Beløb (matematik)

I matematik, et sæt er en særlig form for at kombinere enkelte elementer . Det beløb er en af de vigtigste og mest grundlæggende begreber i matematik; sætteori handler om deres overvejelse .

Når man beskriver et sæt handler det hele om spørgsmålet om, hvilke elementer der er indeholdt i det. For hvert objekt skal det være klart, om det tilhører sættet eller ej. Det spørges ikke, om et element er indeholdt mere end én gang, eller om der er en sekvens blandt elementerne. Et sæt behøver ikke at indeholde et element - der er nøjagtigt et sæt uden elementer, det " tomme sæt ". I matematik er elementerne i et sæt ofte tal, punkter i et mellemrum eller til gengæld sæt. Konceptet kan anvendes på ethvert objekt: f.eks. B. i statistikker over stikprøver , i medicin på patientjournaler , på en markedsbod på en pose frugt.

Hvis rækkefølgen af ​​elementerne er vigtig, taler man om en endelig eller uendelig rækkefølge, hvis elementerne i sekvensen kan tælles med de naturlige tal (det første, det andet osv.). Endelige sekvenser kaldes også tupler . Elementer kan forekomme mere end én gang i en tuple eller en sekvens. En struktur, der indeholder mange elementer, hvor antallet af kopier af hvert element også er vigtigt, men ikke rækkefølgen, kaldes et multisæt .

Begreb og notation af mængder

Udtrykket mængde går tilbage til Bernard Bolzano og Georg Cantor . I Bolzano's manuskripter fra årene mellem 1830 og 1848 står der: ”Epitomer, hvor den måde, hvorpå deres dele er forbundet med hinanden, ikke skal tages i betragtning, hvor alt, hvad vi skelner i dem, bestemmes så snart kun dens dele er bestemt, det er netop af hensyn til denne kvalitet, at det fortjener at blive udpeget med et eget navn. I mangel af en anden egnet ord, jeg tillade mig at bruge ordet beløb til dette formål". Cantor beskrev et sæt "naivt" (men ser også Cantors aksiomer af sæt ) som et "resumé af visse, godt differentierede objekter i vores opfattelse eller vores tænkning i en helhed". Sættets objekter kaldes sættets elementer. Hverken udtrykket "sæt" eller udtrykket "element" er defineret i matematisk betydning; de er heller ikke defineret som eller i aksiomer . Moderne sætteori og dermed en stor del af matematik er baseret på Zermelo-Fraenkel-aksiomerne (eller: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-aksiomerne eller andre aksiomsystemer. Vi har en naturlig, intuitiv korrekt forståelse af sæt; men udtrykket ”sæt af alle sæt, der ikke indeholder sig selv som et element” fører til en modsigelse, Russells antinomi ; samt “sæt af alle sæt”.

En illustration af begrebet mængde, der tilskrives Richard Dedekind , er billedet af en sæk, der indeholder visse ting (som kan defineres individuelt). Denne idé er f.eks. Nyttig til det tomme sæt: en tom sæk. Det tomme sæt er derfor ikke ”ingenting”, men indholdet af en container, der ikke indeholder noget af det, der er beregnet til det som indhold. Selve "containeren" henviser kun til den specifikke slags og type af elementer, der skal sammenfattes. Men denne idé har sine grænser. En container forbliver den samme, selvom du ændrer dens indhold. Dette er anderledes med sæt: de ændrer deres identitet, når du tilføjer nye elementer eller fjerner eksisterende. I denne henseende er det bedre at tænke på mængden som "indholdet af en container".

