Kvadratisk ligning

En kvadratisk ligning er en ligning, der er i formen

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ quad}$

med lad os skrive. Her er koefficienter ; er det ukendte . Hvis der også er , taler man om en rent firkantet ligning . ${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b = 0}$

Dine løsninger kan findes ved hjælp af formlen

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

bestemme. I det reelle taldomæne kan den kvadratiske ligning have nul, en eller to løsninger. Hvis udtrykket under roden er negativt, er der ingen løsning; hvis det er nul, er der en løsning; hvis det er positivt er der to løsninger.

Den venstre side af denne ligning er udtrykket for en kvadratisk funktion (i mere generelle termer: et polynom af anden grad ) ,; den funktionsgrafen af denne funktion i kartesiske koordinatsystem er en parabel . Geometriske andengradsligning beskriver de nuller af denne parabel. ${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle f (x) = 0}$

Generel form - normal form - nul form

Den generelle form for den kvadratiske ligning er

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ qquad (a \ neq 0) \.}$

Dette betyder ligningens kvadratiske udtryk , det lineære udtryk og det konstante udtryk (eller også det absolutte udtryk ). ${\ displaystyle ax ^ {2}}$ ${\ displaystyle bx}$ ${\ displaystyle c}$

Ligningen er i normal form, hvis det vil sige, hvis det kvadratiske udtryk har koefficienten 1. Den normale form kan opnås fra den generelle form ved ækvivalente transformationer ved at dividere med. Med definitionen ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}}$   og   ${\ displaystyle \ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}$

den normale form kan således skrives som

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0 \.}$

Hvis der er 0 på den ene side af en ligning, dette også kaldet nul formular .

I det følgende er kvadratiske ligninger med reelle tal som koefficienter , og eller som og betragtes først. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Løsninger af den kvadratiske ligning med reelle koefficienter

En løsning på den kvadratiske ligning er et tal , der tilfredsstiller ligningen, når den erstattes . Hvis komplekse tal er tilladt som løsninger, har hver kvadratisk ligning nøjagtigt to (muligvis sammenfaldende) løsninger, også kaldet ligningens rødder . Hvis du kun ser på de reelle tal, har en kvadratisk ligning nul til to løsninger. ${\ displaystyle x}$

Antal rigtige nuller

Det antal af løsninger kan bestemmes ved hjælp af den såkaldte diskriminant (fra latin "discriminare" = "differentiere"). I det generelle tilfælde , i det normaliserede tilfælde (for afledningen se nedenfor): ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle D = p ^ {2} -4q}$

Grafikken viser forholdet mellem antallet af reelle nuller og den diskriminerende:

• EN.Diskriminerende positiv: Parabolen har to skæringspunkter med -aksen, så der er to forskellige reelle nuller og${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2} \.}$
• B. Diskriminerende nul: Parabolen har nøjagtigt et kontaktpunkt med aksen, nemlig dens toppunkt . Der er derfor præcis en (dobbelt) reel løsning. Den kvadratiske ligning kan reduceres til formen .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$${\ displaystyle a \ cdot (x-x_ {1}) ^ {2} = 0}$
• C.Negativ diskriminant: parabolen har ingen skæringspunkt med -aksen, der er ingen reelle løsninger på den kvadratiske ligning. Hvis du tillader komplekse tal som grundsæt for løsningerne, får du to forskellige komplekse løsninger. Disse er konjugeret til hinanden , det vil sige, at de har den samme virkelige del, og deres imaginære dele er kun forskellige i deres tegn .${\ displaystyle x}$

Enkle særlige tilfælde

Hvis koefficienten for det lineære udtryk eller det absolutte udtryk , kan den kvadratiske ligning løses ved simple ækvivalensomdannelser uden behov for en generel formel. ${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle c = 0}$

Mangler lineært link

Den firkantede ligning med svarer til ${\ displaystyle ax ^ {2} + c = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$

