Babylonsk matematik

Babylonske kiletavle YBC 7289 med kommentarer. Den vandrette diagonal viser fire cifre i det sexagesimale system, som svarer til cirka seks decimaler. 1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1.41421296 .... Nedenfor er den beregnede længde 0; 42,25,35 af kvadratens diagonal, som har sidelængden 0; 30 = 30/60 = 0,5. (Billede af Bill Casselman)${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Den babylonske matematik blev udviklet af de forskellige indbyggere i Mesopotamien ( Mesopotamien i det nuværende Irak udviklet). Det begyndte sandsynligvis i de tidlige sumerernes dage (omkring 4000 f.Kr.) og fortsatte med at udvikle sig indtil perserne erobrede Babylon i 539 f.Kr. Chr. Fortsættes. I modsætning til egyptiernes matematik , som der kun findes få kilder på grund af den følsomme papyri, findes der en samling på omkring 400 lertavler af babylonisk matematik , som er blevet udgravet siden omkring 1850. Vores viden er baseret på dette. Sedlerne blev hugget ind i det bløde ler med kileskrift og brændt eller tørret i solen. Størstedelen af ​​de fundne tabletter stammer fra perioden mellem 1800 og 1600 f.Kr. Og dæk emner som brøker, algebra , kvadratiske og kubiske ligninger, Pythagoras sætning og Pythagoras trippel ( Plimpton 322 ). Tabellen YBC 7289 giver en tilnærmelse til med en nøjagtighed på seks decimaler. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Babylonske talesystem

Regnestykket blev udført i det sexagesimale system , som ikke er et stedværdisystem, fordi stedværdien ikke kan læses: Tegnet "1" kan betyde 1/60, 60 eller 3600, værdien kan kun udledes af konteksten. Rester af dette talsystem kan stadig findes i dag i vores repræsentation af vinkler (1 ° = 60 ', 1' = 60 '') og tider. Da 60 = 2 · 2 · 3 · 5 har tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 og 30 som en divisor, kan der skrives markant flere tal i endelig repræsentation end i decimalsystem, som gjorde numeriske beregninger, især division, meget lettere. Tal blev skrevet ciffer for ciffer, som i dag, fra venstre mod højre, med cifrene af større betydning til venstre. Det, der er blevet sagt, gælder ikke for sumerernes og akkadiernes tidligere lertavler; disse brugte helt forskellige repræsentationer af tal.

Tal fra 1 til 59:

Babylonierne kendte ikke et tal for nul . Det blev ikke betragtet som et tal, men repræsenteret som fraværet af et tal og med et mellemrum.

Formler til beregning af areal og volumen var tilgængelige. For tallet π blev 3 ofte brugt som en tilnærmelse, på et bord er den bedre tilnærmelse 3 + 1/8 givet.

Den pythagoræiske læresætning var kendt, men kun med hensyn til dens anvendelse, ikke i den forstand en matematisk bevis.

Sumerisk matematik (3000-2300 f.Kr.)

Det tidligste bevis på skriftlig matematik kommer fra sumererne, der udviklede en af ​​de tidligste kendte kulturer i Mesopotamien. Et kraftfuldt målesystem stammer fra denne tid. Siden 2600 f.Kr. I BC -multiplikationstabeller er geometriske og aritmetiske opgaver bevist.

Ældre babylonisk matematik (2000–1600 f.Kr.)

De fleste lertavler til matematik fundet stammer fra denne æra. Tabellernes indhold består af lister og tabeller, i andre tilfælde håndterer de problemer og udarbejdede løsninger.

aritmetik

Forberedte tabeller blev brugt til at understøtte regning. To tabletter, der blev fundet i Senkerah ved Eufrat i 1854 og dateres tilbage til 2000 f.Kr., kan f.eks. Findes . Lister med alle kvadratnumrene på tallene fra 1 til 59 og kubenumrene på tallene fra 1 til 32. Kvadrattalene, især kvartals-tabellen, gjorde det muligt at beregne produkter med en addition og to subtraktioner, som samt at finde to firkanter i en tabel med firkanter med formlerne.