• 

  Et eksempel på polygoner

• 

  Samme mængde som en container

• 

  Mængde som indholdet af en container

Endelige sæt kan specificeres (især hvis de har relativt få elementer) ved at tælle deres elementer (enumerating set notation) . Det gælder f.eks . I stedet for kommaer bruges semikolon ofte som separatorer for elementerne for at forhindre mulig forvirring med decimaltal. ${\ displaystyle M = \ {{\ text {blå}}, \, {\ tekst {gul}}, \, {\ tekst {rød}} \}}$${\ displaystyle \ {{\ text {blue}}, \, {\ text {red}}, \, {\ text {yellow}} \} = \ {{\ text {blue}}, \, {\ text {gul}}, \, {\ text {rød}} \} = \ {{\ tekst {blå}}, \, {\ tekst {blå}}, \, {\ tekst {gul}}, \, { \ tekst {rød}} \}}$

Ofte er det praktisk eller principielt (med uendelige sæt) umuligt at tælle elementerne i et sæt. Men der er en anden notation , hvor elementerne i et sæt f.eks. Bestemmes af en egenskab . (Sig: "M er sættet for alle x, for hvilke: 'x er en grundlæggende farve'.")${\ displaystyle M = \ {x \, | \, x \, {\ text {er en grundlæggende farve}} \}}$

Derudover opfandt Dedekind synonymet med det system, som han kombinerede elementer i. Denne betegnelse bruges stadig delvist i dag, så et ”sæt af vektorer ” kaldes også kort et vektorsystem .

Andre stavemåder

Andre notationer for mængder kan ses som forkortelser for dimensional notation:

• Den opregnede notation kan forstås som en forkortelse for den besværlige notation .${\ displaystyle M = \ {{\ text {blå}}, \, {\ tekst {gul}}, \, {\ tekst {rød}} \}}$${\ displaystyle M = \ {x \, | \, x = {\ text {blå eller}} \; x = {\ tekst {gul eller}} \; x = {\ tekst {rød}} \}}$
• For at stave med ellipse kun nogle elementer er anført som eksempler, såsom: . Det kan kun bruges, hvis uddannelsesloven er tydelig fra disse eksempler eller fra sammenhængen. Det, der menes her, er åbenbart det beløb, der kan skrives intensionalt som . Denne betegnelse bruges ofte til uendelige mængder. Dette beskriver sættet med lige naturlige tal, der er større end 2.${\ displaystyle M = \ {3,6,9,12 \ prikker 96,99 \}}$${\ displaystyle M = \ {x \, | \, x \; {\ text {er et tal mellem 1 og 100, der kan deles med 3}} \}}$${\ displaystyle G = \ {4,6,8,10 \ dots \}}$
• Nye sæt kan også dannes ved hjælp af sætoperationer , såsom fra og krydset . Dette kan skrives intensionalt som .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle M = A \ cap B}$${\ displaystyle M = \ {x \, | \, x \; {\ text {er i}} A {\ text {og}} x {\ text {er i}} B \}}$
• Der er også den induktive definition af sæt, hvor mindst et grundlæggende element udtrykkeligt er specificeret, og derefter mindst en regel om, hvordan et andet element kan udledes af et element. Så ovenstående sæt kan også beskrives af${\ displaystyle G}$

i) er i og${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle G}$

ii) for hver i er også i og${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (x + 2)}$${\ displaystyle G}$

iii) kun elementer opnået ved i) og (ingen, enkelt eller gentagen) anvendelse af ii) er i .${\ displaystyle G}$

Magtighed

For endelige sæt er kardinaliteten (eller kardinaliteten ) lig med antallet af elementer i sættet; det er et naturligt tal inklusive nul. Udtrykket kan også generaliseres til uendelige sæt; det viser sig, at to uendelige sæt ikke behøver at have samme kraft. En skares magt bemærkes generelt med , lejlighedsvis også med . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle | M |}$${\ displaystyle \ #M}$

Grundlæggende forhold mellem sæt

De ting, der er i en skare, kaldes elementer. Hvis et objekt element i et sæt , vi formelt skrev dette: . Negation ( noget element af ) en skrivninger som: . Historisk går elementstegnet tilbage til det græske bogstav ε som det første bogstav i εστί ( estí , det er ) og blev brugt for første gang i 1889 af Giuseppe Peano . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ i M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ notin M}$ ${\ displaystyle \ in}$

Lige mængder og udvidelse

lighed

To sæt kaldes det samme, hvis de indeholder de samme elementer.