${\ displaystyle x ^ {2} = - {\ frac {c} {a}} \.}$

Løsningerne er

${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {c} {a}}}} \.}$

I sagen er der to løsninger. I sagen er der ingen reelle løsninger til. De komplekse løsninger er så ${\ displaystyle a \, c <0 \,}$${\ displaystyle a \, c> 0 \,}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {a}}> 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {c} {a}}} \.}$

Eksempelvis har ligningen løsningerne . Ligningen har ingen reelle løsninger, som er komplekse løsninger${\ displaystyle x ^ {2} -3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 2x ^ {2} + 8 = 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm 2 \ mathrm {i}}$

Sagen og på grund af den , dvs. en dobbelt løsning, eksisterer kun for ligninger af typen med, og den læser . ${\ displaystyle a \, c = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle c = 0 \,}$${\ displaystyle ax ^ {2} = 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {1,2} = 0}$

Mangler konstant sigt

Fra ligningen , ved at regne ud , dvs. dvs. den skal eller gælder. Så de to løsninger er ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = 0}$${\ displaystyle x (ax + b) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle ax + b = 0}$

${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ og ${\ displaystyle x_ {2} = - {\ tfrac {b} {a}} \.}$

Eksempelvis har ligningen løsningerne og${\ displaystyle 3x ^ {2} -2x = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = 0}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ tfrac {2} {3}} \.}$

Ligning i toppunktsform

Den vertex form

${\ displaystyle a (xd) ^ {2} + e = 0}$

er en variation af all-square ligningen . Det kan løses sådan ved "baglænsberegning": Først trækker du fra og dividerer med . dette fører til ${\ displaystyle ax ^ {2} + c = 0}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle (xd) ^ {2} = - {\ frac {e} {a}} \.}$

For det følger ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} \ geq 0}$

${\ displaystyle xd = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}}$

Opløsningerne opnås ved tilsætning${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle x_ {1} = d + {\ sqrt {- {\ frac {e} {a}}}}}$ og ${\ displaystyle x_ {2} = d - {\ sqrt { - {\ frac {e} {a}}}} \.}$

De to komplekse løsninger opnås følgelig for ${\ displaystyle - {\ frac {e} {a}} <0}$

${\ displaystyle x_ {1} = d + \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}}}$ og ${\ displaystyle x_ {2} = d- \ mathrm {i} {\ sqrt {\ frac {e} {a}}} \.}$

Eksempel:

${\ displaystyle {\ begin {align} 3 (x-2) ^ {2} -5 & = 0 && | +5 ;: 3 \\ (x-2) ^ {2} & = {\ frac {5} {3}} && | \ pm {\ sqrt {\}} \\ x-2 & = \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} && | +2 \\ x & = 2 \ pm {\ sqrt {\ frac {5} {3}}} \ end {justeret}}}$

Løs med en firkantet forlængelse

Ved løsning med kvadratisk afslutning bruges de binomiske formler til at bringe en kvadratisk ligning i generel form eller i normal form til toppunktsformen , som derefter let kan løses.

Den første eller anden binomiske formel bruges i formen ${\ displaystyle (x \ pm d) ^ {2} = x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2} \.}$

For at gøre dette transformeres den kvadratiske ligning, så venstre side har formen . Tilføj derefter på begge sider . Dette er den "firkantede tilføjelse". Den venstre side har nu formen og kan omdannes til brug af den binomiske formel . Så er ligningen i den let opløste toppunktform. ${\ displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx}$${\ displaystyle d ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} \ pm 2dx + d ^ {2}}$${\ displaystyle (x \ pm d) ^ {2}}$

Dette forklares bedst ved hjælp af et specifikt numerisk eksempel. Den kvadratiske ligning betragtes

${\ displaystyle 3x ^ {2} -15x + 18 = 0 \.}$

For det første normaliseres ligningen ved at dividere med den ledende koefficient (her 3):

${\ displaystyle x ^ {2} -5x + 6 = 0 \.}$

Det konstante udtryk (her 6) trækkes fra på begge sider:

