aksiom

Et aksiom (fra det græske ἀξίωμα axíoma , "kræve; vilje; beslutning; princip; philos. (...) sætning, der ikke kræver noget bevis", "forståelse, dom, princip accepteret som sandt") er et princip i en teori , en videnskab eller et aksiomatisk system , som inden for dette system hverken er berettiget eller deduktivt afledt, men villigt accepteret eller sat som grundlag.

Afgrænsninger

Inden for en teori, der kan formaliseres, er en afhandling et forslag, der skal bevises. Et aksiom er derimod et forslag, der ikke skulle bevises i teorien, men forudsættes uden bevis. Hvis teoriens valgte aksiomer er logisk uafhængige , kan ingen af ​​dem udledes af de andre. Axiomerne i denne calculus kan altid afledes inden for rammerne af en formel calculus . I formel eller syntaktisk forstand er dette et bevis ; Fra et semantisk synspunkt er det et cirkulært argument . Ellers gælder følgende: "Hvis en afledning er baseret på aksiomerne i en beregning eller på sande udsagn, så taler man om et bevis."

Axiom bruges som det modsatte af sætning (i snævrere forstand). Teoremer og aksiomer er sætninger i en formaliseret beregning, der er forbundet med afledte relationer. Teoremer er sætninger, der stammer fra aksiomer gennem formelle bevis. Undertiden bruges imidlertid termerne afhandling og teorem i en bredere forstand for alle gyldige propositioner af et formelt system, dvs. H. som et generisk udtryk, der inkluderer både aksiomer og sætninger i den oprindelige forstand.

Axiomer kan således forstås som betingelser for den komplette teori , for så vidt de kan udtrykkes i en formaliseret beregning. Inden for et fortolket formelt sprog kan forskellige teorier skelnes ved valg af aksiomer. I tilfælde af ufortolket beregning af formel logik taler man i stedet for teorier om logiske systemer, der er helt bestemt af aksiomer og regler for slutning . Dette relativiserer begrebet deducerbarhed eller bevisbarhed: det eksisterer kun nogensinde i forhold til et givet system. Aksiomerne og de afledte udsagn hører til objektets sprog , reglerne til metasproget .

En beregning er imidlertid ikke nødvendigvis en aksiomatisk beregning, som derfor består af "et sæt aksiomer og det mindst mulige sæt af slutningsregler". Der er også proof calculi og tableau calculi .

Immanuel Kant kalder aksiomer for "syntetiske principper a priori, forudsat at de straks er sikre" og udelukker ved denne definition dem fra filosofiets område. Dette er baseret på begreber, der som abstrakte billeder aldrig har nogen beviser som genstand for øjeblikkelig intuition. Han adskiller derfor filosofiens diskursive principper fra de intuitive principper i matematik: førstnævnte skulle være "komfortable med at retfærdiggøre deres autoritet på grund af dem ved grundigt deduktion" og derfor ikke opfylder kriterierne for en a priori.

Sondringer

Udtrykket aksiom har tre grundlæggende betydninger. Han beskriver

  1. et straks oplysende princip - det klassiske (materielle) aksiomkoncept,
  2. en naturlov, der kan postuleres som et princip for empirisk godt bekræftede regler - det videnskabelige (fysiske) begreb aksiomer,
  3. en startsætning, der antages at være gyldig i en beregning af et formelt sprog - det moderne (formelle) begreb aksiomer .

Klassisk aksiomudtryk

Det klassiske aksiom spores tilbage til elementerne i geometrien af Euclid og Analytica posteriora af Aristoteles . I denne opfattelse betegner aksiom et straks oplysende princip eller en henvisning til et sådant princip. Et aksiom i denne essentielle betydning behøver ikke noget bevis på grund af dets empiriske beviser. Axiomer blev betragtet som absolut sande forslag om eksisterende objekter, der er imod disse forslag som objektive virkeligheder. Denne betydning var fremherskende indtil det 19. århundrede.

I slutningen af ​​det 19. århundrede var der en "klipning af ledningen fra virkeligheden". Den systematiske undersøgelse af forskellige aksiomsystemer til forskellige geometrier ( euklidisk , hyperbolsk , sfærisk geometri osv.), Som umuligt alle kunne beskrive den faktiske verden, måtte resultere i, at aksiombegrebet blev forstået mere formalistisk og aksiomer som helhed overtog en konventionel karakter i betydningen definitioner. Som banebrydende viste skrifterne, at David Hilbert var aksiomatisk, at produktet, der stammer fra de empiriske videnskaber, postulerer bevis for de formelle kriterier for fuldstændighed og konsistens erstattet. En alternativ måde at forstå et aksiomsystem henviser derfor ikke bare til den faktiske verden, men følger skemaet: Hvis en struktur opfylder aksiomerne, så opfylder den også afledningerne fra aksiomerne (såkaldte sætninger ). Sådanne synspunkter kan findes i implikationisme, deduktivisme eller eliminativ strukturisme.