Denne definition beskriver ekstensionalitet og dermed den grundlæggende egenskab ved sæt. Formelt:

${\ displaystyle A = B: \ Longleftrightarrow \ forall x \ left (x \ in A \, \ Leftrightarrow x \ in B \ right)}$

Faktisk beskrives meget normalt intensivt . Det betyder: En erklæringsformular er specificeret (med en objektvariabel fra det veldefinerede sæt definitioner af ), så hvis og kun gælder. For denne skriver man derefter: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x \ i A}$${\ displaystyle P (x)}$

${\ displaystyle A = \ {x \ mid x \ i D \ land P (x) \}}$

eller kortere

${\ displaystyle A = \ {x \ i D \ mid P (x) \}}$.

For hver mængde er der mange forskellige udsagn, der beskriver det. Spørgsmålet om, hvorvidt to givne propositionsformer og beskriver det samme sæt, er på ingen måde trivielt. Tværtimod: Mange matematiske spørgsmål kan formuleres i denne form: "Er og ? Det samme beløb" ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ {x \ i D \ mid P (x) \}}$${\ displaystyle \ {x \ i D \ mid Q (x) \}}$

Mange bevis for lighed bruger ækvivalens . ${\ displaystyle A = B \ iff (A \ subseteq B \ land B \ subseteq A)}$

Ekstensionalitet

Hvis to sæt indeholder de samme elementer, er de ens. Den måde, hvorpå elementerne i sættene beskrives, er irrelevant. Kendetegn ved sæt, at beskrivelsestypen er irrelevant, kaldes deres ekstensionalitet (fra latin extensio = udvidelse; vedrører omfanget af indholdet).

Uendelige sæt skal dog normalt beskrives "intensional" (beskrivende stavemåde) (fra latin intensio = spænding; relaterer til karakteristika for indholdet). Det betyder: Et sæt beskrives af en bestemt betingelse eller egenskab, som alle elementerne i sættet (og kun disse) opfylder: læs f.eks . "Vær det sæt for alle, der gælder: er et lige naturligt tal og større end 2" eller kortere: “være sættet med alle lige naturlige tal ”. ${\ displaystyle G: = \ {x \ in \ mathbb {N} \ mid x {\ bmod {2}} = 0 \ land x> 2 \}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle> 2}$

Det er undertiden vanskeligt at afgøre, om to intensionelt beskrevne sæt er ens. For at gøre dette skal det bestemmes, om egenskaberne fra de intensionelle beskrivelser er logisk ækvivalente (hvis en egenskab er sand, er den anden også og omvendt).

Tomt sæt

Sættet, der ikke indeholder et element, kaldes det tomme sæt. Det kaldes også som eller og har magt . Fra ekstensionaliteten følger det straks, at der kun er et tomt sæt: Hvert "andet" tomt sæt, der indeholder de samme (dvs. ingen) elementer, ville være det samme. Derfor og er forskellige, da sidstnævnte sæt indeholder et andet sæt som et element. ${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ {\}}$${\ displaystyle | \ emptyset | = 0}$${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle \ {\ emptyset \}}$

Ikke-frit sæt

Et ikke-tomt sæt er et sæt, der ikke er det tomme sæt . Et ikke-tomt sæt indeholder derfor mindst et element . Den tykkelse af en ikke-tom mængde er større end 0.

Delmængde

Et sæt kaldes et undersæt af et sæt, hvis hvert element af også er et element af . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle B}$kaldes derefter et supersæt (sjældent: superset) af . Formelt: ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {A} \ subseteq {B}: \ Longleftrightarrow \ forall x \ left ({x} \ in A \ rightarrow x \ in B \ right)}$.

