet, adskilleligt metrisk rum kan enten højst tælles, eller det har kontinuummets tykkelse. Dette resultat generaliserer Cantor-Bendixsons sætning, der afgiver en sådan erklæring for lukkede sæt af . For lineære mængder havde William Henry Young i 1903, for mængder opnåede Hausdorff 1914 i det grundlæggende et passende resultat. Teoremet om Alexandroff og Hausdorff var en stærk drivkraft for den videre udvikling af beskrivende sætteori.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle G _ {\ delta}}$${\ displaystyle G _ {\ delta \ sigma \ delta}}$

Fra Hausdorffs publikationer i Greifswald-perioden skiller især værket fra 1919 Dimension og ydre dimensioner sig ud . Det har været meget aktuelt den dag i dag og er sandsynligvis det mest citerede originale matematiske arbejde fra årtiet fra 1910 til 1920 i de senere år. Dette arbejde introducerer de begreber, der i dag er kendt som Hausdorff-dimensionen og Hausdorff-dimensionen .

Hausdorffs dimensionskoncept er et fint instrument til karakterisering og sammenligning af "stærkt sprækkede sæt". Begreberne dimension og ekstern måling er blevet brugt og videreudviklet inden for adskillige områder såsom teorien om dynamiske systemer, geometrisk målteori, teorien om selvlignende sæt og fraktaler , teorien om stokastiske processer, harmonisk analyse, potentialteori og talteori.

Et væsentligt analytisk arbejde fra Hausdorff faldt ind i hans anden periode i Bonn. I summeringsmetoder og øjeblikkelige sekvenser I , i 1921, udviklede han en hel klasse af summeringsmetoder til divergerende serier , som nu kaldes Hausdorff-metoder . I Hardys klassiske Divergent Series er et helt kapitel viet til Hausdorff-processen. De klassiske processer fra Hölder og Cesàro viste sig at være specielle Hausdorff-processer. Hver Hausdorff-metode er givet ved en række øjeblikke; I denne sammenhæng gav Hausdorff en elegant løsning på øjeblikkets problem i et endeligt interval og omgå teorien om fortsatte fraktioner. I øjeblikkelige problemer i et begrænset interval af 1923 behandlede han mere specifikke øjeblikkelige problemer, for eksempel med visse begrænsninger for genereringstætheden , f.eks. B. . Kriterier for opløselighed og sikkerhed for øjeblikkelige problemer besatte Hausdorff i mange år, som hundreder af sider med studier i hans ejendom vidner om.${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ varphi (x) \ i L ^ {p} [0,1]}$

Et vigtigt bidrag til den funktionelle analyse, der udviklede sig i tyverne, var Hausdorffs oversættelse af Fischer-Riesz's sætning på -Rume i 1923 til en udvidelse af Parsevals sætning om Fourier-serien. Der beviste han de uligheder, der er opkaldt efter ham og W. H. Young i dag. De Hausdorff-Young ulighederne er blevet udgangspunktet for vidtrækkende nye udviklinger.${\ displaystyle L ^ {p}}$

I 1927 blev Hausdorffs bogsætteori udgivet. Det blev erklæret som 2. udgave af de grundlæggende funktioner , men faktisk en helt ny bog. Da omfanget var betydeligt begrænset i forhold til de grundlæggende træk på grund af udseendet i Göschens undervisningsbibliotek , blev store dele af teorien om ordnede sæt og teorien om måling og integration udeladt. ”Mere end disse sletninger vil måske blive fortrudt” (så Hausdorff i forordet), “at jeg har givet afkald på det topologiske synspunkt, hvorigennem den første udgave tilsyneladende har fået mange venner, for at spare yderligere plads i punkt sæt teori og koncentrere sig om den enkle teori om metriske rum ”.

Faktisk har nogle korrekturlæsere udtrykkeligt beklaget dette. Som en slags kompensation præsenterede Hausdorff den daværende nuværende tilstand af beskrivende sætteori for første gang. Denne kendsgerning sikrede, at bogen modtog næsten lige så intens modtagelse som de grundlæggende træk , især i Fundamenta Mathematicae. Det var meget populært som lærebog; I 1935 dukkede en udvidet ny udgave op; dette blev genoptrykt på Dover i 1944. En engelsk oversættelse blev offentliggjort i 1957 med genoptryk i 1962 og 1967.

