Sætteori
Den mængdelære er en grundlæggende gren af matematikken , der beskæftiger sig med studiet af kvantitet , dvs. resuméer af genstande anvendt. Al matematik, som det normalt undervises i dag, er formuleret på sprog for sætteori og er baseret på sætteoriens aksiomer . De fleste matematiske objekter, der behandles i underområder som algebra , analyse , geometri , stokastik eller topologi , for blot at nævne nogle få, kan defineres som sæt. Målt på dette er sætteori en meget ung videnskab; Det var først efter, at den grundlæggende krise i matematik blev overvundet i det tidlige 20. århundrede, at sætteori var i stand til at indtage sin nuværende, centrale og grundlæggende plads i matematik.
historie
19. århundrede
Sætteori blev grundlagt af Georg Cantor mellem 1874 og 1897. I stedet for udtrykket mængde brugte han oprindeligt ord som "indbegrebet" eller "mangfoldighed"; Han talte om sæt og sætteori først senere. I 1895 formulerede han følgende definition af mængder:
"Ved et 'sæt' forstår vi enhver kombination M af visse godt differentierede objekter m i vores intuition eller vores tænkning (som kaldes 'elementerne' i M) til en helhed."
Cantor klassificerede sætene, især de uendelige, efter deres tykkelse . For endelige sæt er dette antallet af deres elementer. Han kaldte to sæt lige magt , hvis de kan kortlægges bijectively til hinanden, det vil sige, hvis der er en en-til-en-forhold mellem deres elementer. Den på denne måde definerede ensartethed er en ækvivalensrelation, og kardinaliteten eller kardinaltalet for et sæt M er ifølge Cantor ækvivalensklassen af sætene med samme styrke som M. Han var sandsynligvis den første til at bemærke, at der er forskellige uendelige kræfter. Sættet med naturlige tal og alle sæt med samme styrke som dem kaldes tæller ifølge Cantor , alle andre uendelige sæt kaldes utallige .
- Vigtige resultater fra Cantor
- Sætene af naturlige , rationelle ( Cantors første diagonale argument ) og algebraiske tal kan tælles og er derfor ens.
- Sættet med reelle tal har større magt end det af naturlige tal, så det kan ikke tælles ( Cantors andet diagonale argument ).
- Sættet af alle undersæt af et sæt M (deres magt sæt ) har altid større magt end M , dette er også kendt som Cantors sætning.
- Af hvert to sæt er mindst det ene lig med en delmængde af det andet. Dette er bevist ved hjælp af den velordnet diskuteret i detaljer af Cantor .
- Der er mange kræfter, der ikke kan tælles.
Cantor navngav kontinuumproblemet : “Er der en styrke mellem den af antallet af naturlige tal og den for antallet af reelle tal?” Han forsøgte at løse det selv, men det lykkedes ikke. Det viste sig senere, at spørgsmålet i princippet ikke kan afgøres.
Ud over Cantor var Richard Dedekind også en vigtig pioner inden for sætteori. Han talte om systemer i stedet for sæt, og i 1872 udviklede han en sætteoretisk konstruktion af reelle tal og i 1888 en verbal sætteoretisk aksiomatisering af naturlige tal. Han var den første til at formulere aksiomet for ekstensionalitet i sætteori.
Giuseppe Peano , der refererede til sæt som klasser , skabte den første formelle klasselogiske beregning som grundlaget for hans aritmetik med Peano-aksiomerne , som han formulerede for første gang i et præcist sætteoretisk sprog så tidligt som i 1889 . Han udviklede således grundlaget for nutidens formelsprog for sætteori og introducerede mange symboler, der er i brug i dag, frem for alt elementtegnet , der er verbaliseret som "er et element af". Det er det lille første bogstav ε ( epsilon ) i ordet ἐστί ( græsk "er").