Således er især også meget af en delmængde af sig selv . Det tomme sæt er et undersæt af ethvert sæt. ${\ displaystyle {A} \ subseteq {A}}$

${\ displaystyle A}$er en ægte delmængde af (eller er en ægte supersæt af ), hvis er en delmængde af , men er forskellig fra, dvs. hvert element i er også et element af , men (i det mindste) ét element findes i , som ikke er indeholdt i. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Den forbindelse ”er et undersæt af” danner en partiel orden . Forholdet "reel delmængde" er en streng delbestilling.

Der er to notationer, der bruges til undergrupper:

• ${\ displaystyle {A} \ subseteq {B}}$for “delmængde” og for “rigtig delmængde” eller${\ displaystyle {A} \ subset {B}}$
• ${\ displaystyle {A} \ subset {B}}$for “delmængde” og for “rigtig delmængde”.${\ displaystyle A \ subsetneq B}$

Det førstnævnte system svarer til det, der blev introduceret af Bertrand Russell (jf. Principia Mathematica ) og tydeliggør analogien med tegnene og . Det vil blive brugt i denne artikel, men begge systemer er meget udbredt. ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle <}$

Negationen af forbindelserne , og kan betegnes med den overstregede relationssymbolet, for eksempel ved . Det er også muligt at bytte rækkefølgen af ​​de to argumenter, hvis relationssymbolet også vendes. Så i stedet for også kan i stedet for også og i stedet for også skrives. Det kan også tænkes, at disse relationssymboler kan krydses over og vendes på samme tid. ${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ subseteq}$${\ displaystyle \ notin}$${\ displaystyle x \ i A}$${\ displaystyle A \ ni x}$${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle B \ supseteq A}$${\ displaystyle A \ subset B}$${\ displaystyle B \ supset A}$

Skæringspunkt (skåret, også "gennemsnit")

Der gives et ikke-tom sæt sæt. Skæringspunktet (også gennemsnit ) af er det sæt af elementer, der er indeholdt i hvert element af . Formelt: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ bigcap U: = \ bigcap _ {a \ in U} a = \ {x \ mid \ forall a \ in U: x \ in a \}}$.

Skæringspunktet er også kendetegnet ved, at for hvert sæt gælder følgende: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X \ subseteq \ bigcap U \ iff \ forall a \ i U: X \ subseteq a}$.

Sæt af elementer uden fælles elementer kaldes ikke-element eller uensartet . Deres kryds er det tomme sæt.

Er et par sæt , så skriver man for${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U \, = \ {A, B \}}$${\ displaystyle \ bigcap U}$

${\ displaystyle \ bigcap \, \ {A, B \} = \ {x \ mid \ left (x \ i {A} \ højre) \ land \ left (x \ i {B} \ højre) \} =: {A} \ cap {B}}$

og læser dette: skæres med (eller: skæringspunktet mellem og ) er sættet med alle elementer indeholdt i såvel som i . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Denne notation kan let generaliseres til gennemsnittet af et begrænset antal sæt . ${\ displaystyle {A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n}}}$

Forskellig notation for gennemsnittet af et vilkårligt antal mængder:

Sættets elementer , som i sig selv er sæt, betegnes med. Et " indeks sæt " ( lambda ) introduceres, så det er. Skæringspunktet skrives derefter som: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle U = \ {A _ {\ lambda} \ mid \ lambda \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle \ bigcap U}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {\ lambda \ in \ Lambda} A _ {\ lambda}: = \ {x \ mid \ forall \ lambda \ in \ Lambda: x \ in A _ {\ lambda} \}}$,

det vil sige sættet med alle elementer, der er indeholdt i alle sæt .${\ displaystyle A _ {\ lambda}}$

Et ældre udtryk for gennemsnittet er internt produkt eller produkt af den første art. Dette kaldes derefter også

${\ displaystyle A_ {1} \ cdot A_ {2} \ cdot \ dotsc \ cdot A_ {n}}$ eller ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}$

skrevet. Især er den sidste notation forbeholdt mange forfattere til det kartesiske produkt (se nedenfor) og bør derfor ikke bruges til krydset for at undgå misforståelser.