Der er også en russisk udgave (1937), som imidlertid kun delvis er en trofast oversættelse og dels en revision af Alexandroff og Kolmogorow , som bragte det topologiske synspunkt tilbage. I 1928 blev en gennemgang af sætteori udgivet af Hans Hahn . Hahn har måske allerede haft fare for tysk antisemitisme i tankerne, da han lukkede dette møde med følgende sætning:

Det sidste arbejde

I sit sidste arbejde, Expansion of a Continuous Mapping , viste Hausdorff i 1938, at en kontinuerlig kortlægning kontinuerligt kan udvides fra en lukket delmængde af et metrisk rum til det hele (billedrummet skal muligvis udvides). Især kan hver homeomorfisme udvides fra til en homeomorfisme til helt . Dette arbejde fortsætter forskningen fra tidligere år. I 1919 havde Hausdorff blandt andet givet et nyt simpelt bevis for Tietzes fortsættelse i Om halvkontinuerlige funktioner og deres generalisering . I 1930 viste han følgende i en udvidelse af en homeomorfisme : Hvis et metrisk rum lukkes, og en ny måling introduceres uden at ændre topologien, kan den nye metrik udvides til hele rummet, samtidig med at den gamle topologi opretholdes. Arbejdsområderne Trådte Spaces blev offentliggjort i 1935, her Hausdorff anset rum, der opfylder de Kuratovskian shell aksiomer bortset fra aksiom af idempotent af den skallen operatør . Han kalder dem trappede rum (i dag ofte omtalt som lukningsrum ) og bruger dem til at studere forholdet mellem de Fréchetian Limes rum og de topologiske rum . Det vigtigste arbejde i 1930'erne er Sums of Quantities. Det fandt en ekstraordinær reaktion i sætteorien om den "tvangs æra" (nøgleordet " Hausdorff huller "). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F \ delmængde E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Hausdorff som navnebror

Navnet Hausdorff findes ofte i matematik, blandt andet følgende blev opkaldt efter ham:

• Hausdorff værelse
• Hausdorff foranstaltning
• Hausdorff dimension
• Hausdorff-konvergens
• Hausdorff metrisk
• Hausdorffs maksimale kædesætning
• Hausdorff separationsaksiom
• Hausdorff huller
• Hausdorff-ung ulighed
• Baker-Campbell-Hausdorff formel
• Hausdorffs Gδ-sætning

På universiteterne i Bonn og Greifswald blev han navngivet til hans ære:

• som blev grundlagt i slutningen af ​​2006 Excellence Cluster Hausdorff Center for Mathematics i Bonn,
• den Hausdorff Research Institute for Matematik i Bonn, og at
• det internationale mødecenter Felix Hausdorff i Greifswald.

Der er også Hausdorffstrasse i Bonn, hvor han engang boede (husnummer 61). I Greifswald er der en Felix-Hausdorff-Straße, hvor institutterne for biokemi og fysik er placeret. Den nyindrettede Hausdorffweg har eksisteret i Gohlis- Mitte- distriktet i Leipzig siden 2011 .

Asteroiden (24947) Hausdorff blev opkaldt efter ham.

Skrifttyper

Som Paul Mongré

Fra de essays, der er nævnt i teksten, gives der kun et valg her.