${\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2}} {4}}}$

${\ displaystyle ab = {\ frac {(a + b) ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2}} {2}}}$

(Kvartal kvadratmetode). I stedet for z. For eksempel, for at beregne 3 · 6 direkte, beregner man 3 + 6 = 9 og 6 - 3 = 3 (større minus mindre!) Og slår kvartalets firkanter på 9 og 3 op i tabellen ( ). Resultat: 20.25 og 2.25. Disse to tal trækkes fra for at give produktet 20,25 - 2,25 = 18. ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {2}} {4}}}$

Opdelingen blev ikke udført med en direkte algoritme, men med formlen

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = a \ cdot {\ frac {1} {b}}}$

spores tilbage til multiplikation. Omfattende tabeller med de gensidige værdier var tilgængelige til dette formål.

De gensidige værdier på 7, 11, 13 og lignende har ikke længere en endelig repræsentation i det sexagesimale system. Derfor z. B. brugt til 1/13 tilnærmelser:

${\ displaystyle {\ frac {1} {13}} = {\ frac {7} {91}} = 7 \ cdot {\ frac {1} {91}} \ ca 7 \ cdot {\ frac {1} { 90}} = 7 \ gange {\ frac {40} {3600}}}$

algebra

Kvadratiske ligninger blev løst ved hjælp af formlen, som alle elever stadig kan lære i dag. Da der ikke var tilgængelige negative tal, ca.

${\ displaystyle \ x ^ {2} + bx = c}$

med b og c , som ikke nødvendigvis er hele tal, men positive som

${\ displaystyle x = {\ sqrt {\ venstre ({\ frac {b} {2}} \ højre) ^ {2} + c}} - {\ frac {b} {2}}}$

angivet. Den (klart positive) rod blev taget fra det firkantede bord.

Løsningen af ​​kubiske ligninger var også kendt. Til dette formål blev n ³ + n ^{2 i} tabelform. At løse

${\ displaystyle \ ax ^ {3} + bx ^ {2} = c.}$

ligningen blev ganget med en ² og divideret med b ³ med resultatet

${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {ax} {b}} \ right) ^ {2} = {\ frac {ca. ^ {2}} {b ^ {3}}}.}$

Substitutionen y = ax / b giver

${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = {\ frac {ca ^ {2}} {b ^ {3}}}}$

Dette kan løses for y ved at slå n ³ + n ^{2 op} i tabellen for at finde den bedste værdi for højre side. (Eksempel: ; . Tabellen returnerer og ) ${\ displaystyle 3 \ times x ^ {3} +4 \ times x ^ {2} = 475}$${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} = 475 \ cdot 9/64 \ ca. 67}$${\ displaystyle 3 \ cdot x / 4 = 3 {,} 75}$${\ displaystyle x = 5 {,} 0}$

Beregningen blev foretaget uden algebraisk notation, hvilket indikerer en bemærkelsesværdig dyb forståelse af den bagvedliggende matematik. Der er ingen indikationer for at kende den generelle kubiske ligning.

Som den relativt velkendte lertablet YBC 7289 viser, kunne kvadratrødder beregnes med høj nøjagtighed ved hjælp af Heron- metoden .

Resumé: Omfattende beregninger blev udført med rationelle tal ved hjælp af tabeller. Et kort uddrag fra en sådan tabel (i decimalsystemet!) Gives for at forstå:

 n n^2 n^2/4   1/n   n^2+n^3

 1   1   0 1,000000     2
 2   4   1 0,500000    12
 3   9   2 0,333333    36
 …
 3,75                  66,8
 …
 4  16   4 0,250000    80
 5  25   6 0,200000   150
 6  36   9 0,166667   252
 7  49  12 0,142857   392
 8  64  16 0,125000   576
 9  81  20 0,111111   810
10 100  25 0,100000  1100
 …

geometri

De generelle regler for areal- og volumenberegning var kendt. Omkredsen U for en cirkel med diameter d blev antaget at være U = 3 · d og arealet A til at være A = U · U / 12. Begge bruger den dårlige tilnærmelse . Pythagoras sætning blev brugt, men ikke bevist; ideen om at bevise blev først udviklet af grækerne. Der er tabeller med de pythagoranske trillinger som (3, 4, 5). ${\ displaystyle \ pi = 3}$

Kaldæisk matematik (626-539 f.Kr.)

