Parabel (matematik)

I matematik , en er parabolsk (via latin parabel af antikke græske παραβολή parabole "sidestilling sammenligning, lignelse ligestilling", på grund af παρά Pará "næste" og βάλλειν ballein "kast") er en kurve af anden orden, og er derfor en algebraisk ligning anden Beskrivelig grad. Ud over cirklen , ellipsen og hyperbolen er den en af ​​de keglesnit : Den dannes, når en lige cirkelformet kegle skæres med et plan, der løber parallelt med en overfladelinje og ikke går gennem keglens spids . På grund af dette helt særlige krav til skæring spiller parabolen en særlig rolle blandt de keglesnit: Den har kun ét fokuspunkt, og alle paraboler ligner hinanden .

Parabolen blev opdaget af Menaichmos og navngivet af Apollonios von Perge (ca. 262-190 f.Kr.) som parabolsk .

Eksempler på paraboler er graferne over kvadratiske funktioner kendt fra skolematematik . ${\ displaystyle x \ mapsto f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

Lignelser spiller også en rolle i dagligdagen:

• Funktionen af parabolske antenner og parabolske spejle er baseret på parabelens geometriske egenskab for at indsamle stråler, der ankommer parallelt med dens akse ved brændpunktet (se nedenfor ).
• En sten, der kastes diagonalt opad, bevæger sig omtrent på en parabolsk vej, den kastende parabel (se hoppebold, springvand). Dette skyldes det faktum, at kastebevægelser er beskrevet af kvadratiske funktioner.
• I et fly, der bevæger sig langs en baneparabol, er der vægtløshed. Sådanne parabolske flyvninger bruges til træning af astronauter.
• I matematik bruges paraboler ofte til at tilnærme mere komplicerede funktioner, da de er de enkleste buede funktionsgrafer (ligning :) efter de lige linjer (ligning :) og kan passe bedre end lige linjer til buede funktionsgrafer. I CAD -området ( Computer Aided Design ) fremstår paraboler som Bézier -kurver . En fordel ved paraboler frem for cirkler, ellipser og hyperboler er, at de kan beskrives som en funktionsgraf for 2. grads polynomfunktioner .${\ displaystyle y = mx + b}$${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

Definition med retningslinje

En parabel kan geometrisk beskrives som et locus :

En parabel er den geometriske placering af alle punkter, hvis afstand til et særligt fast punkt - brændpunktet  - er det samme som afstanden til en særlig lige linje - retningslinjen  .${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle d (P, F)}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle d (P, l)}$${\ displaystyle l}$

Noteret som et sæt punkter:

${\ displaystyle \ {P \ mid d (P, F) = d (P, l) \}}$

Det punkt, der ligger i midten mellem brændpunktet og styrelinjen, kaldes parabelens toppunkt eller toppunkt . Den lige linje, der forbinder fokuspunktet og toppunktet, kaldes også parabelens akse . Det er parabelens eneste symmetriakse . ${\ displaystyle S}$

Fører til at koordinere, så det er retningslinjen, og ligningen har, derefter for fra ligningen ${\ displaystyle F = (0, f) \, f> 0}$${\ displaystyle y = -f}$${\ displaystyle P = (x, y)}$${\ displaystyle d (P, F) = d (P, l)}$

${\ displaystyle y = {\ tfrac {1} {4f}} x ^ {2}}$

en parabel, der åbner opad.

Den halve bredde af parablen på niveau med brændpunktet som følge af til og midler (analog med ellipsen, og hyperbel) af halv-parameter af parabolen. Som med ellipsen (i hovedsagen toppunkt ) og hyperbel, den halv-parameter er toppunkt cirklens radius af krumning , dvs. radius af cirklen med krumning ved toppunktet. I tilfælde af en parabel er der også afstanden mellem fokuspunktet og retningslinjen. Parabelens ligning kan således også skrives i følgende form: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle y = f = {\ tfrac {1} {4f}} x ^ {2}}$${\ displaystyle p = 2f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle x ^ {2} = 2py}$

Hvis du bytter og , får du med ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y ^ {2} = 2px}$

ligningen af ​​en parabel åbnet til højre.

Per definition er en parabel lige afstandskurven til dens fokus og linje.

Parabel som funktionsgraf

En parabel åbner opad eller nedad med et toppunkt ved nulpunktet (0,0) og -aksen som aksen repræsenteres (i kartesiske koordinater) ved en ligning ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y = ax ^ {2} {\ text {with}} a \ neq 0}$

beskrevet. For parabolerne er åbne opad, for nedad (se billede). Følgende gælder: ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle a <0}$

• Den Omdrejningspunktet er ,${\ displaystyle (0, {\ tfrac {1} {4a}})}$
• den halve parameter er ,${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {2a}}}$
• den retningslinje har ligningen og${\ displaystyle y = - {\ tfrac {1} {4a}}}$
• den tangenten i det punkt har ligningen .${\ displaystyle (x_ {0}, ax_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2}}$

Til opnåelse af den normale parabel . Dit fokus er den halve parameter, og retningslinjen har ligningen . ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle (0, {\ tfrac {1} {4}})}$${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle y = - {\ tfrac {1} {4}}}$

Efter et skift opnår man spidsformen på enhver parabel, der er åben opad eller nedad: ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x + x_ {0}, y + y_ {0})}$

${\ displaystyle y = a (x-x_ {0}) ^ {2} + y_ {0} \, \ a \ neq 0}$ med afskeden ${\ displaystyle S = (x_ {0}, y_ {0})}$

Ved at multiplicere det, åbner den generelle ligning af en parabel opad eller nedad:

${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c {\ text {with}} a, b, c \ in \ mathbb {R}, a \ neq 0}$

Det er grafen for den kvadratiske funktion

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$.

Hvis funktionen er givet, kan toppunktet findes ved at udfylde firkanten : ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ displaystyle S = (x_ {0}, y_ {0}) = ( - {\ tfrac {b} {2a}}, c - {\ tfrac {b ^ {2}} {4a}})}$

Hver parabel ligner den normale parabel y = x²

Med hensyn til geometri ligner to figurer nøjagtigt hinanden, hvis de kan konverteres til hinanden ved hjælp af en lighedskortlægning . En lighedskortlægning er en sekventiel udførelse af centrisk strækning, forskydninger, rotationer og refleksioner.