• Sant 'Ilario. Tanker fra landskabet i Zoroaster. Forlag CG Naumann, Leipzig 1897.
• Kaoset i kosmisk udvælgelse - et epistemologisk forsøg. Forlag CG Naumann, Leipzig 1898; Genudskrivning, red. og med et forord af Max Bense. Agis-Verlag, Baden-Baden 1976, ISBN 3-87007-013-7 .
• Masse lykke og individuel lykke. Neue Deutsche Rundschau (Free Stage) 9 (1), (1898), s. 64–75.
• Det urene århundrede. Neue Deutsche Rundschau (Free Stage) 9 (5), (1898), s. 443–452.
• Ekstasier. Digtebog. Udgiver H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
• Viljen til magten. I: Neue Deutsche Rundschau (Free Stage) 13 (12) (1902), s. 1334–1338.
• Max Klingers Beethoven. Journal of Fine Arts, New Series 13 (1902), s. 183–189.
• Sprogkritik. Neue Deutsche Rundschau (Free Stage) 14 (12), (1903), s. 1233-1258.
• Hans æres læge, grotesk. I: Die neue Rundschau (Free Stage) 15 (8), (1904), s. 989-1013. Ny udgave som: Hans ære doktor. Komedie i en handling med en epilog. Med 7 portrætter, træsnit af Hans Alexander Müller efter tegninger af Walter Tiemann, 10 ark, 71 s. Femte regelmæssige udgivelse af Leipziger Bibliophilen-Evenings, Leipzig 1910. Genoptryk: S. Fischer, Berlin 1912, 88 s.

Som Felix Hausdorff

• Bidrag til beregningen af ​​sandsynligheden Ber. om Royal's forhandlinger Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig. Matematik Fys. Classe 53 (1901), s. 152-178.
• Om en slags ordnet sæt. Ber. om Royal's forhandlinger Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig. Matematik Fys. Classe 53 (1901), s. 460-475.
• Rumproblemet. Indledende forelæsning ved universitetet i Leipzig, der blev afholdt den 4. juli 1903. Ostwalds Annalen der Naturphilosophie 3 (1903), s. 1-23.
  • Også i: Herbert Beckert, Walter Purkert: Leipzig Mathematical Inaugural Lectures. Udvælgelse fra årene 1869–1922. BG Teubner, Leipzig 1987 (med biografi).
• Kraftkonceptet i sætteori. Årsrapport for DMV 13 (1904), s. 569-571.
• Undersøgelser af ordretyper I, II, III. Ber. om Royal's forhandlinger Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig. Math.-phys. \ Klasse 58 (1906), s. 106-169.
• Undersøgelser af ordretyper IV, V. Ber. om Royal's forhandlinger Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig. Matematik Fys. Klasse 59 (1907), s. 84-159.
• Om tætte ordretyper. Årsberetning for DMV 16 (1907), s. 541-546.
• Konturer af en teori om ordnede sæt. Matematik Annalen 65 (1908), s. 435-505.
• Gradueringen efter det afsluttende kursus. Afhandlinger fra Royal. Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig. Matematik Fys. Klasse 31 (1909), s. 295-334.
• Grundlæggende om sætteori . Forlag Veit & Co, Leipzig. 476 s. Med 53 tal. Genoptryk: Chelsea Pub. Co., 1949, 1965, 1978.
• Borelens magt sætter. Matematik Annalen 77 (1916), s. 430-437.
• Dimension og eksternt mål. Matematik Annalen 79 (1919), s. 157-179.
• Om semi-kontinuerlige funktioner og deres generalisering. Math. Journal 5 (1919), s. 292-309.
• Sammenfatningsmetoder og øjeblikkelige sekvenser I , II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: s. 74-109, II: s. 280-299.
• En udvidelse af Parsevals sætning over Fourier-serien. Math. Zeitschrift 16 (1923), s. 163-169.
• Momentproblemer i et begrænset interval. Matematik Zeitschrift 16 (1923), s. 220-248.
• Sætteori. Anden revideret udgave. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 s. Med 12 figurer.
• Udvidelse af et homeomorphy. (PDF; 389 kB), Fundamenta Mathematicae 16 (1930), s. 353-360.
• Om teorien om lineære metriske rum. Tidsskrift for ren og anvendt matematik 167 (1931/32), s. 294-311.
• Om indre billeder. Fundamenta Mathematicae 23 (1934), s. 279-291.
• Sætteori. Tredje udgave. Med et ekstra kapitel og et par tilføjelser. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 s. Med 12 figurer. Genoptryk: Dover Pub. New York, 1944. Engelsk udgave: Set theory. Oversættelse fra tysk af J. R. Aumann et al., Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
• Tredobbelt værelser. (PDF; 1,2 MB), Fundamenta Mathematicae 25 (1935), s. 486–502.
• Summen af ​​beløb . ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$Fundamenta Mathematicae 26 (1936), s. 241-255.
• Udvidelse af et kontinuerligt kort. (PDF; 450 kB), Fundamenta Mathematicae 30 (1938), s. 40–47.
• Ældre skrifter. 2 bind. Red.: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. bind I indeholder fascicles 510-543, 545-559, 561-577, Volume II fascicles 578-584, 598-658 (alle fascicles er gengivet i fax).

