Forudsigelig logik

De prædikatforbrydelser logikker (også kvantor logikker ) danner en familie af logiske systemer, der gør det muligt i praksis og i teorien om mange videnskaber at formalisere vigtige områder gennem argumenter og kontrollere deres gyldighed. På grund af denne egenskab spiller prædikatlogik en stor rolle i logik såvel som i matematik , datalogi , lingvistik og filosofi .

Gottlob Frege og Charles Sanders Peirce udviklede prædikatlogik uafhængigt af hinanden. Frege udviklede og formaliserede sit system i udtrykket skrift, der blev offentliggjort i 1879 . Ældre logiske systemer, for eksempel traditionel konceptuel logik , er reelle undersæt af prædikatlogik med hensyn til deres udtryksfuldhed. De kan oversættes fuldt ud til dette.

Centrale vilkår

Predikatlogik er en forlængelse af propositionel logik . I propositionel logik undersøges sammensatte udsagn for at afgøre, hvilke enklere udsagn der består af dem. For eksempel består udsagnet "Det regner eller jorden er flad" af de to udsagn "Det regner" og "Jorden er flad". Disse to udsagn selv kan ikke opdeles i yderligere underudtalelser - de kaldes derfor atomære eller elementære . I prædikatlogik undersøges atomudsagn med hensyn til deres interne struktur.

Et centralt begreb for prædikatlogik er prædikatet . I en daglig tale er et prædikat en ordsekvens, der åbner rum; denne konsekvens bliver en sand eller falsk erklæring, hvis der indsættes et egennavn i hvert mellemrum. For eksempel er ordsekvensen "... er en person" et prædikat, fordi indsættelse af et eget navn - f.eks. "Sokrates" - skaber en sætning, i eksemplet "Sokrates er en person". Udtrykket "Jorden er flad" kan opdeles i det rigtige navn "jorden" og prædikatet "... er fladt". Baseret på definitionen og eksemplerne bliver det klart, at udtrykket "prædikat" i logik, især i prædikatlogik, ikke har den samme betydning som i grammatik , selvom der er en historisk og filosofisk forbindelse. I stedet for et egennavn kan der også indsættes en variabel i prædikatet, hvorved prædikatet bliver en sætningsfunktion: φ _{( x )} = " x er en person" er en funktion, der bruges i klassisk prædikatlogik til egennavne på de personer, der er mennesker, udsender sandhedsværdien sand og for alle andre sandhedsværdien falsk .

Det andet karakteristiske koncept for prædikatlogik er kvantificatoren . Kvantificatorer angiver ved, hvor mange individer i diskursuniverset en sætningsfunktion er opfyldt. En kvantificator binder variablen i en sætningsfunktion, så der oprettes en anden sætning. Den universelle kvantificator siger, at et prædikat skal gælde for alle individer. Den eksistentielle kvantificering siger, at et prædikat gælder for mindst et individ. Kvantifikatorerne muliggør udsagn som "Alle mennesker er dødelige" eller "Der er mindst en lyserød elefant".

Indimellem bruges der også numeriske kvantificatorer, hvormed det kan konstateres, at et prædikat gælder for et bestemt antal individer. Disse er imidlertid ikke absolut nødvendige, fordi de kan spores tilbage til den universelle og eksistentielle kvantificator såvel som identitetsprædikatet .

Forudsiger

Definitionen af ​​et prædikat givet ovenfor som en ordsekvens med klart definerede mellemrum, som bliver en sætning, hvis der indsættes et egennavn i hvert rum, er en rent formel, indholdsfri definition. Med hensyn til indhold kan prædikater udtrykke meget forskellige typer af udtryk :

• Individer (slags udtryk): "_ er en person"
• Funktioner : "_ er pink"
• relationelle udtryk , d. H. Forhold mellem individer: f.eks. B. "_ ₁  er større end _ ₂ " eller "_ ₁  er mellem _ ₂ og _ ₃ ".