Union (union sæt)

Dette er det dobbelte udtryk for skæringspunktet : Foreningen af er det sæt af elementer, der er indeholdt i mindst et element sæt af . Formelt: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ bigcup U: = \ bigcup _ {a \ i U} a = \ {x \ mid \ eksisterer a \ i U: x \ i en \}}$.

Unionen af er også kendetegnet ved, at vi for hvert sæt har: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ bigcup U \ subseteq X \ iff \ forall a \ in U: a \ subseteq X}$.

I modsætning til, det er også forklares, når det er tomt, nemlig resultater . ${\ displaystyle \ bigcap U}$${\ displaystyle \ bigcup U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ bigcup \ emptyset = \ emptyset}$

For en skriver (analogt med gennemsnittet): ${\ displaystyle U \, = \ {A, B \}}$

${\ displaystyle \ bigcup \, \ {A, B \} = \ {x \ mid \ left (x \ i {A} \ højre) \ lor \ left (x \ i {B} \ højre) \} =: {A} \ cup {B}}$

og læser dette: forenet med (eller: foreningen af og ) er sættet af alle elementer indeholdt i eller i . “Eller” skal forstås her ikke-udelukkende: Foreningen inkluderer også de elementer, der er indeholdt i begge sæt. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Hvis sæt ikke indeholder fælles elementer, dvs. de er uensartede , bruges symbolet også til foreningen af ​​disse usammenhængende sæt. Imidlertid, mens foreningens tegn intuitivt med Junktors ( eller ) kan identificeres, skal det være mellem tegnet på den uensartede union og forbindelsesleddet ( ekskluderende eller er) skelnes. ${\ displaystyle {\ dot {\ cup}}}$${\ displaystyle A \ cup B}$ ${\ displaystyle \ lor}$ ${\ displaystyle A {\ mathbin {\ dot {\ cup}}} B}$${\ displaystyle {\ dot {\ vee}}}$

Ved hjælp af et passende indeks sæt skriver vi: ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {\ lambda \ in \ Lambda} A _ {\ lambda}: = \ {x \ mid \ exist \ lambda \ in \ Lambda: x \ in A _ {\ lambda} \}}$.

Denne betegnelse er også velegnet til foreningen af ​​endeligt mange sæt . ${\ displaystyle {A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n}}}$

Som en ældre betegnelse for dette bruges summen undertiden stadig og skrives derefter

${\ displaystyle A_ {1} + A_ {2} + \ dotsb + A_ {n}}$eller .${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}$

Forsigtig: Udtrykket sum bruges også i dag til den uensartede sammensætning af sæt.

Forskel og komplement

Forskellen er normalt kun defineret for to sæt: Forskelsættet (også resten ) af og (i denne rækkefølge) er det sæt af elementer, der er indeholdt i, men ikke i . Formelt: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ setminus B: = \ {x \ mid \ left (x \ i A \ right) \ land \ left (x \ not \ in B \ right) \}.}$

Differencesættet er også kendetegnet ved, at følgende gælder for hvert sæt : ${\ displaystyle A \ setminus B}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle A \ setminus B \ subseteq X \ iff A \ subseteq B \ cup X}$.

I modsætning til kryds og union er forskellen hverken kommutativ eller associerende .

Hvis forskellen også kaldes komplementet af in . Dette udtryk bruges primært, når der er et basissæt, der inkluderer alle de pågældende sæt i en bestemt undersøgelse. Dette beløb behøver ikke at blive nævnt i det følgende, og ${\ displaystyle B \ subseteq A}$${\ displaystyle \! \ A \ setminus B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle B ^ {\ mathsf {C}}: = \ {x \ mid x \ not \ in B \}}$

kaldes simpelthen supplementet til . Andre stavemåder for er , eller . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B ^ {\ mathsf {C}}}$${\ displaystyle {\ overline {B}}}$${\ displaystyle \ supplement B}$${\ displaystyle \ displaystyle B '}$