Lidt senere forsøgte Gottlob Frege en anden set-teoretisk retfærdiggørelse af aritmetik i sin beregning fra 1893. I denne beregning opdagede Bertrand Russell i 1902 en modsigelse, der blev kendt som Russells antinomi . Denne modsigelse og andre modsigelser opstår på grund af en ubegrænset sætdannelse, hvorfor den tidlige form for sætteori senere blev omtalt som naiv sætteori . Cantors definition af sæt har imidlertid ikke til hensigt en sådan naiv sætteori, som hans bevis på den universelle klasse som et ikke-sæt ved Cantors anden antinomi beviser.
Cantors sætteori blev næppe anerkendt af hans samtidige med hensyn til dens betydning og blev på ingen måde betragtet som et revolutionerende fremskridt, men mødtes med afvisning fra nogle matematikere, såsom Leopold Kronecker . Det blev endnu mere miskrediteret, da antinomier blev kendt, så Henri Poincaré for eksempel spotte: "Logik er ikke længere steril - den genererer nu modsætninger."
20. århundrede
I det 20. århundrede blev Cantors ideer mere og mere populære; på samme tid, inden for den udviklende matematiske logik, fandt en aksiomatisering af sætteori sted , ved hjælp af hvilken tidligere modsætninger kunne overvindes.
I 1903/1908 udviklede Bertrand Russell sin typeteori , hvor sæt altid har en højere type end deres elementer, så problematiske sætformationer ville være umulige. Han viste den første vej ud af modsætningerne og i Principia Mathematica fra 1910–1913 viste han også en del af effektiviteten af anvendt typeteori. I sidste ende viste det sig imidlertid at være utilstrækkelig for Cantors sætteori og kunne på grund af dens kompleksitet ikke sejre.
På den anden side var den aksiomatiske sætteori udviklet af Ernst Zermelo i 1907, som han oprettede specifikt til den konsekvente retfærdiggørelse af sætteorien for Cantor og Dedekind, mere praktisk og vellykket . Abraham Fraenkel bemærkede i 1921, at dette også krævede hans udskiftningsaksiom . Zermelo tilføjede det til sit Zermelo-Fraenkel-system fra 1930 , som han kort kaldte ZF-systemet. Han udtænkte det også til urelementer, der ikke er sæt, men kan betragtes som sætelementer og tager Cantors "objekter af vores opfattelse" i betragtning. Dagens Zermelo-Fraenkel sætteori er derimod ifølge Fraenkel en ren sætteori, hvis objekter udelukkende er sæt.
I stedet for en konsekvent aksiomatisering er mange matematikere imidlertid afhængige af en pragmatisk sætteori, der undgik problemstillinger, såsom sætteorierne til Felix Hausdorff fra 1914 eller Erich Kamke fra 1928. Efterhånden blev flere og flere matematikere opmærksomme på, at sætteorien er et uundværligt grundlag for strukturering af matematik. ZF-systemet har bevist sig i praksis, hvorfor det nu anerkendes af flertallet af matematikere som grundlaget for moderne matematik; der kunne ikke udledes flere modsætninger fra ZF-systemet. Den konsekvens kunne kun være bevist for mængdelære med begrænsede sæt, men ikke for den komplette ZF-system, som indeholder Cantor 's sæt teori med uendelige sæt; Ifølge Gödel's ufuldstændighedssætning fra 1931 er et sådant bevis for konsistens i princippet ikke muligt. Gödel's opdagelser satte kun en grænse for Hilberts program om at placere matematik og sætteori på et påviseligt konsistent aksiomatisk grundlag, men forhindrede på ingen måde succes med sætteori, så en grundlæggende krise i matematik , som tilhængere af intuitionisme talte om, var virkeligheden blev intet mærket.
Den endelige anerkendelse af ZF-sætteorien i praksis trak imidlertid i lang tid. Matematikerne gruppe med pseudonymet Nicolas Bourbaki bidrog væsentligt til denne anerkendelse; hun ønskede at repræsentere matematik på en ensartet måde på baggrund af sætteori og implementerede dette med succes i centrale matematiske områder fra 1939 og fremefter. I 1960'erne blev det almindeligt kendt, at ZF-sætteori er velegnet som grundlag for matematik. Der var endda en midlertidig periode, hvor sætteori blev diskuteret i folkeskolen .