Da begrebernes eksakte natur og ontologiske status, egenskaber og relationer ses forskelligt i forskellige filosofiske retninger, og da den nøjagtige afgrænsning af begreber, egenskaber og relationer fra hinanden også ses anderledes, er den formelle definition, der er nævnt i begyndelsen, den mest praktisk med hensyn til anvendelse, fordi det giver mulighed for at bruge prædikatlogik uden at skulle acceptere visse ontologiske eller metafysiske antagelser.

Antallet af forskellige rum i et prædikat kaldes dets arity. For eksempel er et prædikat med et mellemrum etcifret, et med to mellemrum er tocifret og så videre. H. betragtes som prædikater uden mellemrum. Når man tæller mellemrum, tages der kun hensyn til forskellige mellemrum.

I formel prædikatlogik udtrykkes prædikater med prædikatbogstaver, for det meste store bogstaver fra begyndelsen af ​​det latinske alfabet, for eksempel F_ ₁ _ ₂ for et tocifret predikat, G_ ₁ for et encifret predikat eller H_ ₁ _ ₂ _ ₃ for et trecifret prædikat. Argumenterne for et prædikat sættes ofte i parentes og adskilles med kommaer, så de nævnte eksempler vil blive skrevet som F (_ ₁ , _ ₂ ) eller G (_ ₁ ) og H (_ ₁ , _ ₂ , _ ₃ ) .

Korrekte navne og individuelle konstanter

I sprogfilosofien og lingvistikken er emnet for navne ganske komplekst. For behandlingen i forbindelse med en indledende præsentation af prædikatlogik bør det være tilstrækkeligt at betegne sådanne sprogudtryk som egennavne, der angiver præcis ét individ; Ordet "individ" forstås her i en meget generel forstand og betyder enhver "ting" (fysisk objekt, antal, person ...), der kan skelnes fra andre ting på enhver tænkelig måde. Egne navne i den nævnte betydning vil for det meste være egentlige egennavne (f.eks. "Gottlob Frege") eller markeringer (f.eks. "Den nuværende forbundskansler i Østrig").

Modstykket til det naturlige sprogs egennavne er de individuelle konstanter for prædikatlogik; normalt vælger du små bogstaver fra begyndelsen af ​​det latinske alfabet, for eksempel a, b, c. I modsætning til naturlige sprogs egennavne udpeger hver enkelt konstant faktisk nøjagtigt et individ. Dette betyder ikke nogen implicitte metafysiske forudsætninger, men angiver blot, at kun naturlige sproglige egennavne med individuelle konstanter udtrykkes, der rent faktisk angiver et individ.

Med ordforrådet for prædikatbogstaver og individuelle konstanter kan propositionelt atomiske sætninger som "Sokrates er en person" eller "Gottlob Frege er forfatteren til den konceptuelle skrivning" allerede analyseres i deres interne struktur: Hvis man oversætter det rigtige navn "Sokrates "med den individuelle konstant a, det rigtige navn" Gottlob Frege "med den individuelle konstant b, det rigtige navn eller bogtitlen" konceptskrivning "med den individuelle konstant c og prædikaterne" _ er en person "og" _ ₁ er forfatter til _ ₂ ”med prædikatbogstaverne F_ og G_ ₁ _ ₂ , så kan“ Sokrates er en person ”udtrykkes som Fa og“ Gudskelov Frege er forfatteren til det ”konceptuelle skrift” ”med Gbc.

Kvantificatorer

Med kvantificatorer kan der fremsættes udsagn om, hvorvidt en sætningsfunktion ikke gælder for nogen, nogle eller alle individerne i diskursuniverset. I det enkleste tilfælde er sætningsfunktionen et écifret prædikat. Hvis man indsætter en individuel variabel i prædikatet og placerer den eksistentielle kvantificator og den samme variabel foran den, hævdes det, at der er mindst et individ, som prædikatet gælder for. Så der skal være mindst en sætning af den form, at en individuel konstant indsættes i prædikatet, der er sandt i det relevante diskursunivers. Den universelle kvantificator siger, at et prædikat gælder for alle individer fra diskursens univers. I klassisk prædikatlogik er alle atomiske, alle kvantificerede udsagn derfor sande, når diskursens univers er tomt.