I aksiomatiserede calculi i betydningen moderne formel logik kan de klassiske epistemologiske (bevis, sikkerhed), ontologiske (henvisning til ontologisk mere fundamentale ting) eller konventionelle (accept i en bestemt sammenhæng) kriterier for markering af aksiomer udelades. Axiomer adskiller sig kun formelt fra sætninger, da de er grundlaget for logiske fradrag i en given beregning. Som et "grundlæggende" og " uafhængigt " princip kan de ikke stamme fra andre startsætninger inden for aksiomsystemet og kræver ikke noget formelt bevis på forhånd .

Videnskabeligt aksiomkoncept

I de empiriske videnskaber henviser aksiomer også til grundlæggende love, der er blevet empirisk bekræftet mange gange. Newtons mekaniske aksiomer er givet som et eksempel .

Videnskabelige teorier, især fysik, er også baseret på aksiomer. Teorier udledes af disse, hvis sætninger og følger følger forudsigelser om resultatet af eksperimenter . Hvis udsagn fra teorien modsiger eksperimentel observation, justeres aksiomerne. For eksempel giver Newtons aksiomer kun gode forudsigelser for “langsomme” og “store” systemer og er blevet erstattet eller suppleret med aksiomerne med særlig relativitet og kvantemekanik . Ikke desto mindre fortsætter man med at bruge Newtons aksiomer til sådanne systemer, da konklusionerne er enklere, og resultaterne er tilstrækkeligt præcise til de fleste applikationer.

Formelt aksiomkoncept

Af Hilbert var et formelt aksiomudtryk dominerende (1899): Et aksiom er en hvilken som helst ukendt erklæring. Dette er en rent formel kvalitet. Beviset eller den ontologiske status for et aksiom betyder ikke noget og overlades til en separat fortolkning .

Et aksiom er så et grundlæggende udsagn om, at

  • Er en del af et formaliseret sætningssystem,
  • accepteres uden beviser og
  • hvorfra alle propositioner (sætninger) af systemet sammen med andre aksiomer logisk er afledt.

Det hævdes undertiden, at aksiomer er helt vilkårlige i denne forståelse: et aksiom er "en ubevist og derfor ikke forstået sætning", for hvorvidt et aksiom er baseret på indsigt og derfor "forståeligt" betyder ikke noget. Det er rigtigt, at et aksiom - relateret til en teori - er uprøvet. Men det betyder ikke, at et aksiom skal være beviseligt. Kvaliteten af ​​at være et aksiom er i forhold til et formelt system. Hvad der er et aksiom i en videnskab kan være en sætning i en anden.

Et aksiom misforstås kun, for så vidt dets sandhed ikke formelt er bevist, men forudsat. Det moderne begreb aksiomer tjener til at afkoble aksiomegenskaben fra bevisproblemet, men det betyder ikke nødvendigvis, at der ikke er noget bevis. Det er dog et definerende træk ved den aksiomatiske metode, at man ved fradraget af sætningerne kun drager konklusioner på basis af formelle regler, og at der ikke bruges fortolkning af de aksiomatiske tegn.

Spørgsmålet om, hvorvidt der er (matematiske, logiske, reelle) objekter, som aksiomsystemet gælder for, er oprindeligt uden interesse, men er stort set sidestilles med konsistens. Naturligvis er eksempler på objekter, som man kan arbejde med succes med aksiomsystemet, gyldige som bevis for eksistensen af ​​sådanne objekter og for konsistensen af ​​aksiomsystemet.

Eksempler på aksiomer

Traditionel logik

Klassisk logik

Den originale formulering kommer fra Georg Cantors naive sætteori og syntes kun at udtrykke forbindelsen mellem forlængelse og intention med et udtryk . Det var et stort chok, da det viste sig, at i aksiomatiseringen af Gottlob Frege kunne den ikke tilføjes uden modsigelse til de andre aksiomer, men gav anledning til Russells antinomi .

matematik

Aksiomer er grundlaget for matematik.

