polynom

Et polynom summerer multiplerne af kræfter for en variabel eller ubestemt :

${\ displaystyle P (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dotsb + a_ {n} x ^ {n}, \ quad n \ geq 0}$

eller kort med sumsymbolet :

${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}, \ quad n \ geq 0}$

Det er summeringstegnet, figurerne er koefficienterne (for eksempel reelle tal eller generelle emner fra en hvilken som helst ring, der skal være) og er den ubestemte. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle x}$

Eksponenter af magter er naturlige tal . Summen er også altid endelig . Uendelige summer af multipler af kræfter med naturlige nummer-eksponenter for en ubestemt kaldes formelle magtserier .

Der er nogle vigtige specielle polynomer til matematik og fysik .

I elementær algebra identificeres dette udtryk med en funktion i (en polynomfunktion ). I abstrakt algebra skelnes der strengt mellem en polynomial funktion og et polynom som et element i en polynomring . I skolematematik kaldes en polynomfunktion ofte for en fuldstændig rationel funktion . ${\ displaystyle x}$

Denne artikel forklarer også de matematiske termer: ledende koefficient, normalisering af et polynom og absolut udtryk .

etymologi

Ordet polynom betyder noget som "multi-named". Det kommer fra det græske πολύ polý "meget" og όνομα onoma "navn". Dette navn går tilbage til Euclids elementer . I bog X kalder han en todelt sum ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): "bestående af to navne". Udtrykket polynom går tilbage til Viëta : I sin Isagoge (1591) bruger han udtrykket polynomia magnitudo for en mængde med flere udtryk .${\ displaystyle a + b}$

Polynomer i elementær algebra

Graf over en 5. graders polynomfunktion

I modsætning til abstrakt algebra forstås polynomer som funktioner i elementær algebra. Derfor bruges udtrykket polynomial funktion i stedet for polynom i dette afsnit.

definition

I elementær algebra er en polynomfunktion en funktion af form ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ dotsb + a_ {n-1} x ^ {n-1} + a_ {n} x ^ {n}, \ quad n \ geq 0}$,

hvor som definitionsdomæne for den (uafhængige) variabel enhver - algebra kommer i tvivl, hvis værdiområdet er koefficienterne (se nedenfor). Ofte er dette dog sættet med hele , reelle eller komplekse tal . De kommer fra en ring , for eksempel et felt eller en restklassering , og kaldes koefficienter . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle R}$

• Alle eksponenter er naturlige tal .

• Den grad af polynomiet er den højeste eksponent for hvilke koefficienten for den monomial er ikke nul. Denne koefficient er førende koefficient (også: førende koefficient ). (Notationen for graden af ​​polynomet stammer fra det engelske udtryk grad . Den tysksprogede litteratur bruger ofte også betegnelsen eller , som kommer fra tysk .)${\ displaystyle i \ in \ {0, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i} x ^ {i}}$${\ displaystyle \ deg f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathrm {grad} \, f}$${\ displaystyle \ mathrm {degree} \, f}$
• Sættet af alle virkelige polynomfunktioner af en hvilken som helst (men begrænset) grad er et vektorrum, der naturligvis ikke kan illustreres ved hjælp af geometriske ideer .
• For nul polynom, hvor alle er nul, er graden defineret som.${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle - \ infty}$
• Hvis den førende koefficient er 1, kaldes polynomet normaliseret eller monisk .
• Hvis koefficienterne er relativt primære , eller hvis indholdet er 1, kaldes polynomet primitivt.

Koefficienten kaldes det absolutte udtryk. kaldes et lineært udtryk , et kvadratisk udtryk og et kubisk udtryk.${\ displaystyle a_ {0}}$ ${\ displaystyle a_ {1} x}$${\ displaystyle a_ {2} x ^ {2}}$${\ displaystyle a_ {3} x ^ {3}}$

Simpelt eksempel

Ved

${\ displaystyle P (x): = 9x ^ {3} + x ^ {2} + 7x-3 {,} 8}$

et polynom af tredje grad er givet (den højest forekommende eksponent er 3). I dette eksempel 9 er den førende koefficient (som en faktor før den højeste effekt ), de andre koefficienter er: 1 ; 7 og −3.8 . ${\ displaystyle x}$

Betegnelse af specielle polynomiske funktioner

Polynomier af grad

• 0 kaldes konstante funktioner (f.eks. ).${\ displaystyle P (x) = - 1}$
• 1 lineære funktioner eller mere præcist affine lineære funktioner kaldes (f.eks. ).${\ displaystyle P (x) = 3x + 5}$
• 2 kaldes kvadratiske funktioner (f.eks. ).${\ displaystyle P (x) = - 3x ^ {2} -4x + 1}$
• 3 kaldes kubiske funktioner (f.eks. ).${\ displaystyle P (x) = 4x ^ {3} -2x ^ {2} + 7x + 2}$
• 4 kaldes kvartfunktioner (f.eks. ).${\ displaystyle P (x) = 6x ^ {4} -x ^ {3} + 4x ^ {2} + 2x + 2}$

nulpunkt

De nuller af et polynomium funktion eller rødder eller opløsninger af et polynomium ligning er de værdier af for hvilke funktionen værdi nul, det vil sige som opfylder ligningen . En polynomfunktion over en krop (eller mere generelt en integritetsring ) har altid højst så mange nuller som graden indikerer. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle P (x) = 0}$