${\ displaystyle x ^ {2} -5x = -6 \.}$

Nu følger den faktiske firkanttilsætning: Den venstre side skal udfyldes på en sådan måde, at en binomisk formel (her den anden) kan anvendes baglæns. Det fra ovennævnte binomiske formel er så , så begge sider af ligningen skal tilføjes: ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ tfrac {5} {2}}}$${\ displaystyle d ^ {2} = \ venstre ({\ tfrac {5} {2}} \ højre) ^ {2}}$

${\ displaystyle x ^ {2} -5x + \ venstre ({\ frac {5} {2}} \ højre) ^ {2} = \ venstre ({\ frac {5} {2}} \ højre) ^ { 2} -6 \.}$

Den venstre side omformes efter den binomiske formel, den højre side er forenklet:

${\ displaystyle \ left (x - {\ frac {5} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {4}} \.}$

dette fører til

${\ displaystyle x - {\ frac {5} {2}} = \ pm {\ frac {1} {2}}}$ ,

så til de to løsninger og${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {5} {2}} + {\ frac {1} {2}} = 3}$${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {5} {2}} - {\ frac {1} {2}} = 2 \.}$

Generelle løsningsformler

Man kan også løse kvadratiske ligninger ved at bruge en af ​​de generelle løsningsformler, der er afledt ved hjælp af kvadratisk færdiggørelse.

Løsningsformel for den generelle kvadratiske ligning ( abc formel)

Løsningerne til den generelle kvadratiske ligning er: ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \.}$

Formlen er i daglig tale kendt i dele af Tyskland og Schweiz som "midnatformlen", fordi eleverne skal kunne recitere den, selvom du vækker dem ved midnat og beder om formlen . I Østrig bruges udtrykket stor formel .

Alternative former

Alternative formuleringer af abc -formlen, der mere ligner pq -formlen, der er diskuteret nedenfor, er:

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}}} = -{ \ frac {\ b} {2a}} \ pm {\ sqrt {\ venstre ( - {\ frac {\ b} {2a}} \ højre) ^ {2} - {\ frac {c} {a}}} } \}$

Hvis du sætter den kvadratiske ligning i formen

${\ displaystyle ax ^ {2} +2 \ beta x + c = 0}$

indikerer (dvs. med ), opnår man den noget enklere løsningsformel: ${\ displaystyle \ beta = b / 2}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac { - \ beta \ pm {\ sqrt {\ beta ^ {2} -ac}}} {a}}}$

Ved at udvide abc -formlen med udtrykket opnås en formel, som også kan bruges til det lineære tilfælde , men som ikke længere kan give beregningen af ​​løsningen på grund af division med nul. I begge tilfælde er løsningsformlen alligevel ikke påkrævet. For meget små beløb er den alternative form imidlertid mere robust til numerisk annullering. ${\ displaystyle -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle x = {\ frac {-b} {a}}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {\ left (-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right) \ cdot \ left (-b \ mp {\ sqrt { b ^ {2} -4ac}} \ højre)} {2a \ cdot \ venstre (-b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ højre)}} = {\ frac {2c} { -b \ mp {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}}}$

Løsning af abc -formlen i tilfælde af en negativ diskriminant

Hvis den diskriminant, der blev introduceret ovenfor, er negativ, skal roden af ​​et negativt tal beregnes for løsningerne. Der er ingen løsninger til dette i talområdet for reelle tal. Inden for komplekse tal gælder følgende . Dette udtryk bestemmer den imaginære del af de to konjugerede løsninger, en med et positivt, et med et negativt tegn. Udtrykket foran det med bliver den konstante reelle del af de to løsninger: ${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle {\ sqrt {D}} = i {\ sqrt {-D}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {b} {2a}}}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ frac {\ sqrt {4ac -b ^ {2}}} {2a}}}$ (kompleks sag med negativ diskriminant).