Enhver parabel har et toppunkt og kan transformeres ved forskydning og en passende rotation omkring oprindelsen på en sådan måde, at den transformerede parabel har oprindelsen som sit toppunkt og aksen som sin akse. Så parabolen ligner en parabel med ligningen . På grund af den ekstra centriske strækning omdannes parabolen endelig til den normale parabel . Så det gælder ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle S = (s_ {1}, s_ {2})}$ ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x-s_ {1}, y-s_ {2})}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (ax, ay)}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

• Hver parabel ligner den normale parabel.

Bemærkninger:

1. Denne erklæring er kun korrekt for paraboler og ikke for ellipser / enhedscirkler og hyperboler / enhedshyperboler!
2. Der er andre enkle affine -kort, der kortlægger parabolen til den normale parabel. For eksempel . Men dette billede er ikke et lignede billede !${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ left (x, {\ tfrac {y} {a}} \ right)}$

Parabel som et specielt tilfælde af keglesnit

Familien af ​​keglesnit, hvis akse er -aksen, og som har et toppunkt ved oprindelsen (0,0) med toppunktets krumningsradius (vilkårlig, men fast), kan angives ved ligningen ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle y ^ {2} = 2px + (\ varepsilon ^ {2} -1) x ^ {2} \ qquad, \ \ varepsilon \ geq 0}$

beskrive.

• For man opnår en cirkel (vertex krumning cirkel af alle keglesnit af familien),${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$
• for en ellipse,${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <1}$
• for en parabel og${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$
• for en hyperbola (se billede).${\ displaystyle \ varepsilon> 1}$

Den generelle ligning for keglesnit er

${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dx + ey + f = 0 \ quad,}$ a, b, c ikke alle 0.

For at genkende hvilket keglesnit, der beskrives ved en bestemt ligning, skal der foretages en større aksetransformation (rotation og efterfølgende skift af koordinatsystemet). Se også keglesnit .

Parabel som keglesnit

Hvis du skærer en lige cirkelformet kegle med et plan, hvis hældning er lig med hældningen af ​​keglens overfladelinjer, resulterer en parabel som en skæringskurve (se billede, rød kurve). Beviset for den definerende egenskab med hensyn til fokuspunktet og retningslinjen (se ovenfor) udføres ved hjælp af en Dandelin -kugle , dvs. jeg. en kugle, der rører keglen i en cirkel og parabelplanet i et punkt . Det viser sig, at det omdrejningspunktet for parablen og linjen af skæringspunktet mellem planet for den kreds af kontakt med flyet er den retningslinje . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle l}$

1. ${\ displaystyle P}$ være ethvert punkt på skæringskurven.
2. Linjerne og er tangentielle til kuglen og er derfor af samme længde.${\ displaystyle {\ overline {PF}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$
3. Flyene gennem overfladelinjen skærer det parabolske plan i en familie af parallelle lige linjer, der er vinkelret på den lige linje ( !).${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m_ {0} \ parallel \ pi}$
4. Anvendelse af sætning af stråler på de skærende lige linjer og de parallelle linjer giver ligeligheden af ​​linjernes længde . (Bemærk: er af samme længde!).${\ displaystyle A}$${\ displaystyle ZP, BD}$${\ displaystyle {\ overline {BP}}, {\ overline {ZD}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}, {\ overline {PB}}}$${\ displaystyle {\ overline {ZA}}, {\ overline {ZD}}}$
5. Fra ligestillingen af ​​ruternes længde, og det følger endelig${\ displaystyle {\ overline {PF}}}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$

${\ displaystyle | PF | = | Pl |}$.

Gevindkonstruktion af en parabel

Definitionen af ​​en parabel ved hjælp af retningslinjen giver en enkel mulighed for at tegne en bue af en parabel ved hjælp af en tråd og en ret vinkel (her i en T-form for at glide langs en lige linje):

(0) Valg af omdrejningspunktet og retningslinjen for den parabel, der skal tegnes (1) Tråd af længden (blå på tegningen) (2) Fastgørelse af den ene ende af tråden ved linealens punkt, den anden ende ved brændpunktet (3) Anvendelse af vinklen, så det ene ben kan glide langs retningslinjen (4) Brug en pen til at strække tråden, så den hviler mod linealens kant (5) Ved at flytte linealen langs retningslinjen, pennen fejer hen over en parabolsk bue, fordi den altid er ( guideline property ). ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle l}$
${\ displaystyle | AB |}$
${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$


${\ displaystyle | PF | = | PB |}$

Steiner -generation af en parabel og parabolen, der er dobbelt i forhold til den

parabel

Følgende idé om at konstruere individuelle punkter i en parabel er baseret på Steiners generation af en keglesnit (efter den schweiziske matematiker Jakob Steiner ):

Hvis man har en projektiv, men ikke perspektivisk kortlægning af den ene tuft til den anden for to lige tuer på to punkter (alle lige linjer gennem punktet eller ) , danner skæringspunkterne for tildelte lige linjer et ikke-degenereret keglesnit.${\ displaystyle U, \, V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ pi}$

Ved generering af individuelle punkter i parabolen starter vi fra den lige linje ved toppunktet og parallellinjen ved parallellerne til -aksen (dvs. linjen på det yderste punkt af -aksen). Det være sig et punkt i parabel og , . Vi deler ruten i stykker af lige længde og overfører denne division til ruten ved hjælp af et parallelt projektion (se billede). Den anvendte parallelle projektion tilvejebringer den nødvendige projektive kortlægning af tuften i og af den parallelle tuft . Skæringspunkterne for den tildelte lige linje og -th parallellen til -aksen ligger derefter på parabolen, der er klart bestemt af specifikationerne (se figur). ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle A = (0, y_ {0})}$${\ displaystyle B = (x_ {0}, 0)}$${\ displaystyle {\ overline {BP}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle {\ overline {AP}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Pi _ {y}}$${\ displaystyle SB_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle y}$

Det bevis er givet ved en simpel beregning. Se også: projektivt keglesnit .

Bemærk: Den venstre halvdel af parabolen opnås ved refleksion over -aksen. ${\ displaystyle y}$

Kommentar:

1. Steiner generation er også tilgængelig for ellipser og hyperboler .
2. I stedet for parabelens toppunkt og tangentens toppunkt kan du også bruge et hvilket som helst punkt og dets tangent.