Generelt er der i matematik termer som naturlige tal , monoid , gruppe , ring , krop , Hilbert-rum , topologisk rum osv. Kendetegnet ved et system af aksiomer. Man taler for eksempel om Peano-aksiomerne (for de naturlige tal), gruppeaksiomerne , ringaksiomerne osv. Nogle gange kaldes individuelle krav (inklusive konklusionerne) i et system også lov (f.eks. Den associerende lov ).

Et specielt aksiomsystem af de nævnte eksempler - de naturlige tal med Peano-aksiomerne muligvis udelukket (se nedenfor) - skal forstås som en definition . For at være i stand til at adressere et bestemt matematisk objekt, fx som en monoid (og derefter udlede yderligere egenskaber), skal det bevises (ved hjælp af andre aksiomer eller sætninger), at kravene formuleret i aksiomsystemet for monoiden alle gælder for objektet. Et vigtigt eksempel er udførelsen af funktioner efter hinanden , for hvilke beviset for associativitet ikke er helt trivielt. Hvis dette bevis ikke er tilstrækkeligt for et af aksiomerne, kunne det pågældende objekt ikke betragtes som et monoid. ( Beviset for Fibonacci-multiplikationens associativitet , der går tilbage til D. Knuth , er ekstremt vanskeligt .)

I denne henseende er mange af de navngivne "aksiomsystemer" slet ikke (og er næsten i modsætning til) grundlæggende udsagn , der " accepteres uden bevis" som "udledte udsagn" .

  • Feltet aksiomer i forbindelse med arrangementet aksiomer og fuldstændigheden aksiom definerer de reelle tal .
  • Axiom af paralleller : "For hver lige linje og hvert punkt , der ikke er på denne lige linje, er der nøjagtigt en lige linje gennem dette punkt, der er parallel med den lige linje." Dette postulat af euklidisk geometri blev altid anset for mindre sandsynligt end andre. Da dens gyldighed er anfægtet, er der gjort forsøg på at udlede det fra de andre definitioner og postulater. Under aksiomatiseringen af ​​geometrien ved begyndelsen af ​​det 19. århundrede viste det sig, at en sådan afledning ikke er mulig, da den er logisk uafhængig af aksiomatiseringen af ​​de andre postulater . Dette ryddet vejen for anerkendelse af ikke-euklidiske geometrier .
  • Udtrykket "sandsynlighed" er blevet defineret nøjagtigt implicit siden 1933 af et aksiomsystem oprettet af Kolmogorow . Dette forsynede alle forskellige stokastiske skoler - fransk, tysk, britisk, hyppighed, bayesianer, probabilister og statistikere - med en ensartet teori for første gang.

Selvom der er andre grundlæggende systemer ( teorier af første orden ), bruges Peano-aksiomerne for det meste som basis for tælling i naturlige tal uden yderligere reference. For eksempel:

fysik

Forslag til aksiomatisering af vigtige delområder

Teorier om de empiriske videnskaber kan også rekonstrueres "aksiomatisk" . I videnskabens filosofi er der imidlertid forskellige forståelser af, hvad det faktisk betyder at "aksiomatisere en teori". Axiomatiseringer er blevet foreslået for forskellige fysiske teorier. Hans Reichenbach helligede sig bl.a. i tre monografier hans forslag om en aksiomatik af relativitetsteorien , hvorved han blev særlig stærkt påvirket af Hilbert. Selv Alfred Robb og Constantin Carathéodory lagde Axiomatisierungsvorschläge den specielle relativitetsteori før. For både den specielle og den generelle relativitetsteori er der nu et stort antal forsøg på aksiomatisering diskuteret i videnskabsteorien og i fysikens filosofi . Patrick Suppes og andre har foreslået en meget diskuteret aksiomatisk rekonstruktion i moderne forstand for klassisk partikelmekanik i deres newtonske formulering, og Georg Hamel , en studerende af Hilbert, og Hans Hermes har allerede præsenteret aksiomatiseringer af klassisk mekanik. Günther Ludwigs firma er fortsat et af de mest populære forslag til aksiomatisering af kvantemekanik . For den aksiomatiske kvantefeltsteori v. en. Arthur Wightmans formulering fra 1950'erne er vigtig. Inden for kosmologi var fremgangsmåder til axiomatisering blandt andre. Edward Arthur Milne var særlig indflydelsesrig. Der findes aksiomatiseringsforslag til blandt andet klassisk termodynamik . af Giles, Boyling, Jauch, Lieb og Yngvason. For alle fysiske teorier, der fungerer med sandsynligheder, især statistisk mekanik , blev aksiomatisering af sandsynlighedsberegning af Kolmogorow vigtig.