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {\ b} {2a}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {{\ Big |} \ venstre ( - {\ frac {\ b} {2a} } \ højre) ^ {2} - {\ frac {c} {a}} {\ Big |}}} \.}$

Afledning af abc -formlen

Den generelle form er resultatet af omformning i henhold til metoden til kvadratafslutning :

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} ax ^ {2} + bx + c & = & 0 & | -c \\ [1ex] ax ^ {2} + bx & = & - c & | {} \ cdot 4a \\ [1ex] 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx & = & - 4ac & | + b ^ {2} {\ text {(kvadratisk udvidelse)}} \\ [1ex] (2ax ) ^ {2} +2 \ cdot 2ax \, b + b ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | {\ text {Omformning med binomisk formel}} \\ [1ex] (2ax + b ) ^ {2} & = & b ^ {2} -4ac & | \ pm {\ sqrt {\ quad}} \\ [1ex] 2ax + b & = & \ pm {\ sqrt {b ^ {2} - 4ac}} & | -b \\ [1ex] 2ax & = & -b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} & |: (2a) \\ [1ex] x & = & {\ dfrac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} & \ end {array}}}$

Regneeksempel

Den kvadratiske ligning er givet

${\ displaystyle x ^ {2} -x -1 = 0}$.

Her er og . Hvis du indsætter disse værdier i abc -formlen, får du løsningerne ${\ displaystyle a = 1, b = -1}$${\ displaystyle c = -1}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {- (- 1) \ pm {\ sqrt {(-1) ^ {2} -4 \ cdot 1 \ cdot (-1)}}} {2 \ cdot 1}} = {\ frac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2} }}$.

Løsningsformel for den normale form ( pq -formel )

Hvis den normale form er til stede, er løsningerne ifølge pq -formlen : ${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ venstre ({\ frac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q} }}$

I Østrig er denne formel kendt som en lille opløsningsformel .

Løsning af pq -formlen i tilfælde af en negativ diskriminant

Som med abc -formlen , hvis den er negativ, er der ingen løsninger i det reelle talinterval. De komplekse løsninger resulterer derefter i: ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} D = \ venstre ({\ tfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm i \ cdot {\ sqrt {q- \ venstre ({\ frac {p} {2}} \ højre) ^ { 2}}}}$

Afledning af pq -formlen

Formlen stammer fra den normale form for den kvadratiske ligning ved at tilføje kvadratet :

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcll} x ^ {2} + px + q & = & 0 & | -q \\ [1ex] x ^ {2} + px & = & - q & | + \ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} {\ text {(firkantet udvidelse)}} \\ [1ex] x ^ {2} +2 \ cdot {\ dfrac {p} { 2}} \ x + \ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} & = & \ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} - q & | {\ tekst {binomisk formel}} \\ [1ex] \ venstre (x + {\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} & = & \ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q & | {\ tekst {tage rod}} \\ [1ex] \ venstre | x + {\ dfrac {p} {2}} \ højre | & = & { \ sqrt {\ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q}} & | {\ text {Opløs beløb}} \\ [1ex] x + {\ dfrac {p} {2}} & = & \ pm {\ sqrt {\ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q}} & | - {\ dfrac {p} {2}} \\ [1ex] x & = & - {\ dfrac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ venstre ({\ dfrac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q}} \ end {array}}}$

En anden mulighed for at udlede den formel, er, at man i ABC- formel , og indstiller nævneren og 2 uafgjorte i roden. ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = p}$${\ displaystyle c = q}$

Nedbrydning til lineære faktorer

Med løsningerne kan det kvadratiske normaliserede polynom opdeles i lineære faktorer:

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2})}$

og den ikke-standardiserede i

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ cdot (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) \.}$

Sætning af Vieta

Hvis andengradsligning er i normal form, og har løsningerne og gælder derefter ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

${\ displaystyle 0 = x ^ {2} + px + q = (x-x_ {1}) \ cdot (x-x_ {2}) = x ^ {2}-(x_ {1} + x_ {2} ) x + x_ {1} x_ {2} \.}$