Den eksistentielle kvantificator udtrykkes i semi-formelt sprog som "der er mindst én ting sådan at ..." eller "der er mindst én (variabelnavn), som ..." gælder. I formelt sprog bruges tegnene eller . Den universelle kvantificator udtrykkes i semi-formelt sprog som "For alle (variabelnavn): ...", i formelt sprog af en af ​​karaktererne eller . ${\ displaystyle \ eksisterer}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigvee}$${\ displaystyle \ forall}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigwedge}$

Umiddelbart tilsyneladende er brugen af kvantorer til prædikater, såsom "_ er et menneske." The eksistentielt kvantificerede udsagn højt ville "Der er mindst én ting er sandt for at: det er et menneske," i formelle sprog: . M_ er oversættelsen af ​​det encifrede prædikat "_ er en person" og er den eksistentielle kvantifikator. Bogstavet x er ikke en individuel konstant, men opfylder den samme funktion, som ordet "es" opfylder i den semi-formelle formulering: Begge markerer det rum, som kvantificatoren henviser til. I det valgte eksempel ser dette ud til at være overflødigt, fordi det kun indeholder en kvantificator og kun et mellemrum, og derfor er der ingen tvetydighed. I det generelle tilfælde, hvor et prædikat kan indeholde mere end et mellemrum og en sætning kan indeholde mere end en kvantificator og mere end ét prædikat, ville der ikke blive givet nogen entydig læsning uden brug af egnede "krydshenvisningstegn". ${\ displaystyle \ eksisterer x \ Mx}$${\ displaystyle \ eksisterer}$

Den mest almindelige brug af små bogstaver fra slutningen af ​​det latinske alfabet, f.eks. Bogstaverne x, y og z, bruges til at fastslå forholdet mellem en kvantificator og det rum, det refererer til; de kaldes individuelle variabler. Det rum, som en kvantificator henviser til, eller den variabel, der bruges til at etablere denne forbindelse, omtales som bundet af kvantificatoren .

Hvis du binder et mellemrum i et flercifret prædikat med en kvantificator, så oprettes et prædikat med en lavere arity. Det tocifrede prædikat L_ ₁ _ ₂ , "_ ₁  elsker _ ₂ ", som udtrykker forholdet mellem kærlighed, bliver til et encifret prædikat ved at forbinde det første emne med den universelle kvantifikator , så at sige egenskaben at blive elsket af alle (den universelle kvantificator refererer til det første emne, hvor individet står, fra hvem kærligheden stammer). Ved at binde det andet rum bliver det derimod det encifrede prædikat , så at sige, ejendommen ved at elske alt og alle (den universelle kvantificator binder det andet rum, det vil sige det individ, der spiller rollen) af de elskede stande). ${\ displaystyle \ forall xLx \ _}$${\ displaystyle \ forall xL \ _x}$

Sætninger med prædikater, hvor mere end ét rum er bundet af en kvantificator, er interessante. Muligheden for at håndtere sådanne sætninger er det, der gør predikatlogik så kraftfuld, men samtidig er det det punkt, hvor systemet bliver noget kompliceret for den nye og kræver mere intensiv diskussion og øvelse. Som en lille indsigt i predikatlogikkens muligheder bør alle muligheder for at binde emnerne ved hjælp af kvantificatorer opregnes for det enkle tocifrede prædikat L_ ₁ _ ₂ , som f.eks. Kan læses som ovenfor som "_ ₁  elsker _ ₂ "(i de følgende diagrammer er _1" lodret "a, b, c, d, e og _2" vandret "a, b, c, d, e):