Dobbelt parabel

• En dobbelt parabel består af sættet med tangenter af en (almindelig) parabel.

Den tidligere Steiner -generation af en parabel kan dualiseres, dvs. Det vil sige, at betydningen af ​​punkter og lige linjer byttes:

• Hvis man har en projektiv, men ikke perspektivisk, kortlægning af en række punkter på den anden for to rækker punkter på to lige linjer, danner de lige linjer, der forbinder de punkter, der er tildelt dem, et ikke-degenereret dobbeltkeglesnit (se Steiners sætning ). De lige linjer er også tangenter, dvs. elementer i det dobbelte keglesnit.${\ displaystyle u, \, v}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle u, v}$

I praksis

1. hvis du giver tre point ,${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$
2. opdelte både sporet samt i hvert tilfælde de samme dele og nummererer dem på billedet.${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle n}$
3. De lige linjer er derefter tangenterne til en parabel (elementerne i en dobbelt parabel).${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}, P_ {1} P_ {2}, \; (1,1), (2,2), \ dotsc}$
4. Parablen er en Bezier -kurve af grad 2 med punkterne som kontrolpunkter.${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$

Bevis:

Hvis positionsvektorerne for punkterne er , så ${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {0}, {\ vec {p}} _ {1}, {\ vec {p}} _ {2}}$${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {c}} (t) = (1-t) ^ {2} {\ vec {p}} _ {0} + 2t (1-t) {\ vec {p}} _ { 1} + t ^ {2} {\ vec {p}} _ {2}}$

den tilhørende Bezier -kurve (parabel). Derivatet (tangentvektoren) er

${\ displaystyle {\ vec {c}} '(t) = \ cdots = 2 \ venstre ((1-t) {\ vec {p}} _ {1} + t {\ vec {p}} _ {2 } -(1 -t) {\ vec {p}} _ {0} -t {\ vec {p}} _ {1} \ højre) = 2 \ venstre ({\ vec {q}} _ {1} (t) - {\ vec {q}} _ {0} (t) \ højre).}$

Her er parametrene for de tilsvarende delpunkter på linjerne og . Man beregner det er. Så den lige linje er tangent i det parabolske punkt . ${\ displaystyle Q_ {0} (t): \; {\ vec {q}} _ {0} (t) = (1-t) {\ vec {p}} _ {0} + t {\ vec { p}} _ {1}, \ Q_ {1} (t): \; {\ vec {q}} _ {1} (t) = (1-t) {\ vec {p}} _ {1} + t {\ vec {p}} _ {2}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {c}} (t) = (1-t) {\ vec {q}} _ {0} (t) + t {\ vec {q}} _ {1} (t)}$${\ displaystyle Q_ {0} (t) Q_ {1} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {c}} (t)}$

Bemærk: Beviset stammer også fra de to første trin i De Casteljau -algoritmen for en Bezier -kurve af grad 2.

Parabel som et affint billede af den normale parabel

En anden definition af parabolen bruger en særlig geometrisk kortlægning, nemlig affinitet . Her defineres en parabel som et affint billede af den normale parabel${\ displaystyle y = x ^ {2}}$ .

Parametrisk repræsentation

En affin kortlægning i det virkelige plan har formen hvor er en regelmæssig matrix (determinant ikke 0) og er en vilkårlig vektor. Hvis søjlevektorerne er matrixen , bliver den normale parabel til parabolen ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ til {\ vec {f}} _ {0} + A {\ vec {x}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (t, t ^ {2}), t \ in \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} t + {\ vec {f}} _ {2} t ^ {2}}$

afbilledet. er et punkt på parabel og tangensvektor på dette tidspunkt. stå i. A. ikke vinkelret på hinanden. Det vil sige, jeg. A. ikke parabelens toppunkt. Men: Den parabolske akse (symmetriakse gennem toppunktet) er parallel med . Denne definition af en parabel giver en simpel parametrisk repræsentation af enhver parabel. ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {2}}$

Vertex, toppunktsform

Da toppunktet , tangenten til parabelaksen er lodret, og tangentretningen ved et punktparabel er parameterresultatet for spidsen fra ligningen ${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) = {\ vec {f}} _ {1} + 2t {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} '(t) \ cdot {\ vec {f}} _ {2} = {\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ { 2} + 2t {\ vec {f}} _ {2} ^ {\, 2} = 0}$til .${\ displaystyle t_ {0} = - {\ tfrac {{\ vec {f}} _ {1} \ cdot {\ vec {f}} _ {2}} {2 {\ vec {f}} _ {2 } ^ {\, 2}}}}$

Den toppunkt form af den parametriske plot af parabel

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ vec {p}} (t_ {0}) + {\ vec {p}} '(t_ {0}) (t-t_ {0}) + {\ vec {f}} _ {2} (t-t_ {0}) ^ {2}}$.

Eksempler

1. ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {1} = {\ begin {pmatrix } 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ a \ end {pmatrix}}}$giver den sædvanlige parametriske repræsentation af parabolen .${\ displaystyle y = ax ^ {2}: \ quad (t, at ^ {2})}$
   

   Parabel: transformation til toppunktsform (eksempel 3)
2. ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = {\ begin {pmatrix} x_ {0} \\ y_ {0} \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi \\\ sin \ varphi \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {2} = {\ begin {pmatrix} -a \ sin \ varphi \ \ a \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}}$giver den parametriske repræsentation af parabolen, som skyldes rotering af vinklen og derefter forskydning af . Den parametriske repræsentation er allerede i toppunktsform: toppunktet er${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}).}$
3. ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {1} = {\ begin {pmatrix } 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ {\ vec {f}} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$returnerer parablen Den parametriske repræsentation er ikke i toppunktsform. Toppunktsparameteren er og toppunktets form er:${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} t + {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} t ^ {2}.}$${\ displaystyle t_ {0} = - {\ tfrac {1} {2 \ cdot 2}} = - {\ tfrac {1} {4}}}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {p}} (t) = {\ frac {1} {16}} {\ begin {pmatrix} -3 \\ 1 \ end {pmatrix}} + {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}} (t + {\ frac {1} {4}}) + {\ begin {pmatrix} 1 \ \ 1 \ end {pmatrix}} (t + {\ frac {1} {4}}) ^ {2}}$

Implicit repræsentation

Når vi løser den parametriske repræsentation ved hjælp af Cramers regel efter og brugt , opnår vi den implicitte repræsentation ${\ displaystyle \; t, t ^ {2} \;}$${\ displaystyle \; t \ cdot tt ^ {2} = 0 \;}$

${\ displaystyle \ det ({\ vec {x}} \! - \! {\ vec {f}} \! _ {0}, {\ vec {f}} \! _ {2}) ^ {2} - \ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {x}} \! - \! {\ vec {f}} \! _ {0}) \ det ({\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}) = 0}$.