Symmetrisk forskel

Beløbet

${\ displaystyle A \ bigtriangleup B: = \ left (A \ setminus B \ right) \ cup \ left (B \ setminus A \ right) = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B)}$

kaldes den symmetriske forskel på og . Det er sættet med alle elementer, der er i et sæt, men ikke begge dele. Når du bruger eksklusiv eller ("enten-eller": eller ) kan du også bruge ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ veebar}$${\ displaystyle \ nleftretarrow}$

${\ displaystyle A \ bigtriangleup B: = \ {x \ mid \ left (x \ in A \ right) \ veebar \ left (x \ in B \ right) \}}$

skrive.

Cartesian produkt

Produktsættet eller det kartesiske produkt er en anden måde at forbinde sæt på. Elementerne i det kartesiske produkt med to sæt er dog ikke elementer i de oprindelige sæt, men mere komplekse objekter. Formelt defineres produktsættet af og som ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ gange B: = \ {\ venstre (a, b \ højre) \ midt a \ i A, b \ i B \}}$

og dermed sættet med alle ordnede par, hvis første element er slukket, og hvis andet element er slået fra. Ved hjælp af n-tupler kan det kartesiske produkt også generaliseres til tilslutning af endeligt mange sæt : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$

${\ displaystyle A_ {1} \ times \ dotsb \ times A_ {n}: = \ {\ left (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n} \ right) \ mid a_ {i} \ in A_ {i } ~ {\ text {for}} ~ i = 1, \ ldots, n \}}$,

Hvis mængderne alle er ens med en mængde , skrives produktmængden også som forkortet . En generel funktion udtryk kræves for produktet sæt af en familie af sæt med et vilkårligt indekssæt . Det er sættet med alle funktioner, som et element i sættet tildeler hvert indekselement , dvs. ${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {n}}$${\ displaystyle (A _ {\ lambda}) _ {\ lambda \ in \ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle \ prod _ {\ lambda \ in \ Lambda} A _ {\ lambda}: = \ {f \ colon \ Lambda \ to \ bigcup _ {\ lambda \ in \ Lambda} A _ {\ lambda} \ mid \ forall \ lambda \ in \ Lambda: f \ left (\ lambda \ right) \ i A _ {\ lambda} \}}$

Hvorvidt et sådant kartesisk produkt ikke er tomt, dvs. om der altid er sådanne funktioner som angivet på højre side af denne definitionsligning, er tæt knyttet til det valgte aksiom .

Hvis mængderne alle er lig med en mængde , skrives produktmængden også som . ${\ displaystyle A _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {\ Lambda}}$

Strøm sæt

Kraftsættet af er sættet for alle undergrupper af . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Den effekt sæt altid indeholder den tomme mængde og sættet . Således er et et-element sæt. Den effekt sæt af en en-element sæt er derfor indeholder to elementer. Generelt: hvis det har nøjagtige elementer, så har antallet af elementer , det vil sige . Dette motiverer også stavemåden i stedet . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ emptyset) = \ {\ emptyset \}}$${\ displaystyle \ {a \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {a \}) = \ {\ emptyset, \ {a \} \}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} (A) | = 2 ^ {| A |}}$${\ displaystyle 2 ^ {A}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$

I tilfælde af uendelige sæt er udtrykket ikke uproblematisk: Der er beviseligt ingen metode, der kunne liste alle undergrupper. (Se: Cantors andet diagonale argument .) I tilfælde af en aksiomatisk struktur af sætteori ( fx ZFC ) skal eksistensen af motorsættet kræves af dets eget power set-aksiom .

Konstruktive matematikere betragter derfor magtværdien af ​​et uendeligt sæt som et fundamentalt åbent domæne, som - afhængigt af matematisk forsknings fremskridt - altid kan tilføjes nye sæt.