Ingen kolonne / række er tom: 1 ..: Alle er elsket af nogen.${\ displaystyle \ forall x \ eksisterer yLyx}$ 2 ..: Alle elsker nogen.${\ displaystyle \ forall x \ eksisterer yLxy}$	Diagonalen er ikke tom / fuld: 5 ..: Nogen elsker sig selv.${\ displaystyle \ eksisterer xLxx}$ 6 ..: Alle elsker sig selv.${\ displaystyle \ forall xLxx}$	Matrixen er ikke tom / fuld: 7 ..: Man elsker en. 8 .: Man er elsket af én.${\ displaystyle \ eksisterer x \ eksisterer yLxy}$ ${\ displaystyle \ eksisterer x \ eksisterer yLyx}$ 9 ..: Alle elsker alle. 10 ..: Alle er elsket af alle.${\ displaystyle \ forall x \ forall yLxy}$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall yLyx}$	Hasse -diagram over konsekvenserne
En række / kolonne er fuld: 3 ..: Nogen elsker alle.${\ displaystyle \ eksisterer x \ forall yLxy}$ 4 ..: Nogen er elsket af alle.${\ displaystyle \ eksisterer x \ forall yLyx}$

De matricer illustrerer formlerne for det tilfælde, at fem personer kommer i tvivl som kærester og elskere. Bortset fra sætninger 6 og 9/10 er disse eksempler. Matrixen for sætning 5 er f.eks. B. for "b elsker sig selv"; den til sætning 7/8 for “c elsker b”.

Det er vigtigt og lærerigt at skelne mellem sætninger 1 ,, og 3 ,,: I begge tilfælde er alle elskede; i det første tilfælde er alle imidlertid elsket af nogen, i det andet er alle elsket af det samme individ. ${\ displaystyle \ forall x \ eksisterer yLyx}$${\ displaystyle \ eksisterer x \ forall yLxy}$

Der er slutninger mellem nogle af disse sætninger - for eksempel følger sætning 1 fra sætning 3, men ikke omvendt (se Hasse -diagram).

Med trecifrede prædikater kan formler som f.eks. Dannes. Med prædikatet "x vil have yz til at elske" betyder denne formel "nogen ønsker, at alle skal elske nogen".${\ displaystyle \ eksisterer x ~ \ forall y ~ \ eksisterer z ~ Pxyz}$

I naturligt sprog forekommer kvantificatorer i meget forskellige formuleringer. Ofte bruges ord som "alle", "ingen", "nogle" eller "nogle", nogle gange er kvantificeringen kun genkendelig fra konteksten - for eksempel betyder sætningen "mennesker er dødelige" normalt den universelle erklæring om, at alle mennesker er dødelig.

Eksempler (prædikatlogik - tysk)

Predicate Logic - tysk	Forklaring
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ Højre pil {\ tekst {pattedyr}} (x))}$ "Alle katte er pattedyr" (Der kan også være pattedyr, der ikke er katte, men ikke katte, der ikke er pattedyr)	${\ displaystyle \ forall x}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle {\ tekst {Pattedyr}} (x)}$ For alle x: (Gælder) x er en kat derefter lad x være et pattedyr
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ land {\ text {pattedyr}} (x))}$ "Alt er en kat og et pattedyr"	${\ displaystyle \ forall x}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ tekst {Pattedyr}} (x)}$ Følgende gælder for alle x: x er en kat og x er et pattedyr
${\ displaystyle \ eksisterer x ({\ text {City}} (x) \ land {\ text {nord}} (x, {\ text {München}}))}}$ "Der er mindst en by nord for München"	${\ displaystyle \ eksisterer x}$ ${\ displaystyle ({\ text {City}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {nord}} (x, {\ text {München}}))}$ Der er mindst en x det er en by og nord for München
${\ displaystyle \ neg \ eksisterer x ({\ tekst {by}} (x) \ land {\ tekst {nord}} (x, x))}$ "Ingen by er nord for sig selv"	${\ displaystyle \ neg \ eksisterer x}$ ${\ displaystyle ({\ text {City}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ tekst {nord}} (x, x))}$ Der er ingen x det er en by og er nord for x
${\ displaystyle \ eksisterer x ({\ tekst {kvinde}} (x) \ land {\ tekst {far}} ({\ tekst {Tom}}, x) \ land {\ tekst {mor}} ({\ tekst {Jenny}}, x))}$ "Der er mindst en datter af Tom og Jenny"	${\ displaystyle \ eksisterer x}$ ${\ displaystyle ({\ tekst {kvinde}} (x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ text {far}} ({\ text {Tom}}, x)}$ ${\ displaystyle \ land}$ ${\ displaystyle {\ tekst {mor}} ({\ tekst {Jenny}}, x))}$ Der er mindst en x det er feminint og Tom har som far og Jenny har som mor
${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {cats} {\ text {cat}} (x)}$ "Hver kat er en kat"	${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {katte}}$ ${\ displaystyle {\ text {cat}} (x)}$ For hvert x fra sættet gælder følgende:${\ displaystyle \ mathbb {katte}}$ x er en kat
${\ displaystyle \ neg \ forall x: \ mathbb {Cars} ({\ text {green}} (x))}$ "Ikke alle biler er grønne" (Enten er der ikke-grønne biler eller slet ingen biler i diskursuniverset )	${\ displaystyle \ neg}$ ${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {Cars}}$ ${\ displaystyle ({\ tekst {grøn}} (x))}$ ikke gælder for hver bil: den er grøn.