Samlede værker

Projektet "Hausdorff Edition" ( E. Brieskorn  (†), F. Hirzebruch  (†), W. Purkert , R. Remmert  (†) og E. Scholz ) har kommenteret og revideret med forfattere fra Tyskland og fire andre lande Estate materiale suppleret udgave af de indsamlede værker tacklet og i mellemtiden afsluttet. Over tyve matematikere, historikere, filosoffer og litteraturvidenskab arbejdede sammen. Udgaven blev støttet som et langsigtet projekt af North Rhine-Westphalian Academy of Sciences and Arts indtil udgangen af ​​2011 og finansieret som en del af akademiprogrammet . Udgaven består af ni bind, hvoraf bind I er i to underdele. Bindene blev udgivet mellem 2001 og 2020 af Springer-Verlag , Heidelberg.

• Volumen IA: Generel sætteori. 2013, ISBN 978-3-642-25598-4 .
• Bind IB: Felix Hausdorff - Paul Mongré (biografi). 2018, ISBN 978-3-662-56380-9 .
• Bind II: principper for sætteori (1914). 2002, ISBN 978-3-540-42224-2 .
• Bind III: sætteori (1927, 1935); Beskrivende sætteori og topologi. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7 .
• Bind IV: analyse, algebra og talteori. 2001, ISBN 978-3-540-41760-6 .
• Bind V: Astronomi, optik og sandsynlighedsteori. 2006, ISBN 978-3-540-30624-5 .
• Volumen VI: Geometri, rum og tid. 2020, ISBN 978-3-540-77838-7 .
• Bind VII: Filosofisk arbejde. 2004, ISBN 978-3-540-20836-5 .
• Bind VIII: litterært arbejde. 2010, ISBN 978-3-540-77758-8 .
• Bind IX: Korrespondance. 2012, ISBN 978-3-642-01116-0 .