Eksempler på sætoperationer

Vi overvejer sætene , og . For eksempel: ${\ displaystyle X = \ {1,2,3 \}}$${\ displaystyle A = \ {1,2 \}}$${\ displaystyle B = \ {1,3 \}}$

• ${\ displaystyle 2 \ i A}$, ${\ displaystyle 2 \ notin B}$
• ${\ displaystyle X \ subseteq X}$
• ${\ displaystyle A \ subset X}$, ,${\ displaystyle B \ delmængde X}$${\ displaystyle A \ nsubseteq B}$
• ${\ displaystyle A \ cap B = \ {1 \}}$
• ${\ displaystyle A \ cup B = X}$
• Respekt til supplering gælder , , , .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {C}} = \ {3 \}}$${\ displaystyle B ^ {\ mathsf {C}} = \ {2 \}}$${\ displaystyle X ^ {\ mathsf {C}} = \ emptyset}$${\ displaystyle \ emptyset ^ {\ mathsf {C}} = X}$
• ${\ displaystyle A \ setminus B = \ {2 \}}$, , ,${\ displaystyle B \ setminus A = \ {3 \}}$${\ displaystyle X \ setminus A = \ {3 \}}$${\ displaystyle A \ setminus X = \ emptyset}$
• ${\ displaystyle A \ bigtriangleup B = \ {2,3 \}}$, ,${\ displaystyle A \ bigtriangleup X = \ {3 \}}$${\ displaystyle B \ bigtriangleup X = \ {2 \}}$
• ${\ displaystyle | X |}$= 3, = = 2, = 0, = 1${\ displaystyle | A |}$${\ displaystyle | B |}$${\ displaystyle | \ emptyset |}$${\ displaystyle \ left | \ {\ emptyset \} \ right |}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A) = \ {\ emptyset, \ {1 \}, \ {2 \}, \ {1,2 \} \}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) = \ {\ emptyset, A \ cap B, B ^ {\ mathsf {C}}, B \ setminus A, A, B, A \ bigtriangleup B, A \ kop B \}}$
• ${\ displaystyle A \ gange B = \ {(1.1), (1.3), (2.1), (2.3) \}}$, , ,${\ displaystyle A \ times \ {3 \} = \ {(1,3), (2,3) \}}$${\ displaystyle A ^ {2} = \ {(1.1), (1.2), (2.1), (2.2) \}}$${\ displaystyle \ {3 \} ^ {3} = \ {(3,3,3) \}}$
• ${\ displaystyle \ emptyset \ notin \ emptyset}$, ,${\ displaystyle \ emptyset \ in \ {\ emptyset \}}$${\ displaystyle \ emptyset \ subset A}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ emptyset) = \ {\ emptyset \}}$, ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left (\ {\ emptyset \} \ right) = \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \}}$
• ${\ displaystyle A \ times \ emptyset = \ emptyset \ times A = \ emptyset}$

Her nævnes specifikke eksempler igen.

• Mængden af ​​alle tocifrede “ snaps-numre ” er . 33 er et element i dette sæt, 23 er ikke.${\ displaystyle \ lbrace 11, \, 22, \, 33, \, 44, \, 55, \, 66, \, 77, \, 88, \, 99 \ rbrace}$
• Sættet med naturlige tal er en ordentlig delmængde af sættet med heltal .${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ lbrace 1, \, 2, \, 3, \ dotsc \ rbrace}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ lbrace \ dotsc, -3, \, - 2, \, - 1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \ dotsc \ rbrace}$

Yderligere vilkår

• Delsæt af den ægte lige linje, planet eller det euklidiske rum eller endda undergrupper i ethvert topologisk rum kaldes ikke sjældent også punktsæt . I sidstnævnte tilfælde bruges udtrykket punktsæt topologi stadig i dag i den engelsktalende verden .
• I moderne matematik, de er nummerserier opbygget trinvis anvendelse af fremgangsmåderne i mængdelære (med den tomme mængde som den eneste grundlæggende byggesten), fra primtal og naturlige tal til hele tal og rationale tal til reelle tal og videre til komplekse tal og endda ud over det.
• I skolen har sætteori til tider fået stor betydning under overskriften ny matematik .
• I tilfælde af uendelige mængder forekommer specielle fænomener med hensyn til de sædvanlige ordenforhold .
• Sætdiagrammer bruges til at illustrere forholdet mellem størrelser .
• Forholdet mellem elementerne i et sæt og et andet er beskrevet med "tildelinger" ( relationer ), klare tildelinger med "billeder" ( funktioner ).