Ved at sammenligne koefficienter opnår man Vietas sætning

${\ displaystyle \, x_ {1} + x_ {2} = - p}$ og ${\ displaystyle x_ {1} \ cdot x_ {2} = q \.}$

Især hvis og er hele tal , ved at prøve om divisorpar af resultat som en sum , kan løsningerne ofte findes hurtigt med lidt øvelse. For eksempel opnår man for løsningerne og gennem nedbrydningen med${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle -p}$${\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 3 = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 1}$${\ displaystyle x_ {2} = - 3}$${\ displaystyle 3 = (- 1) (- 3)}$${\ displaystyle (-1) + (- 3) =- 4 \.}$

Numerisk beregning

Hvis løsningerne bestemmes numerisk og adskiller sig efter størrelsesordener, kan problemet med udryddelse undgås ved at variere ovenstående formler som følger:

${\ displaystyle x_ {1} = - {\ frac {p} {2}} - \ operatorname {sgn} (p) \ cdot {\ sqrt {\ venstre ({\ frac {p} {2}} \ højre) ^ {2} -q}}}$

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {q} {x_ {1}}}}$

Her har værdien for og har ellers værdien . Den første formel giver den største løsning. Den anden formel er baseret på Vietas sætning . ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (p)}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle p <0}$${\ displaystyle 1}$

Eksempler

Regneeksempel

For ligningen

${\ displaystyle 4x ^ {2} -12x -40 = 0}$

resultat som løsninger i henhold til abc -formlen

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-(-12) \ pm {\ sqrt {(-12) ^ {2} -4 \ cdot 4 \ cdot (-40)}}} {2 \ cdot 4}}}$ ,

så og${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

For at bruge pq -formlen konverteres den generelle form først til den normale form ved at dividere ligningen med 4:

${\ displaystyle x ^ {2} -3x -10 = 0 \.}$

De løsninger følge af pq formel

${\ displaystyle x_ {1,2} = -{\ frac {-3} {2}} \ pm {\ sqrt {\ venstre ({\ frac {-3} {2}} \ højre) ^ {2} - (-10)}}}}$ ,

således også og${\ displaystyle x_ {1} = - 2}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$

Ved hjælp af nedbrydninger og man opnår de samme løsninger med Vietas sætning. ${\ displaystyle -10 = ( - 2) \ cdot 5}$${\ displaystyle 5-2 = 3}$

Yderligere eksempler

• ${\ displaystyle x ^ {2} + 2x-35 = 0}$
  For diskriminant gælder: . De to virkelige løsninger og resultat${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D> 0}$${\ displaystyle x_ {1} = - 7}$${\ displaystyle x_ {2} = 5 \.}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 4 = 0}$
  Diskriminanten er . Den (dobbelte) virkelige løsning er${\ displaystyle D = 0}$${\ displaystyle x = 2 \.}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} + 12x + 37 = 0}$
  Der er ingen reelle løsninger, fordi diskriminanten er negativ. De komplekse løsninger skyldes og${\ displaystyle x_ {1} = - 6 + i}$${\ displaystyle x_ {2} = - 6 -i \.}$

Generaliseringer

Komplekse koefficienter

Den kvadratiske ligning

${\ displaystyle az ^ {2} + bz + c = 0}$

med komplekse koefficienter , har altid to komplekse løsninger, der falder sammen, hvis og kun hvis diskriminanten er nul. ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$

Som i det virkelige tilfælde kan løsningerne beregnes ved at tilføje kvadratet eller bruge løsningsformlerne ovenfor. Generelt skal en kvadratrod af et komplekst tal dog beregnes.

eksempel

For den kvadratiske ligning

${\ displaystyle z ^ {2} - (\ mathrm {i} +1) z + \ mathrm {i} = 0}$

den diskriminerende har værdien . De to løsninger og resultat${\ displaystyle D = -2 \ mathrm {i} = (\ mathrm {i} -1) ^ {2}}$${\ displaystyle z_ {1} = 1}$${\ displaystyle z_ {2} = \ mathrm {i} \.}$

Kvadratiske ligninger i generelle ringe

Generelt, i abstrakt algebra, kalder man en formelning

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

med elementer p , q i et legeme eller ring en kvadratisk ligning . I faste stoffer og mere generelt inden for integritetsområder har den højst to løsninger, i vilkårlige ringe kan den have mere end to løsninger.