Den kaldeiske periode er i det nye babylonske imperium (626-539 f.Kr.), den anden storhedstid i byen Babylon. Byen var imperiets hovedstad og et videnskabscentrum. Kilderne til denne tid er imidlertid mindre gunstige.

Siden genopdagelsen af ​​den babylonske kultur er det blevet tydeligt, at de græske astronomer, især Hipparchos , havde oplysninger fra kaldiske kilder.

Franz Xaver Kugler demonstrerede i sin bog Die Babylonische Mondrechnung, at månefaser allerede forekommer i babylonske efemeristabeller, som ifølge Ptolemaios (Almagest IV.2) blev forbedret af Hipparchus og ham selv under hensyntagen til ældre observationer af "kaldæerne". Ifølge Kugler vises disse værdier i en samling af tablets, der nu er kendt som "System B", som undertiden tilskrives astronomen Kiddinu . Det er klart, at Ptolemaios og Hipparchos kun kontrollerede de ældre værdier gennem aktuelle observationer.

Vi ved, at Hipparchus og senere Ptolemaios i det væsentlige havde komplette lister over formørkelser, der strækker sig over flere århundreder. Disse lister stammer sandsynligvis fra lertabletter, der indeholder alle de relevante observationer, der rutinemæssigt er registreret af kaldæerne. Bevarede paneler er mellem 652 f.Kr. Chr. Til 130 n. Chr. Dateret, men optegnelserne var sandsynligvis indtil kong Nabonassars regeringstid tilbage fra Babylon. Ptolemaios 'rekord begynder på den første dag i den egyptiske kalender i de første år af Nabonassars regeringstid, dvs. den 26. februar 747 f.Kr. Chr.

De rådata var sandsynligvis svære at bruge, så der blev lavet uddrag . Så man har z. B. Fundet tavler med alle formørkelsesbegivenheder. Specifikt er der et bord med alle formørkelserne i en Saros -cyklus . Dette gjorde det muligt at identificere periodiske gentagelser af astronomiske begivenheder. Følgende perioder blev fundet i system B ( Almagest IV.2):

• 223 synodiske måneder = 239 unormale måneder = 242 drakoniske måneder . Denne periode kaldes nu Saros -cyklussen og bruges til at forudsige formørkelser.
• 251 synodiske måneder = 269 unormale måneder
• 5458 synodiske måneder = 5923 drakoniske måneder
• 1 synodisk måned = 29; 31: 50: 08: 20 dage (sexagesimal; decimalværdi: 29.53059413 ... dage = 29 dage 12 timer 44 min 3⅓ s)

Babylonierne udtrykte alle perioder i synodiske måneder, da der sandsynligvis blev brugt en lunisolar kalender . Forskellige forhold mellem fænomener i løbet af året førte til flere værdier af årets længde .

Flere måleværdier for deres kredsløb omkring solen var også kendt for andre planeter. De værdier, som Ptolemaios tilskriver astronomen Hipparchos i Almagest IX.3, eksisterede allerede som forudsigelser om ældre babylonske tabletter.

Det er uklart, hvornår, i hvilket omfang og hvordan dele af denne viden blev stillet til rådighed for grækerne. Dette var kun muligt, fordi babylonske forskere skrev værker på græsk, fordi grækerne ikke lærte fremmedsprog og ikke kunne læse kileskriftstekster.

Se også

• Babylonsk kalender

Ældre litteratur

• Kurt Vogel : Pre-Greek Mathematics, Part II. Hannover / Paderborn 1959.

Individuelle beviser

1. ^ Norbert Froese: Pythagoras & Co. - græsk matematik før Euklid, s. 10 (PDF; 728 kB)
2. ↑ YBC 7289 . matematik.ubc.ca. Hentet 11. maj 2011.
3. ↑ YBC 7289 . it.stlawu.edu. Hentet 11. maj 2011.