Parallelt med sethistoriens succeshistorie forblev diskussionen om sætaksiomer i den professionelle verden imidlertid aktuel. Der var også alternative aksiomatiske sætteorier, omkring 1937 sættteorien til Willard Van Orman Quine fra hans New Foundations (NF), som ikke var baseret på Cantor eller Zermelo-Fraenkel, men på typeteori , og i 1940 Neumann-Bernays- Gödel sætteori , ZF generaliserede til klasser , eller i 1955 Ackermann sætteori , som for nylig var knyttet til Cantors sæt definition.
Definitioner
I ren sætteori er elementprædikatet (læst er et element af ) det eneste nødvendige grundlæggende forhold. Alle sætteoretiske begreber og udsagn er defineret ud fra det med logiske operatorer af predikatlogik .
- Punkttegning
- Elementerne i et sæt grupperes sammen ved hjælp af sætparenteserne { og } for at danne en helhed, sættet.
- Sættet, der består af elementerne til , indeholder elementet, hvis og kun hvis det matcher et af elementerne . Formelt:
- For eksempel er udsagnet
- svarende til udsagnet
- Beskrivende notation
- Sættet, som prædikatet gælder for, indeholder et element, hvis og kun hvis prædikatet gælder for. Formelt:
- Der er også en begrænset variant af denne ubegrænsede beskrivelse:
- Ofte er der også den korte form
- før, hvorved der menes et funktionelt udtryk.
- I henhold til definitionen af lighed mellem to sæt, udsagnet
- nu i det logiske udtryk
- opløse.
- Delmængde
- Et sæt kaldes et undersæt af et sæt, hvis hvert element af også er et element af . Formelt:
- Tomt sæt
- Sættet, der ikke indeholder et element, kaldes det tomme sæt. Det kaldes også som eller .
- Skriv kortere for negationen .
- Vejkryds
- Der gives et ikke-tom sæt sæt. Skæringspunktet (også gennemsnittet ) af er det sæt objekter, der er indeholdt i hvert element af - det er igen et sæt. Formelt:
- Union sæt
- Dette er det dobbelte udtryk for skæringspunktet : Foreningen af et (ikke nødvendigvis ikke-tomt) sæt sæt er det sæt objekter, der er indeholdt i mindst et element af . Formelt:
- Ligestilling af sæt
- To sæt kaldes det samme, hvis de indeholder de samme elementer.
- Denne definition beskriver ekstensionalitet og dermed den grundlæggende egenskab ved sæt. Formelt:
- Forskel og komplement
- Forskellen er normalt kun defineret for to sæt: Differencesættet (også resten ) af og (i daglig tale også A uden B , se fig.) Er det sæt af elementer, der er indeholdt i, men ikke i . Formelt:
- Forskellen kaldes også komplement af B i forhold til A . Hvis sæt A antages som basissæt, og B er en delmængde af A , taler man simpelthen om komplementet af sæt B og skriver f.eks. B.:
- Symmetrisk forskel
- Nogle gange er den "symmetriske forskel" stadig påkrævet:
- Strøm sæt
- Kraften i et sæt er sættet med alle undergrupper af .
- Sætets effektsæt indeholder altid det tomme sæt og selve sættet . Således er det et-element-sæt.
- Ordentligt par
Konceptet med det bestilte par kan også spores tilbage til. Ifølge Kuratowski sker dette i to trin:
- Sæt med to:
- Bestilt par:
- Cartesian produkt
- Produktsættet eller det kartesiske produkt , i ældre terminologi også sammensat sæt eller produkt af anden art, bør også her defineres som et link mellem to sæt:
- Produktsættet med og er sættet for alle bestilte par, hvis første element er slået fra, og hvis andet element er slået fra.
- Forhold og funktioner
- En sammenhæng mellem og er en delmængde .
- En funktion fra til , i tegn , er en relation med
- (dvs. for hver er der mindst en funktionsværdi)
- (dvs. for hver er der højst en funktionsværdi).