Desuden siger den grundlæggende sætning af algebra , at en kompleks polynomfunktion (dvs. en polynomfunktion med komplekse koefficienter) af grad har mindst et komplekst nul (ren eksistenssætning). Så er der nøjagtigt nuller ( polynomial opdeling ), hvis nuller tælles efter deres mangfoldighed . For eksempel er polynomets nul en dobbelt . Som et resultat kan enhver kompleks polynomfunktion af positiv grad opdeles i et produkt af lineære faktorer . Generelt kan man finde en algebraisk feltforlængelse for hvert felt , hvor alle polynomer af positiv grad med koefficienter i nedbrydning som polynomer i lineære faktorer. I dette tilfælde kaldes det algebraisk lukning af . ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle (x-2) ^ {2}}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$

Nullerne af polynomer i første, anden, tredje og fjerde grad kan beregnes nøjagtigt med formler (for eksempel med pq-formlen for kvadratiske ligninger), men polynomfunktioner af højere grad kan kun tages med i nøjagtigheden i specielle tilfælde med hjælp af radikale symboler. Dette er udsagnet fra Abel-Ruffini-sætningen .

Polynomer i abstrakt algebra

definition

I abstrakt algebra defineres et polynom som et element i en polynomring . Dette er igen udvidelsen af koefficientringen med et ubestemt, (algebraisk) frit element . Dette indeholder de beføjelser , og deres lineære kombinationer med . Dette er alle elementerne, dvs. det vil sige, hvert polynom er unikt ved sekvensen${\ displaystyle R [X]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R [X]}$${\ displaystyle X ^ {n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ textstyle a_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {k}}$${\ displaystyle a_ {k} \ i R}$

${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ prikker, a_ {n}, 0,0, \ prikker) \ i R \ gange R \ gange R \ gange \ prikker}$

kendetegnet ved dets koefficienter.

konstruktion

Omvendt kan en model af den polynomiske ring konstrueres ved hjælp af sættet med endelige sekvenser i . Til dette formål defineres en tilføjelse " " som summen af ​​delene efter udtryk, og en multiplikation " " defineres ved sammenfald af serien. Så er det, og det er det også ${\ displaystyle R [X]}$${\ displaystyle R \ gange R \ gange R \ gange \ prikker}$${\ displaystyle R [X]}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle a = (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$${\ displaystyle b = (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$

${\ displaystyle a + b: = (a_ {n} + b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}}}$

og

${\ displaystyle a \ cdot b: = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}} = \ left (\ sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N} _ {0}},}$

${\ displaystyle R [X]}$med disse links er der nu i sig selv en kommutativ ring, polynomringen (i en ubestemt) over . ${\ displaystyle R}$

Hvis man identificerer den ubestemte som en sekvens , således at , etc., så hver sekvens kan igen være repræsenteret i intuitiv fornemmelse som et polynomium som ${\ displaystyle X: = (0,1,0,0, \ dotsc)}$${\ displaystyle X ^ {2} = X \ cdot X = (0,0,1,0,0, \ dotsc)}$${\ displaystyle X ^ {3} = X ^ {2} \ cdot X = (0,0,0,1,0,0, \ dotsc)}$${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc) \ i R [X]}$

${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc) = a_ {0} + a_ {1} \ cdot X + a_ {2} \ cdot X ^ {2} + \ dotsb = a_ {0} + \ sum _ {n \ in \ mathbb {N} _ {> 0}} a_ {n} \ cdot X ^ {n}.}$

Forhold til den analytiske definition

Hvis man nu overvejer, at der ifølge antagelsen er et naturligt tal , så det gælder for alle , så kan hvert polynom over en kommutativ enhedsring ifølge ovenstående overvejelser tydeligt skrives som . Dette er dog ikke en funktion som i analyse eller elementær algebra, men en uendelig rækkefølge (et element i ringen ) og er ikke en "ukendt", men sekvensen . Man kan dog bruge det som et "mønster" til derefter at danne en polynomfunktion (dvs. et polynom i almindelig analytisk forstand). Til dette bruger man den såkaldte insertionshomomorfisme . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle a_ {i} = 0}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle f \ i R [X]}$${\ displaystyle f = a_ {0} + a_ {1} \ cdot X + \ dotsb + a_ {n} \ cdot X ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R [X]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (0,1,0,0, \ dotsc)}$${\ displaystyle f}$