Paraboler i rummet

Hvis vektorerne er ude af , opnås en parametrisk repræsentation af en parabel i rummet. ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}, {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Affinér selvkortlægning af parabolen y = x²

Ikke hver affin kortlægning af det virkelige affineplan (se  forrige afsnit ) kortlægger normparabolen til en anden parabel. Følgende affine kortlægninger forlader parabolen som en hel invariant: ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

• ${\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (ax + b, a ^ {2} y + 2abx + b ^ {2}), a \ neq 0.}$

Disse er de eneste affine kort, der forlader parabolen invariant. ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

For at bevise det: Indstil og anvend den første binomiske formel. ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Særlige tilfælde:

1. For hvert punkt i flyet forbliver fast. Dette billede kaldes identitet.${\ displaystyle a = 1, \, b = 0}$
2. For hvert punkt i parabolen flyttes, dvs. dvs. der er ikke noget fast punkt på parabolen.${\ displaystyle a = 1, \, b \ neq 0}$
3. For kortlægningen er involutiv, dvs. dvs. udført to gange, det er identiteten. Et sådant billede kaldes en skrå refleksion, fordi en lige linje, nemlig forbliver fast punkt for punkt (se afsnittet " Centre for parallelle akkorder "). I dette tilfælde er der præcis én fast punkt på parabel: . Kun i dette tilfælde er en skrå refleksion en "normal" refleksion på aksen.${\ displaystyle a = -1}$${\ displaystyle \ textstyle x = {\ frac {b} {2}}}$${\ displaystyle ({\ tfrac {b} {2}}, {\ tfrac {b ^ {2}} {4}})}$${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle y}$

Bemærk: Hvis det virkelige affineplan suppleres med en afstandslinje og dens fjernpunkter for at danne et projektivt plan, og fjernpunktet for -aksen tilføjes til parabolen , opnås et projektivt keglesnit, der ikke er degenereret , og flere billeder, projektive collineations, er tilgængelige. F.eks. Forlader den projektive collineation med ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (\ textstyle {\ frac {x} {y}}, {\ tfrac {1} {y}})}$

parabolen udvidet på denne måde er invariant. Denne kortlægning er involutiv, efterlader de parabolske punkter fast og udveksler det parabolske punkt med -punktets fjernpunkt. ${\ displaystyle (1,1), (- 1,1)}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle y}$

ejendomme

Fokus

Hvis en stråle , der indfalder parallelt med aksen, ved parabolen - d. H. ved sin tangent - reflekteret, går den reflekterede stråle gennem fokuspunktet. Denne reflekterede stråle kaldes også fokuslinjen eller fokalstrålen for det pågældende paraboliske punkt. Et revolutionerende paraboloid har også den tilsvarende egenskab , dvs. den overflade, der opstår, når en parabel drejes rundt om sin akse; det bruges ofte inden for teknologi (se parabolske spejle ).

For at demonstrere denne egenskab ved en parabel starter man med en parabel af form . Dette er ikke en begrænsning, da enhver parabel kan repræsenteres i et passende koordinatsystem på denne måde. Tangenten i et parabolsk punkt har ligningen (tangentens hældning er resultatet af derivatet .) Tangenten skærer aksen i punktet . Fokus er . Nadirpunktet for loddetøjet i retningslinjen er . For en parabel er . Ud fra koordinaterne til punkterne på billedet kan du se det er. Firkanten er således en diamant, og tangenten er en diagonal af denne diamant og dermed en halveringslinje. Det følger heraf: ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle P = (x_ {0}, ax_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} (x-x_ {0}) + ax_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle y '= 2ax}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle T = (0, -ax_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle F = (0, f), \ f = {\ tfrac {1} {4a}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle L = (x_ {0}, - f)}$${\ displaystyle | PF | = | PL |}$${\ displaystyle F, T, P, L}$${\ displaystyle | FT | = | PL |}$${\ displaystyle PFTL}$

• Fokalstrålen er refleksionen af ​​den indfaldende stråle ved tangenten / parabolen.${\ displaystyle PF}$

Beviset og tegningen viser en mulighed for at konstruere tangenten i et parabolisk punkt ved hjælp af fokuspunktet, retningslinjen og diamanten . (Flere tangentkonstruktioner findes i afsnittet Tangent Construction.) ${\ displaystyle FPLT}$

Centre for parallelle sener

For hver parabel gælder følgende:

• Midtpunkterne for parallelle sener (se billede) ligger på en lige linje. Denne lige linje er parallel med den parabolske akse.

Med andre ord er der for hvert par punkter i en akkord en skrå refleksion på en lige linje , som bytter punkterne og kortlægger parabolen på sig selv. En skrå refleksion forstås som en generalisering af en almindelig refleksion på en lige linje , hvor alle punkter-til-billede punkter er parallelle med hinanden, men ikke nødvendigvis vinkelret på spejlaksen . Hvis akkorderne er vinkelret på den parabolske akse, er den lige linje den parabolske akse, og den skrå refleksion er en almindelig refleksion. ${\ displaystyle P, Q}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle P, Q}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Den nemmeste måde at verificere denne ejendom på er at bruge den normale parabel . Da alle paraboler er affinebilleder af den normale parabel (se ovenfor), og i tilfælde af en affin kortlægning, passerer linjernes midtpunkter ind i billedlinjernes centre, den ovennævnte egenskab gælder for alle paraboler. ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Punktkonstruktion

Enhver parabel kan beskrives ved en ligning i et egnet koordinatsystem . ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

En anden mulighed for at konstruere parabolske punkter kræver viden om tre parabolske punkter og retningen af ​​den parabolske akse:

Følgende gælder for en parabel : Are ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

• ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \, P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}), \, P_ {3} = (x_ {3 }, y_ {3}), \, P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4})}$fire punkter i parabolen og${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$
• ${\ displaystyle Q_ {2}}$skæringspunktet mellem sekanten med den lige linje samt${\ displaystyle P_ {1} P_ {4}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$
• ${\ displaystyle Q_ {1}}$skæringspunktet mellem sekanten og den lige linje (se billede),${\ displaystyle P_ {2} P_ {3}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$

så er sekanten parallel med den lige linje . og er paralleller til den parabolske akse. ${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Hvis de tre punkter i en parabel er givet, kan parabelpunktet konstrueres på denne lige linje ved at angive en lige linje igennem (ikke parallelt med parabelaksen og ingen tangent) med denne egenskab . ${\ displaystyle P_ {1}, \, P_ {2}, \, P_ {3}}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}}$

Som et bevis: Da kun skæringspunkt, forbindelse og parallelisme spiller en rolle, kan beviset udføres på affineækvivalent normal parabel . En kort beregning viser, at den lige linje er parallel med den lige linje . ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$

Bemærk: Denne egenskab af en parabel er en affin version af 5-punkts degeneration af Pascals sætning .