- For man skriver mere suggestivt . Dette betyder, at disse vilkår også kan spores tilbage til forholdet. Dette gør det muligt at definere yderligere udtryk som ækvivalensrelation , injektionsfunktion , surjectiv funktion , bijective funktion og meget mere.
- Kvotient sæt
- Hvis der er en ækvivalensrelation , kan ækvivalensklassen for et element først defineres:
- Sættet af alle ækvivalensklasser kaldes kvotientsættet:
- Siger ækvivalensforholdet z. Antag for eksempel, at to studerende går i samme klasse, så er en elevs ækvivalensklasse hans skoleklasse, og kvotsættet er antallet af skoleklasser i skolen.
- Naturlige tal
Ifølge John von Neumann kan de naturlige tal i sætteori defineres som følger:
Så det skal være klart, hvordan man kan bruge ovenstående definitioner til at reducere alle andre matematiske begreber til begrebet sæt.
- Kardinalnummer og kardinalnummer
- Med vilkårene for den bijektive funktion og ækvivalensforholdet kan den ovennævnte styrke i et sæt nu også defineres. Kardinaliteten eller kardinaliteten i et sæt betegnes med (undertiden også # ). Et sæt kaldes endelig, hvis det er lig med et naturligt tal, så er antallet af elementer . Udtrykket hovedtal er således en generalisering af antallet af elementer i et (endeligt) sæt. Under hensyntagen til aritmetikken i hovedtalene betegnes kraften i styrkesættet , selv med uendelige sæt, med.
Regelmæssigheder
Sættet er delvist bestilt med hensyn til forholdet , fordi følgende gælder for alle :
- Refleksivitet :
- Antisymmetri : slukket og følger
- Transitivitet : ud og følger
De indstillede operationer skåret og union er kommutativ, associerende og distribuerende til hinanden:
-
Associativ ret :
- og
-
Kommutativ lov :
- og
-
Distributiv lov :
- og
-
De Morgans love :
- og
- Lov om absorption:
- og
Følgende principper gælder for forskellen:
- Associative love:
- og
- Distributive love:
- og
- og
- og
Følgende principper gælder for den symmetriske forskel:
- Associativ ret:
- Kommutativ lov:
- Distributiv lov:
Se også
litteratur
- Felix Hausdorff : Basics of set theory . Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2 .
- Adolf Fraenkel : Introduktion til sætteori . Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928. Genoptryk: Martin Sendet oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4 .
- Paul R. Halmos : Naiv sætteori . Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8 .
- Erich Kamke : sætteori. 7. udgave. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1971, ISBN 3-11-003911-7 .
- Kenneth Kunen : Set Theory: En introduktion til uafhængighedsbeviser. Nordholland, 1980, ISBN 0-444-85401-0 .
- Arnold Oberschelp : Generel sætteori . BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1 .
- Oliver Deiser: Introduktion til sætteori . Georg Cantors sætteori og dens axiomatisering af Ernst Zermelo. 3. Udgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4 .
- André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraisk sætteori . Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1 .
- Heinz-Dieter Ebbinghaus : Introduktion til sætteori . Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3 .
Weblinks
- Christian Spannagel : Set teori . Forelæsningsserie, 2010.
Individuelle beviser
- ^ Georg Cantor: Bidrag til grundlaget for den transfinite sætteori. I: Mathematische Annalen 46 (1895), s. 481. Online-version . Se tekst passage med den definerede definition af Georg Cantor.png for et billede af den tilsvarende tekst passage.
- D Richard Dedekind: Kontinuitet og irrationelle tal. Brunswick 1872.
- ↑ Richard Dedekind: Hvad er og hvad er tallene? Brunswick 1888.
- ^ Giuseppe Peano: Arithmetices Principia nova methodo exposita. Torino 1889.
- Mar Ingmar Lehmann , Wolfgang Schulz: "Quantities - Relations - Functions" (3. udgave, 2007), ISBN 978-3-8351-0162-3 .
- ^ Brev fra Cantor til Dedekind dateret 31. august 1899 i: Georg Cantor: Samlede afhandlinger af matematisk og filosofisk indhold . red. E. Zermelo, Berlin 1932, s. 448.