Nogle forudsiger ækvivalenser

Den logiske ækvivalens mellem to prædikatlogiske udsagn stammer fra den skematiske udveksling af universel kvantificator og eksistentiel kvantificator. Nedenfor er eksempler på nogle af de hyppigere anvendte prædikatlogiske ækvivalenser.

${\ displaystyle \ neg \ forall xPx \ venstrehøjre pil \ eksisterer x \ neg Px}$	Negationen af ​​udsagnet "Alt er grønt" kan formuleres enten som "Ikke alt er grønt" eller som "Der er noget, der ikke er grønt".
${\ displaystyle \ neg \ eksisterer xPx \ venstrehøjre pil \ forall x \ neg Px}$	Hvis udsagnet "Der er noget, der er grønt" negeres, er "Der er ikke én ting i diskursuniverset, der er grønt" eller "Alt i diskursuniverset er ikke grønt" er sandt og omvendt.
${\ displaystyle \ eksisterer x (Px \ lor Qx) \ venstrehøjre pil (\ eksisterer xPx \ lor \ eksisterer xQx)}$	Den eksistentielle kvantificators fordeling over OR.
${\ displaystyle \ forall x (Px \ wedge Qx) \ leftrightarrow (\ forall xPx \ wedge \ forall xQx)}$	Den universelle kvantificators fordeling over AND.
${\ displaystyle \ forall x (P \ land Qx) \ venstrehøjre pil (P \ land \ forall xQx)}$
${\ displaystyle \ eksisterer x (P \ kile Qx) \ venstrehøjre pil (P \ kile \ eksisterer xQx)}$
${\ displaystyle (\ eksisterer xPx \ højrepil Q) \ venstrehøjrepil \ forall x (Px \ højrepil Q)}$	Hvis der er et eksempel, der indebærer en sætning, vil hvert eksempel betyde den sætning.
${\ displaystyle (P \ højre pil \ forall xQx) \ venstre højre pil \ forall x (P \ højre pil Qx)}$	Hvis en sætning indebærer en generel erklæring, gælder implikationen for hvert enkelt eksempel.

Hvis det er udelukket, at diskursuniverset er tomt, gælder også følgende:

${\ displaystyle (\ forall xPx \ rightarrow Q) \ leftrightarrow \ exist x (Px \ rightarrow Q)}$

${\ displaystyle (P \ højre pil \ eksisterer xQx) \ venstre højre pil \ eksisterer x (P \ højre pil Qx)}$

Typer af prædikatlogik

Hvis - som skitseret hidtil - kvantificatorer binder prædikaternes emner, så taler man om prædikatlogik for den første orden eller ordre, engelsk: første ordens logik , forkortet til FOL ; det er så at sige standardsystemet for prædikatlogik.