litteratur

• Pavel Alexandroff , Heinz Hopf : Topologi. Springer-Verlag, Berlin 1935.
• Egbert Brieskorn : Gustav Landauer og matematikeren Felix Hausdorff. I: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer i samtale - Symposium til 125-årsdagen. Tübingen 1997, s. 105-128.
• Egbert Brieskorn (red.): Felix Hausdorff til mindet. Aspekter af hans arbejde. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 1996.
• Egbert Brieskorn, Walter Purkert : Felix Hausdorff biografi. (Bind IB af udgaven), Springer, Heidelberg 2018.
• Joachim Buhrow: En stor matematiker, drevet til sin død af nazistregimet i 1942. I: Wolfgang Wilhelmus : Den fascistiske pogrom fra 9./10. November 1938 - om jødernes historie i Pommern. Sammen med Julia Männchen. Colloquium of the History and Theology Sections of Ernst Moritz Arndt University Greifswald den 2. november 1988. Videnskabelige bidrag fra Ernst Moritz Arndt University Greifswald, 1989.
• SD Chatterji: Felix Hausdorff som målteoretiker. Matematiske semesterrapporter 49 (2002), s. 129–143.
• E. Eichhorn, E.-J. Thiele: Foredrag til minde om Felix Hausdorff. Heldermann Verlag, Berlin 1994, ISBN 3-88538-105-2 .
• M. Epple : Felix Hausdorffs betragtede epiricisme. I: JJ Gray, J. Ferreiros (red.): Arkitektur for moderne matematik. Essays i historie og filosofi. Oxford 2006.
• Hans-Joachim Girlich : Felix Hausdorff og anvendt matematik. I: Herbert Beckert , Horst Schumann (Hrsg.): 100 års matematisk seminar ved Karl Marx University i Leipzig. German Science Publishing House, Berlin 1981.
• P. Koepke, V. Kanovei: Beskrivende sætteori i Hausdorffs grundlæggende sæt sætteori. 2001 ( math.uni-bonn.de, PDF).
• Wolfgang Krull:  Hausdorff, Felix. I: Ny tysk biografi (NDB). Bind 8, Duncker & Humblot, Berlin 1969, ISBN 3-428-00189-3 , s. 111 f. ( Digitaliseret version ).
• GG Lorentz: Felix Hausdorffs matematiske arbejde. Årsrapport for DMV 69 (1967), 54 (130) - 62 (138).
• Werner Stegmaier : En matematiker i landskabet i Zarathustra. Felix Hausdorff som filosof. Nietzsche Studies 31 (2002), 195-240.
• Walter Purkert : Kontinuumproblem og trivsel - Felix Hausdorff og begivenhederne på 3. internationale matematikerkongres i Heidelberg. I: M. Folkerts, U. Hashagen, R. Seising (red.): Form, antal og rækkefølge. Festschrift for Ivo Schneider. Stuttgart 2004, s. 223-241.
• Walter Purkert : The Double Life of Felix Hausdorff / Paul Mongré. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, s. 36 ff.
• Walter Purkert: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematiker - filosof - bogstavmand . Hausdorff Center for Matematik, Bonn 2013.
• U. Roth: Sprogkritikken er en handling. Paul Mongrés undersøgelse af F. Mauthers "Bidrag til en kritik af sprog". Tidsskrift for tysk lingvistik. 30, 1 (2002).
• F. Vollhardt: Fra social historie til kulturstudier? Matematikeren Felix Hausdorffs (1868–1942) litterære-essayistiske skrifter: Indledende bemærkninger med en systematisk hensigt. I: M. Huber, G. Lauer (Hrsg.): Efter social historie - begreber til en litterær undersøgelse mellem historisk antropologi, kulturhistorie og medieteori. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, s. 551-573.
• S. Wagon: Banach-Tarski-paradokset. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
• Hausdorff, Felix. I: Leksikon for tysk-jødiske forfattere . Bind 10: Güde - Hein. Redigeret af Bibliographia Judaica arkivet. Saur, München 2002, ISBN 3-598-22690-X , s. 262-268.

Weblinks

• Litteratur af og om Felix Hausdorff i kataloget over det tyske nationalbibliotek
• Oversigt over Felix Hausdorffs kurser ved universitetet i Leipzig (sommersemester 1896 til sommersemester 1910)
• Felix Hausdorff i professorskataloget ved Leipzig Universitet
• Hjemmesiden til Hausdorff Edition
• Felix Hausdorffs ejendom i ULB Bonn
• Hausdorff-Koenig-ejendom i ULB Bonn
• Felix Hausdorff - Paul Mongré. Biografi af Prof. W. Purkert (PDF-fil; 508 kB)
• Spektrum .de: Felix Hausdorff (1868–1942) 1. november 2018

