Ackermann sætteori

Den Ackermann mængdelære er en aksiomatisk mængdelære , der blev givet i 1955 af Wilhelm Ackermann . I det forsøgte han at oversætte Cantors definition af sæt til et præcist system af aksiomer.

Ackermann-sætteorien udvider Zermelo-Fraenkel-sætteorien ZFC efter klasser (der: totaliteter), men adskiller sig fra den mere kendte Neumann-Bernays-Gödel-sætteori ved, at virkelige klasser også kan være elementer i andre klasser og derfor også små reelle Klasser der. ZFC-aksiomerne gælder kun der i et reelt underområde, der opfylder fundamentaksiomet (det kan sorteres med Neumanns kumulative hierarki ). Ackermann-sætteorien indeholder derfor et udvidet udvalg af sæt med ubegrundede sæt og kan ses som en generalisering af den sædvanlige ZFC-sætteori og Zermelo-sætteori .

Ackermann-aksiomerne

Ackermanns bemærkelsesværdigt enkle system af aksiomer er baseret på prædikatlogikken på det første niveau med identitet, det to-sted-element-forhold og det ene sted-predikat og har et aksiomskema og et aksiom for klasser og sæt: ${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle \, {\ text {er antal}}}$

• Klasseforståelse : Klasser af sæt findes:

Følgende gælder for encifrede prædikater :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ kolon (\ varphi (A) \ til A {\ text {er mængde}}) \ to \ eksisterer B \ colon \ forall C \ colon (C \ i B \ leftrightarrow \ varphi (C) )}$

Klassen er betegnet med.${\ displaystyle \, B}$${\ displaystyle \ {C \ mid \ varphi (C) \}}$

• Klasseforlængelse : Klasser med de samme elementer er de samme:

${\ displaystyle \ forall C \ kolon (C \ i A \ venstre trøjle C \ i B) \ til A = B.}$

• Sætforståelse : Klasser af sæt, der udelukkende er tildelt sæt, er sæt:

For formler , hvor nøjagtigt variablerne optræder frit, og hvor prædikatet ikke forekommer, gælder følgende:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {er antal}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {er antal}} \ land \ prikker \ land \; T_ {n} {\ tekst {er antal}} \ land \; \ forall A \ kolon (\ varphi (A) \ til A {\ text {er antal}}) \ til}$ ${\ displaystyle \ eksisterer B \ kolon (B {\ tekst {er mængde}} \ land \; \ for alle A \ kolon (A \ i B \ leftrightarrow \ varphi (A)))}$

• Elementer og underklasser af sæt er sæt:

${\ displaystyle A {\ text {er antal}} \ land (B \ i A \ lor \ for alle C \ kolon (C \ i B \ til C \ i A)) \ til B {\ text {er mængde}} }$

Nota bene: Dette aksiom udelukker, at virkelige klasser er sætmedlemmer, men ikke at rigtige klasser er medlemmer af rigtige klasser.

Det valg Axiom erstattet Ackermann gennem ε-aksiom af Hilbert , et aksiom skema i en af prædikatet udvidede sprog: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {x} \ varphi (x)}$

• Hver klasse, der ikke er tom, indeholder et valgt element:

Følgende gælder for encifrede prædikater :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ eksisterer X \ kolon \ varphi (X) \ leftrightarrow \ varphi (\ varepsilon _ {X} \ varphi (X))}$

Den fundament aksiom var ikke klar over Ackermann.

varianter

Ackermann formulerede også aksiomer, der tager højde for Cantors opfattelsesobjekter fra hans definition af sæt og ud over sæt også giver ikke-sæt som sætelementer. Objekter er kvantitetselementer og registreres ved hjælp af et definerbart prædikat:

${\ displaystyle A {\ text {er objekt}} = \ findes M \ kolon (A \ i M \ land M {\ text {er antal}})}$.

• Klasseforståelse : Klasser af objekter findes:

Følgende gælder for encifrede prædikater :${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ colon (\ varphi (A) \ to A {\ text {is object}}) \ to \ eksisterer B \ colon \ forall C \ colon (C \ i B \ leftrightarrow \ varphi (C) )}$

• Klasseforlængelse som ovenfor.

Nota bene: Objekter, der ikke er sæt, er ikke originale elementer i Zermelo-forstand. For her er den stærkeste form for aksiomet for ekstensionalitet , som kun tillader en enkelt tom klasse og ingen yderligere tomme primitive elementer. Så yderligere objekter er virkelige klasser .

• Sætforståelse : Kun klasser af objekter, der er tildelt objekter, er sæt:

For formler , hvor nøjagtigt variablerne optræder frit, og hvor prædikaterne og ikke forekommer, gælder følgende:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {er antal}}}$${\ displaystyle \, {\ text {er objekt}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {is object}} \ land \ dots \ land \; T_ {n} {\ text {is object}} \ land \; \ forall A \ colon (\ varphi (A) \ til A {\ text {er objekt}}) \ til}$ ${\ displaystyle \ eksisterer B \ kolon (B {\ tekst {er mængde}} \ land \; \ for alle A \ kolon (A \ i B \ leftrightarrow \ varphi (A)))}$

• Elementer og underklasser af sæt er objekter:

${\ displaystyle A {\ text {er kvantitet}} \ land (B \ i A \ lor \ forall C \ kolon (C \ i B \ til C \ i A)) \ til B {\ text {er objekt}} }$

Som en tredje variant gav Ackermann en version baseret på typeteori .

litteratur

• Wilhelm Ackermann: Om sætteoriens aksiomatik , 1955. I: Mathematische Annalen . Bind 131, 1956, s. 336-345.

Weblinks

• Klaus Gloede: Sætteori script WS 2000/01, kapitel om Ackermann sætteori (PDF-fil; 23 kB)

Individuelle beviser

1. ↑ David Hilbert: Problemer med grundlæggelsen af ​​matematik , 1929, i: Mathematische Annalen 102 (1930), 1–9, der s. 3.