Forholdet mellem eksperiment og teori

Axiomerne i en fysisk teori er hverken formelt påviselige, eller ifølge den opfattelse, der nu er almindelig, direkte og kollektivt verificerbare eller falsificerbare gennem observationer . Ifølge en opfattelse af teorier og deres forhold til eksperimenter og det deraf følgende idiom, som er særlig udbredt i epistemologisk strukturalisme , vedrører test af en bestemt teori om virkeligheden normalt udsagn af formen "dette system er en klassisk partikelmekanik". Hvis en tilsvarende teoriprøve er vellykket, z. Hvis der f.eks. Gives korrekte forudsigelser af målte værdier, kan denne kontrol tjene som bekræftelse på, at et tilsvarende system blev talt korrekt blandt de tilsigtede anvendelser af den tilsvarende teori, og i tilfælde af gentagne fejl, antallet af tilsigtede applikationer kan og bør reduceres ved tilsvarende typer af systemer bliver.

litteratur

Artikler i emnecyklopædier og ordbøger

Monografier

  • Evandro Agazzi : Introduzione ai problemi dell'assiomatica. Milano 1961.
  • Robert Blanché : Axiomatics. Routledge, London 1962.
  • Euclid : Elementerne. Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 4. udvidelse Udgave. 2005.
  • David Hilbert et al.: Fundamentals of Geometry. Teubner 2002, ISBN 3-519-00237-X .
  • Árpád Szabó : Begyndelse af græsk matematik. Oldenbourg 1969, ISBN 3-486-47201-1 .
  • Bochenski: De moderne tankemetoder . 10. udgave. 1993, s. 73 ff.
  • Carnap: Introduktion til symbolsk logik. 3. Udgave. 1968, s. 172 ff.
  • Hilbert / Ackermann: Grundlæggende om teoretisk logik. 6. udgave. 1972, s. 24.
  • Kutschera: Frege. 1989, s. 154 f.
  • Hermann Schüling: Historien om den aksiomatiske metode i det 16. og tidlige 17. århundrede. Ændring i forståelsen af ​​videnskab . [Undersøgelser og materialer om filosofiens historie; 13]. Georg Olms, Hildesheim 1969.
  • Nagel, Newmann: Gödel's bevis. I: Meixner (red.): Logikfilosofi. 2003, s. 150 (169).
  • Tarski: Introduktion til matematisk logik. 5. udgave. 1977, s. 126 ff.

Weblinks

Wiktionary: Axiom  - forklaringer på betydninger, ordets oprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