En indlysende variation af prædikatlogikken består i ikke blot at binde prædikaternes emner, dvs. ikke kun kvantificere om individer, men også at lave eksistens og universelle udsagn om prædikater . På denne måde kan man formalisere udsagn som "Der er et prædikat, som det gælder for: det gælder Sokrates" og "For hvert prædikat: det gælder Sokrates, eller det gælder ikke Sokrates". Ud over de individuelle emner i førsteordensprædikaterne ville man have indført prædikatemner, der fører til andenordensprædikater , for eksempel "_ gælder for Sokrates". Herfra er det kun et lille skridt til predikater på tredje niveau, i hvis mellemrum predikater på andet niveau kan indsættes og generelt til prædikater på højere niveau. Man taler derfor i dette tilfælde om Logic højere niveau , engelsk højere ordens logik , forkortet HOL .

Den formelt enkleste udvidelse af predikatlogikken på første niveau består imidlertid i tilføjelse af midler til behandling af identitet . Det resulterende system kaldes predikatlogik på første niveau med identitet . Identitet kan defineres i prædikatlogikken for et højere niveau, dvs. H. behandle uden sprogudvidelse, men man bestræber sig på at arbejde så længe som muligt og så meget som muligt på det første niveau, fordi der er enklere og frem for alt komplette beregninger for dette , dvs. H. Beregninger, hvor alle formler og argumenter, der er gyldige i dette system, kan udledes. Dette gælder ikke længere for predikatlogikken på højere niveau; Det vil sige, at det ikke er muligt for det højere niveau at udlede alle gyldige argumenter med en enkelt beregning.

Omvendt kan man begrænse predikatlogik i det første niveau ved f.eks. At begrænse sig til encifrede prædikater. Det logiske system som følge af denne begrænsning, det monadiske prædikat logik , har den fordel, at det kan afgøres ; Dette betyder, at der er mekaniske procedurer (algoritmer), der kan bestemme for hver formel eller for hvert argument i den monadiske prædikatlogik på en endelig tid, om den er gyldig eller ej. Til nogle formål er monadisk prædikatlogik tilstrækkelig; Desuden kan hele den traditionelle konceptuelle logik , nemlig syllogistik , udtrykkes i monadisk prædikatlogik.

Parallelt med den allerede diskuterede differentiering af prædikatlogiksystemer efter deres niveau eller rækkefølge er der klassiske og ikke-klassiske former. Fra klassisk prædikatlogik eller generelt klassisk logik kaldes, hvis og kun hvis følgende to betingelser er opfyldt:

• det behandlede system er bivalent, dvs. Det vil sige, at enhver erklæring forudsætter præcis en af ​​nøjagtigt to sandhedsværdier, for det meste sand og falsk ( princippet om to- valens ); og
• sandhedsværdien af ​​udsagn, der er sammensat af propositionelle logiske sammenføjninger, bestemmes entydigt af sandhedsværdierne i de sammensatte udsagn ( forlængelsesprincippet ).

Hvis man afviger fra mindst et af disse principper, opstår der ikke-klassisk prædikatlogik . Selvfølgelig er det også muligt inden for den ikke-klassiske prædikatlogik at begrænse sig til encifrede prædikater (ikke-klassisk monadisk prædikatlogik), at kvantificere via individer (ikke-klassisk predikatlogik på det første niveau), at udvide system efter identitet (ikke-klassisk prædikatlogik på det første niveau med identitet) eller at udvide kvantificeringen til prædikater (ikke-klassisk prædikatlogik på et højere niveau). Et ofte brugt ikke-klassisk predikatlogiksystem er modal predikatlogik (se modal logik ).

Semantik i prædikatlogik

Formel semantik kan oprettes for hvert prædikatlogiksystem . Til dette formål defineres en fortolkningsfunktion, en funktion i matematisk forstand, der tildeler predikaterne for det formelle prædikatlogiksprog en sandhedsværdi til de atomære sætninger. Først etableres et univers af diskurs , det vil sige helheden af ​​de skelne objekter ("individer"), som de prædikatlogiske udsagn, der skal fortolkes, skal vedrøre. For den klassiske prædikatlogik fortolkes de enkelte sprogelementer derefter som følger:

Individuelle konstanter

Hver individuel konstant tildeles nøjagtigt ét element fra diskursens univers, det vil sige, at hver enkelt konstant navngiver præcis ét individ.