Individuelle beviser

1. ^ Arkiv af universitetet i Leipzig, PA 547.
2. ^ E. Neuenschwander: Felix Hausdorffs sidste leveår ifølge dokumenter fra Bessel-Hagen-ejendommen. I: Brieskorn 1996, s. 253-270.
3. ^ Bessel-Hagen ejendom, Bonn University Archives. Trykt i Brieskorn 1996, s. 263-264 og i fax s. 265-267.
4. ^ Walter Purkert: Felix Hausdorffs afskedsbrev . I: Birgit Bergmann, Moritz Epple (red.): Jødiske matematikere i tysktalende akademisk kultur . Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-69250-8 , Bonn, s. 90-108 , doi : 10.1007 / 978-3-540-69252-2_7 ( Wikisource ). 
5. ↑ Se finde hjælp fra Hausdorff-ejendommen.
6. ↑ Niedersachsen Stats- og universitetsbibliotek i Göttingen, Manuskriptafdeling, afdeling i Hilbert, nr.
7. ↑ Nærmere oplysninger kan findes i de samlede værker, bind II, s. 9-12.
8. ↑ H.: Samlede værker. Bind II: Grundlæggende sæt sætteori. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg osv. 2002. Kommentarer af U. Felgner, s. 598–601.
9. ↑ H.: Samlede værker. Bind II: Grundlæggende sæt sætteori. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg osv. 2002. s. 604-605.
10. ↑ Se essayet af U. Felgner: Hausdorff-teorien om mængder og deres historie om effekter. ${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$I H.: Samlede værker. Bind II: Grundlæggende sæt sætteori. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg osv. 2002. s. 645-674.
11. ↑ Se om dette og om lignende sætninger af Kuratowski og Zorn U. Felgners kommentar i de samlede værker, bind II, s. 602–604.
12. ↑ A. Schoenflies: Udviklingen af teorien om det punkt mangfoldigheder. Del II. Årsberetning for DMV, 2. supplerende bind, Teubner, Leipzig 1908, s. 40.
13. ↑ For historien om virkningerne af Hausdorffs sfæriske paradoks, se Collected Works, bind IV, s. 11–18; også artiklen af ​​P. Schreiber i Brieskorn 1996, s. 135-148, og monografien Wagon 1993.
14. ^ P. Urysohn: Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes. (PDF; 6,2 MB), Fundamenta Math. 7 (1925), s. 30-137; 8, s. 225-351 (1926).
15. Alexand P. Alexandroff: Sur la puissance des ensembles mesurables B. Comptes rendus Acad. Sci. Paris 162 (1916), s. 323-325.
16. ^ WH Young: Om undervisningen i de ufuldstændige punktsæt. Rapporter om Royal's forhandlinger Saksisk. Ges. Wiss. til Leipzig, Math.-Phys. Klasse 55 (1903), s. 287-293.
17. ↑ Alexandorff, Hopf 1935, s. 20. For mere information se Samlede værker, bind II . S. 773–787.
18. ↑ For historien om virkningerne af dimension og eksterne dimensioner, se artiklerne af Bandt / Haase og Bothe / Schmeling i Brieskorn 1996, s. 149–183 og s. 229–252 samt kommentaren af ​​S. D. Chatterji i The Collected Works, bind IV, s. 44-54 og den citerede litteratur der.
19. ↑ For det samlede kompleks af disse værker og ejendomsstudier, se Collected Works Volume IV, s. 105–171, 191–235, 255–267 og 339–373.
20. ↑ Se kommentaren fra S. D. Chatterji i Gesammelte Werken, bind IV, s. 182–190.
21. ^ H. Hahn: F. Hausdorff, sætteori. Månedlige bøger til matematik og fysik 35 (1928), 56–58.
22. ^ Hausdorffstrasse i Bonn gadekadaster
23. ↑ Rådsmøde den 18. maj 2011 (resolution nr. RBV-822/11), officiel meddelelse: Leipzig EU-Tidende nr. 11 af 4. juni 2011, i kraft siden 5. juli 2011 og 5. august 2011. Se Leipziger Official Tidsskrift nr. 16 af 10. september 2011.
24. ↑ Akademiprogram. ( Memento fra 18. maj 2015 i internetarkivet ).
25. ↑ DNB-dataene giver også en oversigt over alle volumener .
26. ↑ Anmeldelse af Jeremy Gray af bind 1a, 3, 8, 9, Bulletin AMS, bind 51, 2014, 169-172.

personlig data
EFTERNAVN	Hausdorff, Felix
ALTERNATIVE NAVNE	Mongré, Paul (pseudonym)
KORT BESKRIVELSE	Tysk matematiker
FØDSELSDATO	8. november 1868
FØDSELSSTED	Wroclaw
DØDSDATO	26. januar 1942
DØDSSTED	Bonn