Tangent konstruktion

Enhver parabel kan beskrives ved en ligning i et egnet koordinatsystem . ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

1. metode

Følgende gælder for en parabel : ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

• Er tre punkter i parabolen og${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ { 2})}$${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

${\ displaystyle Q_ {2}}$skæringspunktet mellem sekanten med den lige linje , samt${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

${\ displaystyle Q_ {1}}$skæringspunktet mellem sekanten og den lige linje (se billede),${\ displaystyle P_ {0} P_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$

så er tangenten i punktet parallel med den lige linje .${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

( og er paralleller til den parabolske akse.)${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Denne egenskab kan bruges til at konstruere tangenten ved punktet . ${\ displaystyle P_ {0}}$

Til beviset: Da kun skæringspunkt, forbindelse og parallelisme spiller en rolle, kan beviset udføres på affineækvivalent normal parabel . En kort beregning viser, at den lige linje har hældningen . Dette er tangentens hældning ved punktet . ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$${\ displaystyle 2x_ {0}}$${\ displaystyle P_ {0}}$

Bemærk: Denne egenskab af en parabel er en affin version af 4-punkts degeneration af Pascals sætning .

2. metode

En anden måde at konstruere tangenten på et punkt er baseret på følgende egenskab ved en parabel : ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

• Er to punkter i parabolen og${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

${\ displaystyle Q_ {2}}$skæringspunktet for tangenten ind med den lige linje , samt${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

${\ displaystyle Q_ {1}}$skæringspunktet for tangenten med den lige linje (se billede),${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle x = x_ {1}}$

så er sekanten parallel med den lige linje .${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

( og er paralleller til den parabolske akse.)${\ displaystyle x = x_ {1}}$${\ displaystyle x = x_ {2}}$

Som bevis: Da kun skæringspunkt, forbindelse og parallelisme spiller en rolle, kan beviset udføres på affineækvivalent normal parabel . ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Bemærk: Denne egenskab af en parabel er en affin version af 3-punkts degeneration af Pascals sætning .

Akse retning konstruktion

Med punktkonstruktionen og tangentkonstruktionen (se ovenfor) antages parabelens akseretning at være kendt. Hvis akseretningen ikke er kendt, kan det enten være

1) ved hjælp af midtpunkterne i to parallelle akkorder (se ovenfor) eller

2) ved hjælp af følgende egenskab ved en parabel, der forudsætter kendskab til to parabolske punkter og deres tangenter,

at bygge.

Enhver parabel kan beskrives ved en ligning i et egnet koordinatsystem . ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

Følgende gælder for en parabel : Are ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

• ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \, P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2})}}$ to punkter i parabolen,
• ${\ displaystyle t_ {1}, \, t_ {2}}$ de tilhørende tangenter,
• ${\ displaystyle Q_ {1}}$skæringspunktet mellem de to tangenter ,${\ displaystyle t_ {1}, \, t_ {2}}$
• ${\ displaystyle Q_ {2}}$skæringspunktet mellem parallellen til gennem punktet med parallellen til gennem (se billede),${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$

så er den lige linje parallel med den parabolske akse og har ligningen ${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$

${\ displaystyle x = {\ tfrac {x_ {1} + x_ {2}} {2a}}.}$

Som bevis: Som med de tidligere parabelegenskaber kan man beregne beviset for den normale parabel . ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

Bemærk: Den egenskab, der er beskrevet her, er en affin version af den 3-tangente degeneration af Brianchons sætning .

Pol-polært forhold

En parabel kan altid beskrives i et passende koordinatsystem ved en ligning af formen . Tangens ligning i et parabolsk punkt er . Hvis man tillader i den højre del af ligningen, at ethvert punkt i flyet er, så bliver ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), y_ {0} = ax_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} (x-x_ {0}) + y_ {0} = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2} = 2ax_ {0} x-y_ {0}}$${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})}$

den lige linje er tildelt punktet .${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-y_ {0}}$

Og omvendt kan du

tildel punktet til den lige linje .${\ displaystyle y = mx + d}$${\ displaystyle ({\ tfrac {m} {2a}}, - d)}$

Et sådant tildelingspunkt <-> lige linje kaldes en polaritet eller et pol-polært forhold . Den pol er det punkt, den polære er den tilsvarende lige linje.

Betydningen af ​​dette pol-polære forhold er, at polarens mulige skæringspunkter med parabolen er kontaktpunkterne for tangenterne gennem polen til parabolen.

• Hvis punktet (polen) ligger på parabolen, er dens polar tangent på dette punkt (se billede :) .${\ displaystyle P_ {1}, \ p_ {1}}$
• Hvis polen ligger uden for parabolen, er skæringspunkterne mellem polar og parabel kontaktpunkterne for tangenterne gennem polen til parabolen (se billede :) .${\ displaystyle P_ {2}, \ p_ {2}}$
• Hvis punktet ligger inden for parabolen, har dets polar ingen skæringspunkt med parabolen (se billede: og ).${\ displaystyle P_ {3}, \ p_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}, \ p_ {4}}$

Til bevis: Bestemmelsen af ​​skæringspunkterne for polariteten af ​​et punkt med parabolen og søgningen efter parabolske punkter, hvis tangenter indeholder punktet, fører til den samme kvadratiske ligning. ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}}$${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}}$

Kommentar:

1. Skæringspunktet mellem to polarer (f.eks. På billedet :) er polen på den lige linje, der forbinder de tilhørende poler (her :) .${\ displaystyle p_ {3}, p_ {4}}$${\ displaystyle P_ {3}, P_ {4}}$
2. Fokus og retningslinjen er polære i forhold til hinanden.
3. Lige linjer parallelt med den parabolske akse har ingen poler. De siger: "Dine poler er på langdistancen lige ."

