Algebraisk geometri

Den algebraiske geometri er en gren af ​​matematik, som den abstrakte algebra , især studiet af kommutative ringe , med geometrien forbundet. Det kan kort beskrives som undersøgelsen af algebraiske ligningers nuller .

Geometriske strukturer som et sæt nuller

Sfære og den "vippede" cirkel

I algebraisk geometri defineres geometriske strukturer som et sæt nuller i et sæt polynomer . For eksempel kan den todimensionale enhedssfære i det tredimensionelle euklidiske rum defineres som det sæt af alle punkter, for hvilke følgende gælder: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}$.

En "vippet" cirkel ind kan defineres som det sæt af alle punkter, der opfylder følgende to polynomiske betingelser: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0,}$

${\ displaystyle x + y + z = 0.}$

Afgrænse sorter

Hvis der generelt er et felt og et sæt polynomer i variabler med koefficienter i , er sæt nuller defineret som den delmængde, der består af de fælles nuller af polynomierne i . Et sådant sæt nuller kaldes en affin sort . De affine sorter definerer en topologi på , kaldet Zariski topologi . Som en konsekvens af Hilberts grundlæggende sætning kan hver sort defineres ved kun endeligt mange polynomiske ligninger. En sort kaldes irreducible, hvis det ikke er foreningen af ​​to ægte lukkede undergrupper. Det viser sig, at en sort er irreducerbar, hvis og kun hvis de polynomer, der definerer det, genererer et primært ideal for polynomringen. Overensstemmelsen mellem sorter og idealer er et centralt tema i algebraisk geometri. Man kan næsten give en ordbog mellem geometriske udtryk, såsom variation, irreducerbar osv., Og algebraiske udtryk, såsom ideal, primærideal osv. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V (S)}$${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle K ^ {n}}$

En kommutativ ring kan associeres med hver sort , den såkaldte koordinatring . Den består af alle de polynomiske funktioner defineret på sorten. De vigtigste idealer for denne ring svarer til de irreducerbare undervarianter af ; hvis det er algebraisk lukket , hvilket normalt antages, svarer punkterne til de maksimale idealer for koordinatringen ( Hilberts nul-sætning ). ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V}$

Projektivt rum

I stedet for at arbejde i affin rum , flytter man typisk til projektivt rum . Den største fordel er, at antallet af skæringspunkter mellem to sorter derefter let kan bestemmes ved hjælp af Bézouts sætning . ${\ displaystyle K ^ {n}}$

I den moderne opfattelse vendes korrespondancen mellem sorterne og deres koordineringringe: man starter med en hvilken som helst kommutativ ring og definerer en tilknyttet sort ved hjælp af dens primære idealer. Først konstrueres et topologisk rum ud fra de primære idealer , ringens spektrum . I sin mest generelle formulering fører dette til Alexander Grothendiecks ordninger .

En vigtig klasse af sorter er de abelske sorter . Disse er projicerende sorter , hvis punkter danner en abelsk gruppe . De typiske eksempler på dette er elliptiske kurver , som spiller en vigtig rolle i beviset for Fermats store sætning . Et andet vigtigt anvendelsesområde er kryptografi med elliptiske kurver.

Algoritmiske beregninger

Mens der i algebraisk geometri hovedsageligt er lavet abstrakte udsagn om sorternes struktur i lang tid, er der for nylig blevet udviklet algoritmiske teknikker, der muliggør effektiv beregning med polynomiale idealer. De vigtigste værktøjer er Gröbner-baserne , som er implementeret i de fleste af nutidens computeralgebra- systemer.

historisk overblik

Algebraisk geometri blev stort set udviklet af de italienske geometricere i det tidlige tyvende århundrede. Deres arbejde var dybtgående, men ikke på et tilstrækkeligt stringent grundlag. Den kommutative algebra (som studiet af kommutative ringe og deres idealer) blev udviklet af David Hilbert , Emmy Noether udviklede også og andre i begyndelsen af ​​det tyvende århundrede. De havde allerede de geometriske applikationer i tankerne. I 1930'erne og 1940'erne André Weil indså, at algebraisk geometri skulle placeres strengt og udviklede en tilsvarende teori. I 1950'erne og 1960'erne reviderede Jean-Pierre Serre og især Alexander Grothendieck disse principper ved hjælp af Sheaf og senere ved hjælp af ordningerne . I dag er der mange meget forskellige underområder af algebraisk geometri, på den ene side abstrakt teori i fodsporene på Grothendieck, på den anden side områder, hvor kombinatorik og diskret matematik anvendes, såsom torisk geometri eller tropisk geometri .

Eksempler på affine sorter

• Keglesnit
  • cirkel
  • ellips
  • parabel
  • hyperbole
• Sæt med rødder af tredje ordens polynomer
  • Kartesisk ark
  • Cissoider
  • Strofoider
• Sæt med nuller af fjerde-ordens polynomer
  • Conchoid
  • Pascal snegl

litteratur

• Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: Algebraisk geometri. Grundlæggende. Heldermann Verlag , Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3 .
• Alexander Grothendieck : Eléments de géométrie algébrique. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 0-387-05113-9 .
• Robin Hartshorne : Algebraisk geometri. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9 .
• Klaus Hulek : Elementær algebraisk geometri. Vieweg / Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9
• Ernst Kunz : Introduktion til algebraisk geometri. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .
• Igor Shafarevich : Grundlæggende algebraisk geometri. Springer-Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-540-54812-2 .

Weblinks

• @ 1@ 2Skabelon: Dead Link / www.aviduratas.de( Side ikke længere tilgængelig , søg i webarkiver: Kommutativ algebra og algebraisk geometri ) (PDF; 1,8 MB) Script
• @ 1@ 2Skabelon: Dead Link / planetmath.org( Siden er ikke længere tilgængelig , søg i webarkiver : PlanetMath oversigtsartikel )
• Septic med 99 kolon (engelsk)
• Dieudonne Den historiske udvikling af algebraisk geometri , American Mathematical Monthly 1982
• Abhyankar Historiske vandringer i algebraisk geometri og beslægtet algebra , amerikansk matematisk månedlig 1976