Hvis der findes løsninger, opnås de også i kommutative ringe med pq -formlen, hvis ringens egenskab ikke er lig med 2. Her skal dog alle mulige kvadratrødder til den diskriminerende tages i betragtning. For et begrænset felt af karakteristik 2, der gør tilgangen og passerer ved hjælp af et system af lineære ligninger for n koefficienter a _i fra . ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2 ^ {n}} \ cong \ mathbb {F} _ {2} (\ varrho)}$${\ displaystyle x = \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {i}}$${\ displaystyle x ^ {2} = \ textstyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} \ varrho ^ {2i}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

eksempel

Den kvadratiske ligning

${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$

har de fire løsninger 1, 3, 5 og 7 i den resterende klasse ring . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}$

historie

Allerede for 4000 år siden i det gamle babyloniske imperium blev problemer løst, der svarer til en kvadratisk ligning. For eksempel indeholder lertavlen, der blev arkiveret under inventarnummeret BM 34568 i British Museum, ifølge den kileskriftsoversættelse, der lykkedes af Otto Neugebauer i 1930'erne, som det niende problem spørgsmålet om sidelængderne af et rektangel, hvor summen af ​​længden og bredden er 14, og området er lig med 48.

Løsningsvejen, der er dokumenteret på lertavlen, afslører ikke nogen begrundelse, men mellemværdier som dem, der vises i den sædvanlige opløsningsformel eller tilsvarende geometriske overvejelser:

De mellemværdier, der er anført i teksten, som er noteret på lertavlen i det babylonske sexigesimal -system, resulterer også, når den tilhørende kvadratiske ligning er løst med den sædvanlige opløsningsformel. De to løsninger 8 og 6 opnås, som geometrisk svarer til de to eftertragtede sidelængder af rektanglet: ${\ displaystyle x ^ {2} -14x + 48 = 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {14 \ pm {\ sqrt {196-192}}} {2}} = {\ frac {14 \ pm 2} {2}} \.}$

Ifølge Høyrup kan det antages, at babyloniernes tilgang til at løse de citerede og lignende opgaver, da opgaverne var geometrisk motiveret.

De gamle grækere løste forskellige geometriske problemer, der svarer til andengradsligninger. For eksempel finder man i Euclids elementer problemet:

I dagens notation svarer opgaven til ligningen

${\ displaystyle a (ax) = x ^ {2}}$ ,

som kan omdannes til en ligning

${\ displaystyle x ^ {2} + ax = a ^ {2} \.}$

I bogen Brāhmasphuṭasiddhānta (“Perfection of the Teaching of Brahma ”) af den indiske lærde Brahmagupta , som blev skrevet omkring 628 e.Kr. , blev metoder til løsning af kvadratiske ligninger beskrevet verbalt. Brahmagupta brugte allerede negative tal og deres beregningsregler som f.eks

Dette gjorde Brahmagupta i stand til at undgå sagsforskelle, da han vendte sig til den kvadratiske ligning, der nu er i formen

${\ displaystyle a {x} ^ {2} + bx = c}$  med og${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a> 0}$

bemærkede, beskrev følgende løsning:

Dette svarer til opløsningsformlen

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}} \.}$

Ligesom de "arabiske" -indiske tal fandt fundene fra de indiske forskere deres formidling og videre udvikling gennem islamiske lærde. En særlig fremtrædende rolle spillede matematikeren Al-Chwarizmi , hvis bog al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala ("Den kortfattede bog om beregningsmetoder ved at supplere og afbalancere") indeholder for første gang tid generelle teknikker til behandling af ligninger, selvom de stadig beskrives verbalt. Med de ækvivalente transformationer af ligninger, som Al-Chwarizmi beskrev detaljeret, kunne enhver kvadratisk ligning reduceres til en af ​​seks typer. Seks typer var nødvendige, fordi Al-Khwarizmi i modsætning til Brahmagupta ikke brugte negative tal.