Pædagogisk kontrovers om "ny matematik"

Undervisningen af ​​sætteori i vesttyske skoler i de tidlige 1970'ere førte til pædagogiske og sociale kontroverser. For mere information, se Ny matematik .

litteratur

• Klaus Kursawe: Mængder, tal, operationer . (= Scripta Mathematica ). Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0 .
• Hans-Dieter Gerster: propositionelogik, sæt, relationer . (= Studie og undervisning i matematik ). Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0 .
• Adolf Fraenkel : Introduktion til sætteori . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1928. (Genoptryk: Dr. Martin Sendet, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4 )
• Erich Kamke: sætteori. 6. udgave. Walter de Gruyter, Berlin 1969.
• Paul R. Halmos: Naiv sætteori . Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8 .
• H. Schinköthe: Mængder og længder, lærebog om de grundlæggende grundlæggende aspekter af matematisk tænkning og dens udvikling inden for områderne: børnehave, børnehaveklasse, grundskole, specialskole, matematisk terapi . RESI, Volxheim 2000 (Libri / BoD), ISBN 3-8311-0701-7 .
• Oliver Deiser: Introduktion til sætteori . Georg Cantors sætteori og dens axiomatisering af Ernst Zermelo . 3. Udgave. Springer Verlag , Berlin / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4 , doi : 10.1007 / 978-3-642-01445-1 . 

Weblinks

• Litteratur om mængder i kataloget over det tyske nationalbibliotek

Individuelle beviser

1. ↑ Bernard Bolzano : Introduktion til teorien om størrelse og første termer af den generelle teori om størrelse . Red.: Jan Berg (= Eduard Winter et al. [Ed.]: Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe . II, A). bånd 7 . Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart / Bad Cannstatt 1975, ISBN 3-7728-0466-7 , s. 152 . 
2. ↑ Se tekstpassage med sætdefinitionen af ​​Georg Cantor.png for den tilsvarende passage i artiklen Bidrag til grundlæggelsen af ​​transfinit sætteori - Mathematische Annalen (tidsskrift bind 46) ( Memento fra 23. april 2014 i Internetarkivet ).
3. ↑ ti.inf.uni-due.de (PDF) Hentet den 18. november 2011.
4. ^ Som forklaret i Bertrand Russell , Alfred North Whitehead : Principia Mathematica . 1. udgave. Cambridge University Press, Cambridge, S. 26 (engelsk, University of Michigan [PDF; adgang til 23. oktober 2011] 1910–1913).  og tidligere hos Peano .
5. ↑ For tomhed opstår der et logisk problem med denne formulering (endnu tydeligere med ) ifølge reglen " ex falso quodlibet ": Hvad menes her? I analogi med for alle andre bruges ikke-tomme dem mest på grund af .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle a \ in \ emptyset \ implicerer x \ i a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcap U \ subseteq \ bigcup U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup \ emptyset = \ emptyset}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcap \ emptyset: = \ emptyset}$
6. ↑ Hvis du forstår dig selv som et indeks sat og indstillet til , stemmer denne notation med definitionen ovenfor .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A_ {a}: = a}$${\ displaystyle a \ in U}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcap _ {a \ i U} A_ {a}}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcap U: = \ bigcap _ {a \ in U} a}$
7. ^ John B. Conway : Et kursus i punkt sæt topologi . Springer Science + Business Media, Cham 2014, ISBN 978-3-319-02367-0 , doi : 10.1007 / 978-3-319-02368-7 . 
8. ^ Wolfgang Rautenberg : Måling og optælling . Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1 .