Bemærk: Pol-polære forhold findes også for ellipser og hyperboler. Se også projektivt keglesnit .

Ortogonale tangenter

En parabel har følgende egenskab:

• Tangenter vinkelret på hinanden skærer sig i retningslinjen.

Den geometriske placering af alle punkter, hvor tangenter af en given kurve krydser ortogonalt kaldes den ortoptiske kurve . I tilfælde af en parabel er dens retningslinje den tilhørende ortoptiske kurve.

Grundkurve

Den Fußpunktkurve (engl:. Pedal kurve ) af en (regulær) kurve er summen af Lotfußpunkte fra et fast punkt , stangen, fra tangenten til kurven. Følgende gælder for en parabel:${\ displaystyle P}$

• Basiskurven på en parabel med hensyn til dens brændpunkt som en pol er tangenten i toppunktet.${\ displaystyle F}$

Bevis:

Omdrejningspunktet for parabolen er punktet . Tangenten i ethvert parabolisk punkt har ligningen ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$${\ displaystyle F = (0, {\ tfrac {1} {4a}})}$${\ displaystyle (x_ {0}, ax_ {0} ^ {2})}$

${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2}.}$

For påstanden er korrekt, så det i det følgende kan antages. Det vinkelrette fra brændpunktet til tangenten har ligningen ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle x_ {0} \ neq 0}$

${\ displaystyle y = - {\ frac {x} {2ax_ {0}}} + {\ frac {1} {4a}} \ quad \ leftrightarrow \ quad 2ax_ {0} x -ax_ {0} ^ {2} = - (2ax_ {0}) ^ {2} å.}$

Så for skæringspunktet mellem tangenten og vinkelret,

${\ displaystyle y = - (2ax_ {0}) ^ {2} y}$

opfyldes for det, der kun er muligt. ${\ displaystyle y = 0}$

Mere generelt er bundpunktskurver med en pol på parabelens symmetriakse cissoider . Der er fire særlige tilfælde. Ud over ovenstående tilfælde med brændpunktet som pol, opnår man cissoiderne i Diocles for toppunktet som polen, de (lige) strophoids for fokuspunktet reflekteret ved toppunktet som polen og trisectrix af Maclaurin for fokuspunkt reflekteret ved linjen som polen .

Paraboler med formen y = ax² + bx + c

Perifer vinkel indstillet til paraboler

Formens paraboler er funktionsgrafer, der er entydigt bestemt af de 3 parametre . Så du har brug for 3 point for at bestemme disse parametre. En hurtig metode er baseret på sættet af perifere vinkler til paraboler. ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle a, b, c}$

En vinkel, der skal måles mellem to akkorder, udfører vi to lige linjer, der ikke skal være parallelle akser, en firkant , en: ${\ displaystyle y}$

For to lige linjer måler vi den tilsvarende vinkel med tallet .${\ displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, \ y = m_ {2} x + d_ {2}}$${\ displaystyle m_ {1} -m_ {2}}$

To lige linjer er parallelle hvis og dermed vinkeldimensionen = 0. ${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$

Analogt med sættet med perifere vinkler til cirkler gælder det her

Perifert vinkelsæt (til paraboler):

For fire punkter (se billede) gælder følgende:${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3,4, \ x_ {i} \ neq x_ {k}, i \ neq k}$

De fire punkter ligger kun på en parabel af formen, hvis vinklerne ved og i ovenstående vinkelmål er ens, dvs. dvs. hvis${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ displaystyle P_ {4}}$

${\ displaystyle {\ frac {(y_ {4} -y_ {1})} {(x_ {4} -x_ {1})}}} -{\ frac {(y_ {4} -y_ {2})}} {(x_ {4} -x_ {2})}} = {\ frac {(y_ {3} -y_ {1})} {(x_ {3} -x_ {1})}}} -{\ frac { (y_ {3} -y_ {2})} {(x_ {3} -x_ {2})}}}}$

(Bevis ved genberegning. Man kan for en retning antage, at punkterne ligger på en parabel .) ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

3-punkts form af en parabel

Analogt med 2-punktsformen af ​​en lige linje (hældningsvinkler måles med hældningen) resulterer sættet i perifere vinkler for paraboler i

3-punkts form (til paraboler):

Parabelens ligning gennem 3 punkter opnås ved at løse ligningen${\ displaystyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i}), \ i = 1,2,3, \ x_ {i} \ neq x_ {k}, i \ neq k}$

${\ displaystyle {\ frac {({\ color {red} y} -y_ {1})} {({\ color {green} x} -x_ {1})}} -{\ frac {({\ color {rød} y} -y_ {2})} {({\ farve {grøn} x} -x_ {2})}} = {\ frac {(y_ {3} -y_ {1})}} ((x_ {3} -x_ {1})}} -{\ frac {(y_ {3} -y_ {2})} {(x_ {3} -x_ {2})}}}}$

efter y.

Parabel i polære koordinater

En parabel, der er beskrevet af i kartesiske koordinater, opfylder ligningen i polære koordinater ${\ displaystyle y ^ {2} = 4fx}$

${\ displaystyle r (\ varphi) = 4f {\ frac {\ cos (\ varphi)} {\ sin ^ {2} (\ varphi)}} \ quad {\ text {med}} \ varphi \ in \ venstre [ - {\ tfrac {\ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right] \ setminus \ {0 \}.}$

Dit fokus er . Hvis koordinaternes oprindelse er placeret i deres fokuspunkt, gælder den polære ligning for dem ${\ displaystyle (f, 0)}$

${\ displaystyle r (\ varphi) = {\ frac {2f} {1- \ cos (\ varphi)}} {\ tekst {med}} \ varphi \ neq 2 \ pi k.}$

Grafisk multiplikation

En normal parabel er en "multiplikationsmaskine": du kan bruge den til grafisk at beregne produktet af to tal. For at gøre dette skal du først tegne den normale parabel i et kartesisk koordinatsystem. De faktorer, der skal multipliceres, er afbildet på aksen, og et punkt på parabolen bestemmes for hver værdi. Hvis tallene er markeret med og , er der to punkter og . Den lige linje igennem og skærer aksen på et punkt, hvis koordinat har værdien . I grænsetilfældet er den lige linje en tangent til parabolen. ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle P (a | a ^ {2})}$${\ displaystyle Q (b | b ^ {2})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle -a \ cdot b}$${\ displaystyle a = b}$

Hvis og har det samme tegn, er det mere praktisk at anvende en af ​​faktorerne i en negativ retning i stedet for senere at vende resultatet af resultatet, som det gøres i eksemplet med værdierne og . Her indtaster du faktorerne som værdier med forskellige tegn i koordinatsystemet, nemlig som og . Hvis du forbinder punkterne med en lige linje, kan du se, at skæringspunktet mellem den lige linje med -aksen er 6 = 2 · 3 . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = 3}$${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (-3 | 9)}$${\ displaystyle Q (2 | 4)}$${\ displaystyle y}$

Parabel og kædelinje

Kædelinjer ligner paraboler, men det er de ikke. Rebet på en hængebro, der hænger på grund af sin egen vægt, beskriver en kædelinje. Dette er ikke beskrevet af en kvadratisk funktion, men af ​​den hyperboliske cosinus . Matematisk udtrykkes ligheden ved, at den hyperboliske cosinus er på linje

${\ displaystyle \ cosh x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} = {\ color {red} 1 + {\ frac { x ^ {2}} {2}}} + {\ frac {x ^ {4}} {24}} + {\ frac {x ^ {6}} {720}} + \ prikker}$

lad os udvikle. De to første udtryk (rød) beskriver en parabel og kan bruges som en tilnærmelse til cosh -funktionen for små . ${\ displaystyle x}$

Paraboler som kvadratiske Bezier -kurver

En kvadratisk Bézier -kurve er en kurve, hvis parametriske repræsentation bestemmes af tre punkter , og : ${\ displaystyle {\ vec {c}} (t)}$${\ displaystyle P_ {0}: {\ vec {p}} _ {0}}$${\ displaystyle P_ {1}: {\ vec {p}} _ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}: {\ vec {p}} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {c}} (t) \ & = \ \ sum _ {i = 0} ^ {2} {\ binom {2} {i}} t ^ {i} (1-t) ^ {2-i} {\ vec {p}} _ {i} \\\ & = \ (1-t) ^ {2} {\ vec {p}} _ {0} + 2t (1-t) {\ vec {p}} _ {1} + t ^ {2} {\ vec {p}} _ {2} \\\ & = \ ({\ vec {p}} _ {0 } -2 {\ vec {p}} _ {1} + {\ vec {p}} _ {2}) t ^ {2} + ( - 2 {\ vec {p}} _ {0} +2 { \ vec {p}} _ {1}) t + {\ vec {p}} _ {0} {\ text {,}} t \ in [0,1] \ end {align}}}$

Denne kurve er en bue af en parabel (se afsnit: Parabel som et affint billede af den normale parabel).

Paraboler og numerisk integration

I numerisk integration tilnærmes værdien af ​​et bestemt integral ved at tilnærme grafen for den funktion, der skal integreres ved hjælp af parabolske buer og integrere dem. Dette fører til Simpson -reglen , se billede.

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ approx {\ frac {ba} {6}} \ cdot \ left (f (a) + 4f \ left ({\ frac { a + b} {2}} \ højre) + f (b) \ højre)}$

Kvaliteten af ​​tilnærmelsen øges ved at øge underopdelingen og erstatte grafen med et tilsvarende antal parabolske buer og integrere dem.

Paraboler som plane sektioner af quadrics

Følgende overflader af anden orden ( quadrics ) har paraboler som plane sektioner:

• Elliptisk kegle (se også keglesnit )
• Parabolsk cylinder
• Elliptisk paraboloid
• Hyperbolisk paraboloid
• Single-shell hyperboloid
• Dobbeltskal hyperboloid

• 

  Elliptisk kegle

• 

  Parabolsk cylinder

• 

  Elliptisk paraboloid

• 

  Hyperbolisk paraboloid

• 

  Single-shell hyperboloid

• 

  Dobbeltskal hyperboloid

Laguerre -plan: parabolernes geometri

I det klassiske tilfælde er et Laguerre -plan en forekomststruktur, der i det væsentlige beskriver kurvernes geometri , det vil sige paraboler og lige linjer, i det virkelige observationsplan. Ikke kun lige linjer, men også paraboler fås som forbindelseskurver. For eksempel er der i et Laguerre -plan nøjagtigt en forbindelseskurve for tre punkter med forskellige x -koordinater. ${\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}$

Parabel som en trisektrix

En parabel kan også bruges som en trisektrix , hvilket betyder, at den kan bruges som et ekstra hjælpemiddel til præcist at opdele enhver vinkel i tre med et kompas og lineal . Bemærk, at dette ikke modsiger umuligheden af ​​at opdele vinkler i tre dele med et kompas og lineal, da de klassiske regler for konstruktioner med kompasser og linealer ikke tillader brug af paraboler.

Til kløft én, du placerer dit ben på x -aksen , så toppunktet ligger på oprindelsen af den koordinatsystem . Koordinatsystemet indeholder også grafen over parabolen . Fra punkt af skæringspunktet mellem den enhedscirklen omkring oprindelse med det andet vinkelben , den vinkelrette falder på y- akse. Det vinkelrette vinkelret på det vinkelrette og tangenten til enhedscirklen i punktet skærer hinanden ved et punkt . Derefter skærer cirklen parabolen med radius, og vinkelret fra til x -aksen skærer enhedscirklen ind . Den vinkel er nu præcis en tredjedel af udgangs vinkel . ${\ displaystyle \ vinkel AOB}$${\ displaystyle OB}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle y = 2x ^ {2}}$${\ displaystyle OA}$ ${\ displaystyle (0,1)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle | OC |}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$ ${\ displaystyle \ vinkel BOP_ {2}}$${\ displaystyle \ vinkel AOB}$

Korrektheden af ​​denne konstruktion kan bevises ved at vise, at x - koordinaten for har værdien . Systemet af ligninger, der består af ligningen for den cirkel omkring C og parablen tilvejebringer den kubiske ligning for x -koordinat . Baseret på den trigonometriske identitet kan man straks se, at der er en løsning på den kubiske ligning. ${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha)}$${\ displaystyle P_ {1}}$ ${\ displaystyle 4x ^ {3} -3x- \ cos (3 \ alpha) = 0}$${\ displaystyle \ cos (3 \ alpha) = 4 \ cos (\ alpha) ^ {3} -3 \ cos (\ alpha)}$${\ displaystyle \ cos (\ alpha)}$

Denne type vinkeltrisektion går tilbage til René Descartes , der beskrev det i sin bog La Geometria (1637).