  1. ↑ Duden | Axiom | Stavning, betydning, definition, oprindelse. Hentet 22. november 2019 .
  2. ↑ Mængde, Hermann: Langenscheidts Large Dictionary Græsk Tysk, Berlin, 1979 (23. udgave)
  3. ^ Peter Prechtl: Axiom . I: Helmut Glück (red.): Metzler Lexikon Sprache . JB Metzler Verlag GmbH, Stuttgart 2016, ISBN 978-3-476-02641-5 , s. 81 .
  4. ↑ afhandling . I: Regenbogen, Meyer: Dictionary of Philosophical Terms. 2005.
  5. ↑ afledning . I: Regenbogen, Meyer: Dictionary of Philosophical Terms. 2005.
  6. ↑ Som i Tarski: Introduktion til matematisk logik. 5. udgave. (1977), s. 127.
  7. ↑ Jf. Carnap: Introduktion til symbolsk logik. 3. Udgave. (1968), s. 172.
  8. ↑ Så z. B. Paul Ruppen: Introduktion til formel logik. En lærings- og øvelsesbog for ikke-matematikere. Peter Lang, Bern 1996, s. 125.
  9. ↑ a b Bochenski: De moderne tankemetoder . 10. udgave (1993), s. 79.
  10. ^ Bußmann: Leksikon for lingvistik. 3. udgave, 2002, beregning.
  11. ↑ Immanuel Kant: Kritik af ren fornuft . I: Benno Erdmann (red.): Udgave af det preussiske videnskabsakademi . bånd III . Georg Reimer, Berlin 1904, s. 480 f .
  12. ↑ Ulrich Felgner: Hilberts "Fundamentals of Geometry" og deres position i historien om den grundlæggende diskussion . I: Årsrapport fra den tyske matematikerforening . bånd 115 , nr. 3 , 2014, s. 185-206 , doi : 10.1365 / s13291-013-0071-5 .
  13. ↑ jf. B. Michael Potter: Set Theory and its Philosophy. En kritisk introduktion. Oxford University Press, Oxford / New York 2004, s.8.
  14. ↑ Jf. Joseph Maria Bocheński : De moderne tænkemetoder . 10. udgave 1993, s. 78 f.
  15. ↑ Rainbow / Meyer: Dictionary of Philosophical Terms (2005) / Axiom.
  16. ^ A b Seiffert: Theory of Science IV. 1997, begyndende.
  17. ↑ Seiffert: Theory of Science IV. 1997, Axiom.
  18. ↑ Carnap: Introduktion til symbolsk logik. 3. udgave, 1968, s. 174.
  19. ↑ Spree, i: Rehfus: Kort ordbogsfilosofi. 2003, aksiom.
  20. ↑ Jf. Indledning og repræsentant for den aktuelle debat, Wolfgang Stegmüller : Problemer og resultater af videnskabens filosofi og analytisk filosofi, bind II: teori og erfaring, anden del: Teoristrukturer og teoridynamik. Springer, Berlin et al., 2. udgave, 1985, s. 34 ff.
  21. ↑ Jf. Især H. Reichenbach: Axiomatik i den relativistiske rum-tidsteori. Vieweg, Braunschweig 1924.
  22. ↑ På de moderne diskussionspunkter, se K. Brading, T. Ryckman: Hilbert 's 'Foundations of Physics': Gravitation og Elektromagnetisme inden den aksiomatisk metode. I: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 39. 2008, 102-53.
  23. ↑ Se AA Rob: en teori om tid og rum. Cambridge University Press, Cambridge 1914.
  24. F Jf. C. Carathéodory: Om relativitetsteoriens aksiomatik. I: Møderapporter fra det preussiske videnskabsakademi. Fysisk-matematisk klasse 5. 1924, 12–27.
  25. ↑ Se JCC McKinsey, AC Sugar, P. Suppes: Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics. I: Journal of Rational Mechanics and Analysis 2. 1953, s. 253-272. Denne tilgang er rekapituleret i en noget modificeret form og diskuteret i Stegmüller, l. c., s. 106 ff.
  26. ↑ Jf. G. Hamel: Mekanikens aksiomer. I: H. Geiger, K. Scheel (hr.): Handbuch der Physik, bind 5: Mekanik af punkter og stive kroppe. Springer, Berlin 1927, s. 1-42.
  27. ↑ H. Hermes: En aksiomatisering af generel mekanik. Forskning i logik, New Series 3, Hirzel, Leipzig 1938. Ders.: On axiomatization of mechanics. I: L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski (red.): Den aksiomatiske metode. Amsterdam 1959, s. 282-290 ( archive.org ).
  28. F Jf. G. Ludwig: Fortolkning af udtrykket "fysisk teori" og det aksiomatiske fundament for kvantemekanikkens Hilbert-rumstruktur gennem de vigtigste måleprincipper. Forelæsningsnotater i fysik 4, Springer, Berlin 1970 og Ders.: En aksiomatisk basis for kvantemekanik. Bind 1/2, Springer, Berlin 1985/1987.
  29. ↑ Udgivet i 1964 i A. Wightman, Ray Streater : PCT, Spin, Statistics og alt det der. BI University Pocket Book 1964 ( PCT, Spin, Statistics and all that. Benjamin, New York 1964.)
  30. ↑ Se den indledende oversigt i George Gale:  Cosmology: Methodological Debates i 1930'erne og 1940'erne. I: Edward N. Zalta (red.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  31. ↑ Se R. Giles: Matematiske fundamenter for termodynamik. Pergamon, Oxford 1964.
  32. ↑ Se JB Boyling: En aksiomatisk tilgang til klassisk termodynamik. I: Proceedings of the Royal Society of London 329. 1972, 35-71.
  33. ↑ Se J. Jauch: Om et nyt fundament for ligevægtstermodynamik. I: Foundations of Physics 2. (1972), 327-332.
  34. ↑ Se EH Lieb, J. Yngvason: Fysik og matematik i den anden lov om termodynamik . I: Physics Reports 310.1999, 1-96.314.669, arxiv : cond-mat / 9708200 .
  35. F Jf. NA Kolmogorov: Grundlæggende begreber om sandsynlighed. Springer, Berlin 1933. Introduktion til aktuelle filosofiske fortolkninger af sandsynligheder og Kolmogorovs fundamenter: Alan Hájek:  Fortolkninger af sandsynlighed. I: Edward N. Zalta (red.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .; Thomas Hochkirchen: Axiomatisering af sandsynlighedsteori og dens sammenhænge. Fra Hilberts sjette problem til Kolmogoroffs grundlæggende koncepter. Vandenhoeck og Ruprecht, Göttingen 1999.