Pascal snegl

Den Pascal snegl , også kaldet Pascal limaçon , er en særlig flad kurve , mere præcist en algebraisk kurve af 4. orden. Den nyre er et specialtilfælde af den Pascal snegl.

Pascal snegle

Det er opkaldt efter den franske advokat Étienne Pascal , far til matematikeren, fysikeren og filosofen Blaise Pascal , skønt Albrecht Dürer tegnede det for første gang et halvt århundrede tidligere i sin bog Underweysung of Measurement og kaldte det "edderkoppelinje" på grund af hjælpelinjerne i hans konstruktion.

Ligninger

Pascal snegl med parametre og${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

• Kartesiske koordinater :${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -ax) ^ {2} -b ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) \, = \, 0}$
• Polære koordinater :${\ displaystyle r = a \ cos \ varphi + b}$
• Parametrisk ligning :${\ displaystyle x = a (\ cos t) ^ {2} + b \ cos t; \ qquad y = a \ cos t \ sin t + b \ sin t}$

egenskaber

• Følgende geometriske egenskab kan bruges til at definere kurven : Givet en cirkel med diameter a, et punkt A på denne cirkel og et positivt reelt tal b. Derefter for ethvert punkt B i cirklen ligger de to punkter P og P ', som ligger på den lige linje AB og er i afstand b fra B, på Pascal-skruen. Det er derfor et specielt tilfælde af den generelle conchoid .
• Området, der er lukket af Pascal-sneglen, har området . Det skal bemærkes, at arealet af den indre sløjfe tælles to gange, da punkterne inde i denne sløjfe er dækket to gange af kurven .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} a ^ {2} \ pi + b ^ {2} \ pi}$${\ displaystyle b <a}$
• Den bue længde af Pascals snegle er${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {\ sqrt {a ^ {2} + 2abcos {\ varphi} + b ^ {2}}} \, \ mathrm {d} \ varphi}$
• Der oprettes en sløjfe til værdier og mindst en yderligere indrykning.${\ displaystyle b <a}$${\ displaystyle b <2a}$
• For værdier tilnærmes skruens areal arealet til en tilsvarende cirkel (med radius og centrum ) til mindre end 1%.${\ displaystyle b> 7a}$${\ displaystyle r = b}$${\ displaystyle M (1 | 0)}$

Pascals snegl som Trisektrix

Pascals snegl som Trisektrix med ${\ displaystyle a = | AB |, \, b = | MB |}$

Pascal-ormen med parameterforholdet er også kendt som en trisectrix , da den kan bruges til at opdele en vinkel i tre . For at gøre dette vælger man et punkt B på et af benene i den givne vinkel med punkt A og konstruerer en Pascal-skrue med | AB | som diameteren på den tilknyttede cirkel med centrum M og radius af denne cirkel som afstandsparameter b. Cirklen A med radius b skærer det andet ben i C. nu skærer spor CM den indre sløjfes af limaçon i P 'og sporet AP' vinkel, som det segment AB er en tredjedel af produktionen vinkel, dvs. . ${\ displaystyle b = {\ tfrac {a} {2}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {\ alpha} {3}}}$

Anvendelser inden for astronomi

Skyggerne af roterende sorte huller kan beskrives med meget høj nøjagtighed af Pascal limaçons, hvilket er en meget stor forenkling sammenlignet med den beregningsintensive strålesporingsmetode .

litteratur

• Højere matematik lige ved hånden . Vieweg, 1974, s. 719–722 ( uddrag (Google) )
• I Bronshtein, KA Semendyayev, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Matematikhåndbog . Springer, 2015, s. 98-99 ( uddrag (Google) )
• EH Lockwood: Book of Curves . Cambridge University Press, 1961, s. 44-51
• J. Dennis Lawrence: Et katalog over specielle flykurver . Dover Publications, 1972, s. 113–117 ( uddrag (Google) )
• Robert C. Yates: Kurver og deres egenskaber . National Council of Teachers of Mathematics, 1974, s. 148-151

Weblinks

• Dürer's konstruktion af Pascals snegl i hans undervægt under målingen (s. 40) (PDF; 197 kB)
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Pascals Limacon. I: MacTutor History of Mathematics arkiv .
• Eric W. Weisstein : Limacon . På: MathWorld (engelsk).
• Pascal limaçon i Encyclopaedia of Mathematics

Individuelle beviser

1. ↑ Albrecht Dürer : Undervejs målingen . S. 40
2. ↑ Andreas de Vries: Skygger af roterende sorte huller tilnærmet af Dürer-Pascal limaçons (PDF) I: Ralf Wilhelm Muno (red.): Årlig tidsskrift for Bochumer Interdisciplinary Society eV 2003 . Ibidem-Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-89821-456-7 , s. 1–20 ( uddrag fra Google Books )