Det skal dog bemærkes, at forskellige polynomer kan inducere den samme polynomiale funktion. For eksempel, hvis den resterende klasse ringer , inducerer polynomierne${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} = \ {{\ bar {0}}, {\ bar {1}}, {\ bar {2}} \}}$${\ displaystyle f, g \ in (\ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}) [X]}$

${\ displaystyle f = X (X - {\ bar {1}}) (X - {\ bar {2}}) = X ^ {3} - {\ bar {3}} X ^ {2} + {\ bjælke {2}} X = X ^ {3} -X}$

og

nul polynomet ${\ displaystyle g = 0}$

både nul kortlægning , det vil sige: for alle${\ displaystyle 0 \ in \ operatorname {Fig} \ left (\ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}, \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z} \ right)}$${\ displaystyle f (x) = g (x) = {\ bar {0}} = 0 (x)}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}.}$

For polynomer over det reelle eller heltal eller generelt en uendelig ring , men et polynom bestemmes dog af den inducerede polynomfunktion.

Sættet af polynomiumfunktioner med værdier i også danner en ring ( sub-ring af den funktion ring ), som sjældent overvejes. Der er en naturlig ringhomomorfisme af ringen af ​​polynomfunktionerne, hvis kerne er det sæt polynomier, der inducerer nul-funktionen. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [X]}$

Generaliseringer

Polynomer i flere ubestemte

Generelt forstår man hver sum af monomier af formen som et polynom (i flere ubestemte): ${\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n}} X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}$

${\ displaystyle P (X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n}} a_ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n} } X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}$

Læs: "Capital-p fra kapital-x-1 til kapital-xn (er) er lig med summen over hele i-1 op til i fra ai-1-bis-in gange kapital-x-1 til kraften i -1 til kapital- xn høj i "

En monomial rækkefølge gør det muligt at arrangere monomialerne i et sådant polynom og derved generalisere termer såsom styringskoefficient .

Størrelsen kaldes den samlede grad af et monomium . Hvis alle (ikke-forsvindende) monomier i et polynom har den samme samlede grad, siges det at være homogent . Den maksimale samlede grad af alle ikke-forsvindende monomier er graden af ​​polynomet.${\ displaystyle i_ {1} + \ dotsb + i_ {n}}$${\ displaystyle X_ {1} ^ {i_ {1}} \ dotsm X_ {n} ^ {i_ {n}}}$

Det maksimale antal mulige monomier af en given grad er

${\ displaystyle {\ binom {n + k-1} {k}},}$

Læs: "n + k-1 over k" eller "k fra n + k-1"

hvor er antallet af forekommende ubestemte og graden. Et problem med kombinationer med gentagelse (erstatning) overvejes tydeligt her. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Hvis man sammenlægger antallet af mulige monomier af grad op til , opnår man for antallet af mulige monomier i et polynom af en vis grad : ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ binom {n + k} {k}}}$

Læs: "n + k over k" eller "k fra n + k"

Hvis alle ubestemte er "lige" på en bestemt måde, kaldes polynomet symmetrisk . Hvad der menes er: hvis polynomet ikke ændres, når det ubestemte byttes.

Polynomierne i det ubestemte over ringen danner også en polynomring, skrevet som . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [X_ {1}, \ dotsc, X_ {n}]}$

Formel power-serie

Går til uendelige rækker af form

${\ displaystyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}}$

Læs: "f (er) lig med summen af ​​i lig med nul til uendelig ai (gange) (kapital) x til kraften af ​​i"

over, opnår man formelle magtserier .

Laurent polynomer og Laurent-serier

Hvis du også tillader negative eksponenter i et polynom, får du et Laurent-polynom . Svarende til den formelle magtserie kan formelle Laurent- serier også overvejes. Disse er formgenstande

${\ displaystyle f = \ sum _ {i = -N} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}.}$
Læs: "f (er) lig med summen af ​​i lig med minus (kapital) n til uendelighed ai (gange) (kapital) x til kraften af ​​i"

Posynomiale funktioner

Hvis du tillader flere variabler og eventuelle reelle kræfter, får du begrebet posynomial funktion .

litteratur

• Albrecht Beutelspacher: Lineær algebra. 8. udgave, ISBN 978-3-658-02413-0 , doi : 10.1007 / 978-3-658-02413-0
• Michael Holz & Detlef Wille: Gentagelse af lineær algebra, del 2 , ISBN 978-3923923427
• Gerd Fischer: Textbook of Algebra , ISBN 978-3-658-02221-1 , doi : 10.1007 / 978-3-658-02221-1

Weblinks

Wiktionary: Polynom  - forklaringer på betydninger, ordets oprindelse, synonymer, oversættelser

• Java-applet til beregning af (også komplekse) nuller til polynomer op til 24. grad (ifølge Newtons metode )

Individuelle beviser

1. ↑ jf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, s. 187, fodnote **, der forklaring på betegnelsen "binomial formel"
2. ↑ Se fordelingen med resten for nytten af ​​denne indstilling .
3. ↑ Ernst Kunz: Introduktion til algebraisk geometri. S. 213, Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .