Punkt (geometri)

Et punkt (som et punkt i rummet ) er et grundlæggende element i geometri . Man forestiller sig et objekt under det uden nogen udvidelse. Med den aksiomatiske tilgang til geometri ( syntetisk geometri ) er der andre klasser af geometriske objekter, såsom lige linjer ud over punkter . I modsætning hertil defineres alle andre geometriske objekter i analytisk geometri og differentiel geometri som sæt af punkter. I funktionel analyse kan funktioner ses som punkter i et funktionsrum. I højere geometriFor eksempel forstås planer i et tredimensionelt projektivt rum som punkter i det tilknyttede dobbeltrum .

Punktet tæller som en speciel cirkel med en radius på nul til koniske sektioner . Et sådant punkt blev tidligere kaldt et matematisk punkt.

Gammel geometri til syntetisk geometri

Efter Proclus var Pythagoras den første til at tilbyde en definition af et punkt, som en enhed ( monas ), der har en position. Den græske matematiker Euclid beskriver omkring 300 f.Kr. I sit arbejde The Elements i den første definition er punktet "noget, der ikke har nogen dele" og bruger udtrykket semeion ( ældre græsk σημεῖον faktisk "tegn", i matematik især "punkt"). Det er en abstrakt betegnelse, der sandsynligvis skal forstås som et svar på de vanskeligheder, der er diskuteret udførligt i den platoniske skole for at forstå forbindelsen mellem punkter, der ikke har nogen udvidelse, og de linjer, der er sammensat af dem, og som har udvidelse; for eksempel i Aristoteles ' De generatione et corrupte .

For sætninger og deres bevis i syntetisk geometri betyder den sande natur af punkter og linjer dog ikke noget, kun forholdet mellem objekterne til hinanden bestemt af aksiomer. David Hilbert krediteres med at sige, at i stedet for "punkter, lige linjer og fly" kunne man også når som helst sige "borde, stole og ølkrus"; alt, hvad der betyder noget, er at aksiomerne er opfyldt.

Et punkt i dette tilfælde er et udtryk, som de enkelte aksiomer refererer til. Et eksempel er det første aksiom fra Hilberts aksiomsystem :

To forskellige punkter P og Q bestemmer altid en lige linje g.

Betydningen af ​​udtrykket punkt stammer fra aksiomsystemets totalitet. En fortolkning som et objekt uden udvidelse er ikke obligatorisk.

I det projicerende plan er udtrykkene punkt og lige linje endda helt udskiftelige. Dette gør det muligt at forestille sig en lige linje så uendelig lille og et punkt så uendeligt lang og uendelig tynd.

Analytisk geometri

I analytisk geometri er det geometriske rum repræsenteret som et -dimensionelt vektorrum over en krop . Hvert element i dette vektorrum kaldes et punkt. En base definerer et koordinatsystem , og komponenterne i en vektor i forhold til denne base kaldes koordinaterne for punktet. Et punkt har dimensionen nul. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$

Alle andre geometriske objekter er defineret som sæt af punkter. For eksempel er en lige linje defineret som et endimensionalt affint underrum og et plan som et todimensionalt affint underrum. En kugle defineres som det sæt punkter, der er en vis afstand fra centrum.

Differentiel geometri

I differentiel geometri kaldes elementerne i en manifold punkter. I dette tilfælde er dette ikke vektorer, men et punkt kan forsynes med koordinater ved hjælp af et lokalt kort.

Citater

Følgende kommentar kommer fra Oskar Perron :

litteratur

• Manon Baukhage: Pointen. Ganske vist ser det ikke meget ud - så lille som det er. Faktisk er det en af ​​verdens store gåder ; i: "PM - Peter Moosleitners Magazin nr. 2/2005 (München: februar 2005); s. 58–65.

Weblink

• Definition af punktet i henhold til Euclid (Leipzig 1549) [3]

Individuelle beviser

1. ↑ Mathias Hartmann: Grundlæggende lære af geometri [1] side 1
2. ↑ [2]
3. ^ Wilhelm Gemoll : Græsk-tysk skole- og håndbog . G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München / Wien 1965. 
4. ^ Leslie Kavanaugh: Arkitektonisk filosofi: Platon, Aristoteles, Leibniz . Amsterdam University Press. 2007.
5. ^ Oskar Perron: Ikke-euklidisk elementær geometri af flyet , Stuttgart 1962