Al-Chwarizmis bog indeholder en geometrisk løsningsmetode for alle typer baseret på et numerisk eksempel, så kun positive løsninger er mulige. I den følgende liste betyder roden den løsning, du leder efter, og rigdom kvadratet i løsningen . Desuden og betegne ikke-negative koefficienter:${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$

• Hvad angår de formuer, der er lig med rødderne (i dag :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} = bx}$
• Hvad angår de formuer, der er lig med tallet (i dag :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} = c}$
• Hvad angår rødderne, der er lig med et tal (i dag :) ,${\ displaystyle bx = c}$
• Med hensyn til formuerne og rødderne, der er lig med tallet (i dag :) ,${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$
• Med hensyn til formuen og antallet, der er lig med rødderne (i dag :) og${\ displaystyle ax ^ {2} + c = bx}$
• Hvad angår rødderne og antallet, der er lig med rigdom (i dag :) .${\ displaystyle ax ^ {2} = bx + c}$

For at løse de kvadratiske ligninger brugte al-Chwarizmi ikke nogen ækvivalens-transformationer, dvs. ingen algebraisk argumentation, men geometriske argumenter baseret på den græske tradition. Som et eksempel er ligningen, som den forekommer i al-Khwarizmi ,

${\ displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$

som et specielt tilfælde af at have løst geometrisk (se figur). Den venstre side af ligningen forstås som en firkantet EFIH af sidelængden (og dermed arealet ) og to rektangler DEHG og BCFE med siderne og (og dermed arealet i hvert tilfælde ). Firkanten og de to rektangler sættes sammen som vist på billedet for at danne en gnomon med hjørnepunkterne BCIGDE. Ifølge antagelsen har denne gnomon et område på . Hvis du tilføjer firkanten ABED af sidelængden (og dermed arealet ) til kvadratet ACIG, så har dette arealet . På den anden side har denne firkantede ACIG ifølge konstruktionen imidlertid sidelængden og dermed arealet . På grund af man lukker og dermed . Den kvadratiske ligning er således "suppleret" med den (positive) løsning . Bemærk, at denne geometriske metode ikke giver den negative løsning . ${\ displaystyle x ^ {2} + px = q}$${\ displaystyle p, q> 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 5x}$${\ displaystyle x ^ {2} + 10x = 39}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 25}$${\ displaystyle 39 + 25 = 64}$${\ displaystyle 5 + x}$${\ displaystyle (5 + x) ^ {2}}$${\ displaystyle 64 = 8 ^ {2}}$${\ displaystyle 5 + x = 8}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle (x + 5) ^ {2} = 64}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle x = -13}$

Med Heron of Alexandria og også med al-Khwarizmi er løsningen givet af

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$

beskrevet mundtligt; i dagens notation som

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {ac + \ venstre ({\ frac {b} {2}} \ højre) ^ {2}}} - {\ frac {b} {2}}} { a}} \.}$

Heron tilføjer imidlertid den euklidiske måde som en geometrisk begrundelse.

Omkring 1145 oversatte Robert von Chester og lidt senere Gerhard von Cremona al-Chwarizmis skrifter til latin.

Dette bragte klassificeringen og de geometriske løsningsmetoder til Europa.

Michael Stiefel skrev bogen Arithmetica integra i 1544 e.Kr. , der er baseret på bogen Behend vnnd Hubsch , baseret på de geniale regler for algebre, der så almindeligt kaldes Coss af Christoph Rudolff . Ved at bruge negative tal lykkes det forfatteren at undgå sagsdifferentiering for kvadratiske ligninger. Men han tillader endnu ikke negative tal som løsninger, fordi han finder dem absurde.

En ny tilgang til løsning af en kvadratisk ligning blev tilbudt af Vietas rodteorem , der blev udgivet posthumt i 1615 i hans værk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo .

I 1637 beskrev René Descartes en metode til løsning af kvadratiske ligninger med kompasser og lineal i sit arbejde La Géométrie . Han viste videre, at ligninger på højere niveau generelt ikke kan løses med bare en lineal og et kompas.

Se også

• Lineær ligning
• Kubisk ligning
• Kvartalligning

litteratur

• Bartel Leendert van der Waerden: Awakening Science . Bind 1: egyptisk, babylonisk og græsk matematik . 2. udgave. Birkhäuser 1966.

Weblinks

• Video: Fra løsning af kvadratiske ligninger - pq -formel og midnattsformel og Vietas sætning . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, stillet til rådighed af Technical Information Library (TIB), doi : 10.5446 / 17884 .

Individuelle beviser

1. ↑ Heiko Tallig: Anvendelsesmatematik for økonomer . Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 978-3-486-57920-8 , s. 29 ( begrænset eksempel i Google Bogsøgning [adgang 29. december 2020]). 
2. ^ Guido Walz: Ligninger og uligheder: ren tekst for ikke-matematikere . Springer, 2018, ISBN 9783658216696 , s.14 .
3. ^ ^{A b} Franz Embacher: Kvadratiske ligninger . Script på mathe-online.at.
4. ↑ Disse er de fem øverste linjer i den højre kolonne. Se foto på British Museums hjemmeside ( fuld beskrivelse ).
5. ↑ Otto Neugebauer: Kilder og studier om matematikkens historie, astronomi og fysik, afsnit A: Kilder, tredje bind, tredje del , Berlin 1937, s. 14-22 og tabel 1.
6. ↑ Antallet tegn på ler tablet tekst det er forklaret i Jörg Bewersdorff : Algebra for begyndere: Fra løsning af ligninger til Galois teori , 6. udgave, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10,1007 / 978-3-658 -26152-8 , s. 4 i Google bogsøgning .
7. ↑ Jens Høyrup: Længder, bredder, overflader: Et portræt af gammel babylonisk algebra og dens slægtninge. New York 2002, s. 393-395, ISBN 978-1-4419-2945-7 , doi: 10.1007 / 978-1-4757-3685-4 .
8. ^ I. Todhunter : Elementerne i Euklid. Toronto 1869, s. 66, online på archive.org.
9. ↑ ^{a b} Citeret fra oversættelsen af ​​Jörg Bewersdorff. Algebra for begyndere: Fra ligningsløsning til Galois -teori. 6. udgave, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-26151-1 , doi: 10.1007 / 978-3-658-26152-8 , s. 6 f.
10. ↑ Hans Wußing : 6000 Years of Mathematics - Volume 1. Springer Verlag, 2008 ISBN 978-3-540-77189-0 , pp 237-241,. Doi: 10,1007 / 978-3-540-77192-0 .
11. ^ Helmuth Gericke : Matematik i antikken, Orient og Occident . 7. udgave. Fourier Verlag, 2003, ISBN 3-925037-64-0 , s.198 .
12. ^ Louis Charles Karpinski: Robert af Chesters latinske oversættelse af algebraen til al-Khowarizmi. London 1915, s. 77-83, online på archive.org .
13. ↑ Hans Wußing : 6000 Years of Mathematics - Volume 1. Springer Verlag, 2008 ISBN 978-3-540-77189-0 , s 278,. Doi: 10,1007 / 978-3-540-77192-0 .
14. ↑ Hans Wußing : 6000 Years of Mathematics - Volume 1. Springer Verlag, 2008 ISBN 978-3-540-77189-0 , pp 341-342,. Doi: 10,1007 / 978-3-540-77192-0 .