Enkeltcifrede prædikater

Et sæt individer fra diskursens univers er tildelt hvert enkeltcifrede prædikat. På denne måde bestemmes det for hvilke individer det pågældende prædikat gælder. For eksempel, hvis sættet er tildelt det encifrede prædikat , bestemmes det, hvad der gælder for , til og til .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ {a, b, c \}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Flercifrede prædikater

Et sæt af - tupler fra individer fra diskursuniverset er tildelt hvert cifret prædikat .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

udmelding

For at kunne bestemme udsagnes sandhedsværdi skal evalueringsfunktionen kortlægge sættet af alle velformulerede udsagn til sættet af sandhedsværdier, dvs. bestemme for hver sætning i prædikatlogiksproget, om det er sandt eller falsk. Dette gøres normalt rekursivt i henhold til følgende mønster (evalueringsfunktionen kaldes her B ):

• B ( ) = true ( er et prædikat logisk udsagn her), hvis B ( ) = false; ellers B ( ) = falsk. Med andre ord er negationen af en falsk erklæring sand, negationen af ​​en sand erklæring er falsk.${\ displaystyle \ neg \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ neg \ varphi}$
• B ( ) = true ( er logiske udsagn her), hvis B ( ) = B ( ) = true; ellers B ( ) = falsk. Med andre ord: En konjunktion er sand, hvis og kun hvis begge konjunktioner er sande; ellers er det forkert.${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$${\ displaystyle \ varphi, \ psi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ varphi \ land \ psi}$
• Analoge definitioner er for alle andre logiske operatorer udarbejdet.
• B ( ), hvor er et encifret prædikatbogstav og er en individuel konstant, returnerer sandhedsværdien "sand", hvis fortolkningen af ​​er et element i fortolkningen af , med andre ord: hvis det individ, der er navngivet med, falder ind under prædikatet . Ellers returnerer B ( ) sandhedsværdien "falsk".${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$
• B ( ), hvor er et -cifret prædikatbogstav og op til er individuelle konstanter, returnerer sandhedsværdien "sand", hvis -duppen er et element i fortolkningen af ​​prædikatbogstavet . Ellers returnerer B ( ) sandhedsværdien "falsk".${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n} \ rangle}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$
• B ( ), hvor er en individuel variabel og er et encifret prædikat, i hvis (et eller flere forekommende) mellemrum er indtastet, leverer sandhedsværdien "sand", hvis B ( ) leverer sandhedsværdien "sand" - uanset den person, som står for. Der er en individuel konstant, der ikke optræder i og er udtrykket, der opstår, hvis man erstatter den individuelle variabel i hver forekomst med den individuelle konstant. Ellers er B ( ) = falsk. Med andre ord: B ( ) er sandt, hvis og kun gælder for alle individer i diskursuniverset.${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi \ venstre ({\ beta \ over \ chi} \ højre)}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ varphi \ venstre ({\ beta \ over \ chi} \ højre)}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ varphi}$
• B ( ), hvor er en individuel variabel og er et encifret prædikat, i hvis (én eller flere forekommende) rum er indtastet, leverer sandhedsværdien "true", hvis i det mindste et individ fra Talen univers finder anvendelse, dvs. hvis det er muligt at tildele et individ fra diskursuniverset til en individuel konstant, der ikke forekommer på en sådan måde, at B ( ) leverer sandhedsværdien "sand".${\ displaystyle \ exist \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varphi \ venstre ({\ beta \ over \ chi} \ højre)}$

Alternativer

Inden propositionel logik og predikatlogik blomstrede, dominerede konceptuel logik i form af syllogistikken udviklet af Aristoteles og relativt moderate udvidelser baseret på den. To systemer udviklet i 1960'erne i traditionen med konceptuel logik beskrives af deres repræsentanter som lig med predikatlogik (Freytag) eller endda overlegen (Sommers), men modtog kun lidt respons fra eksperter.

Lovene for prædikatlogik gælder kun, hvis domænet for de undersøgte individer ikke er tomt, dvs. H. hvis der overhovedet er mindst et individ (af enhver art). En ændring af prædikatlogik, der ikke er underlagt denne eksistensbetingelse, er fri logik .

brug

Predikatlogik er central for forskellige fundamenter i matematik .

Der er også nogle specifikke applikationer inden for datalogi : Det spiller en rolle i design og programmering af ekspertsystemer og i kunstig intelligens . Logiske programmeringssprog er delvist baseret på - ofte begrænsede - former for prædikatlogik. En form for vidensrepræsentation kan udføres med en samling udtryk i prædikatlogik.

Den relationelle beregning , et af de teoretiske grundlag for databasespørgsmål som SQL , bruger også predikatlogik som udtryksmiddel.

I lingvistik , især i formel semantik , bruges former for prædikatlogik til at repræsentere mening .

Specielle typer, udvidelser og systemer

Typer og udvidelser

Typer og udvidelser af prædikatlogikken er beskrevet i følgende dybdegående individuelle artikler:

• Klassisk prædikatlogik og dens udvidelser
  • Første ordens prædikatlogik
  • Anden ordens prædikatlogik
  • Prædikatlogik på højt niveau

• Ikke-klassiske udvidelser af prædikatlogik
  • Modal logik (modal predikat logik)
  • Midlertidig logik
  • Handlingslogik
  • Fixed point logik

Beregninger for systemer med prædikatlogik

Beregninger for prædikatlogiksystemer er angivet i følgende individuelle artikler:

• Hilbert calculus (aksiomatisk beregning)
• Systemer med naturlig ræsonnement , for eksempel Fitch -beregningen , sekventiel beregning
• Træberegninger
• Opløsning (logik)
• Eksistentielle grafer
• Dialogisk logik

Se også

• Konjunktiv forespørgsel

litteratur

Introduktioner

• Jon Barwise, John Etchemendy: Sprog, bevis og logik. Bind 1: Propositional og Predicate Logic. Mentis, Paderborn 2005, ISBN 3-89785-440-6 .
• Jon Barwise, John Etchemendy: Sprog, bevis og logik. Bind 2: applikationer og metateori. Mentis, Paderborn 2006, ISBN 3-89785-441-4 .
• Benson Mates : Elementary Logic - First Level Predicate Logic. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1997, ISBN 3-525-40541-3 .
• Wesley C. Laks: Logik. Reclam (= Universal Library), Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9 .

Om historien

• Karel Berka , Lothar Kreiser: Logiske tekster. Kommenteret udvalg om moderne logiks historie. 4. udgave. Akademie-Verlag, Berlin 1986.
• William Kneale , Martha Kneale : Udviklingen af ​​logik. Clarendon Press, 1962, ISBN 0-19-824773-7 . Standardarbejde om logikkens historie

Weblinks

Wiktionary: predikatlogik  - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser

• Uschi Robers: Formel repræsentation af prædikatlogik . Tekniske universitet Dortmund.
• Klaus Dethloff , Christian Gottschall: Introduktion til prædikatlogik . Universitetet i Wien.
• Video: Predicate Logic . Education University Heidelberg (PHHD) 2012, stillet til rådighed af Technical Information Library (TIB), doi : 10.5446 / 19823 .

Individuelle beviser

1. ^ Eric M. Hammer: Semantik for eksistentielle grafer . I: Journal of Philosophical Logic , bind 27, nummer 5 (oktober 1998), s. 489: "Udvikling af førsteordens logik uafhængigt af Frege, foregribende prenex og Skolem normale former"
2. ↑ Der er udvidelser af den klassiske prædikatlogik, der giver definitionsmellemrum til sætningsfunktioner eller yderligere sandhedsværdier, for eksempel for at gøre retfærdighed over vage udtryk for naturligt sprog
3. ↑ Liste over alle formler med trecifrede prædikater på Wikiversity .
4. ↑ s. 4 i http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf
5. ↑ s. 4 i http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf
6. ↑ gratis logik i den engelske Wikipedia