Højere orden parabel

En parabel af rækkefølgen${\ displaystyle n}$ forstås at være grafen for en polynom -t. Grad (i modsætning til grafen for en eksponentiel funktion eller en kvadratrodsfunktion, ...). En 3. ordens parabel kaldes også en kubisk parabel . ${\ displaystyle n}$

Altså: kun i tilfælde er en højere ordens parabel en almindelig parabel. ${\ displaystyle n = 2}$

Neils lignelse

Den semikubiske parabel eller semikubiske lignelse er en algebraisk kurve af 3. orden:

• Kartesisk koordinatligning: med en reel parameter${\ displaystyle y ^ {2} -a ^ {2} x ^ {3} \, = \, 0}$${\ displaystyle a> 0}$
• Eksplicit: ${\ displaystyle y = \ pm ax ^ {\ frac {3} {2}}}$

Det er ikke en lignelse i sædvanlig forstand; d. H. ingen keglesnit.

Parabel y = x² over et vilkårligt talfelt

Hvis man betragter det sæt, der opfylder den parabolske ligning i et affinisk plan over et hvilket som helst (kommutativt) legeme , forbliver mange egenskaber ved den reelle normale parabel, som er formuleret med "skærer", "forbinder" og "parallel", og hvis bevis er kun multiplikation / Brug division og addition / subtraktion. F.eks .: ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle y = x ^ {2}}$

• En lige linje skærer parabolen i højst to punkter.${\ displaystyle y = x ^ {2}}$
• Gennem hver parabolske punkt der (ved siden af linjen ) lige en lige linje med den parabel kun punkt til fælles, at tangenten : . En lige linje uden et skæringspunkt kaldes en forbipasserende , og en lige linie med to punkter i krydset kaldes en sekant .${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle x = x_ {0}}$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {0} ^ {2})}$ ${\ displaystyle y = 2x_ {0} x-x_ {0} ^ {2}}$

Forskelle i den virkelige sag:

1. For (rationelle tal) er den lige linje en forbipasserende, fordi ligningen ikke har nogen løsning.${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle y = 2}$${\ displaystyle x ^ {2} = 2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
2. Der er ingen forbipasserende for (komplekse tal). F.eks .: skærer parabolen ved punkterne .${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle y = -1}$${\ displaystyle (i, -1), ( -i, -1)}$
3. Hvis kroppen har karakteristik 2 (dvs. den gælder ), er der ingen sekanter blandt de lige linjer , da hver ligning i tilfælde af karakteristik 2 højst har en løsning (der er ikke noget ” ”). Tangenten i det parabolske punkt har (for karakteristik 2) ligningen . Det vil sige, at alle tangenter er parallelle med -aksen.${\ displaystyle 1 + 1 = 0}$${\ displaystyle y = d}$${\ displaystyle x ^ {2} = d}$${\ displaystyle \ pm}$${\ displaystyle (x_ {0}, x_ {0} ^ {2})}$${\ displaystyle y = x_ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle x}$

Se også

• Konfokale keglesnit
• Parabolsk cirkel af Frans van Schooten
• Terning fordobling

Hændelse

litteratur

• Peter Proff: Fortolkningen af ​​udtrykkene "ellipse", "parabel" og "hyperbola" ifølge Apollonios v. Perge. I: “Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker”. Bidrag til videnskabens historie. Festschrift til Willem F. Daems 70 -års fødselsdag. Redigeret af Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen / Hanover 1982 (= Würzburg medicinhistorisk forskning, 24), ISBN 3-921456-35-5 , s. 17–34.

Weblinks

• Geogebra: parabel
• Paraboler. På: mathematische-basteleien.de.
• Parabel . I: Serlo .
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , 1659

Individuelle beviser

1. ^ Wilhelm Gemoll : græsk-tysk skole- og håndordbog . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München / Wien 1965. 
2. ^ Peter Proff: Fortolkningen af ​​udtrykkene "ellips", "parabel" og "hyperbola" ifølge Apollonios v. Perge. I: Gundolf Keil (red.): "Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker". Bidrag til videnskabens historie. Festschrift til Willem F. Daems 70 -års fødselsdag. Horst Wellm Verlag, Pattensen / Hanover 1982 (= Würzburg medicinhistorisk forskning, 24), ISBN 3-921456-35-5 , s. 17–34; her s. 17.
3. ^ Frans van Schooten : Mathematische Oeffeningen , Leyden, 1659, s. 334
4. ^ Erich Hartmann: Projektiv geometri. (PDF; 180 kB). Kort manuskript, Uni Darmstadt, s. 16.
5. ^ Jacob Steiners foredrag om syntetisk geometri. BG Teubner, Leipzig 1867 ( på Google Books ), del 2, s. 96.
6. ↑ ^{a b} Dörte Haftendorn: Udforskning og forståelse af kurver: Med GeoGebra og andre værktøjer . Springer, 2016, ISBN 9783658147495 , s. 258-261
7. ↑ CDKG: Computerassisteret deskriptiv og konstruktiv geometri (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), s. 107.
8. ↑ CDKG: Computerassisteret deskriptiv og konstruktiv geometri (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), s. 95.
9. ↑ CDKG: Computerassisteret deskriptiv og konstruktiv geometri (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), s. 117.
10. ↑ CDKG: Computerassisteret deskriptiv og konstruktiv geometri (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), s. 123.
11. ^ Robert C. Yates: Trisektionsproblemet . National Mathematics Magazine, bind 15, nr. 4 (jan. 1941), s. 191-202 ( JSTOR )
12. ^ Robert C. Yates: Trisektionsproblemet, 5. Parabolen. I: ERIC. National Council of Teachers of Mathematics, Inc., Washington, DC, 1971, s. 35-37 , åbnede 19. juni 2019 . 
13. ^ Erich Hartmann: Projektiv geometri. (PDF; 180 kB). Kort manuskript, Uni Darmstadt, s. 12-16.