Afkortet romboeder

Melencolia I af Albrecht Dürer , 1514. Polyhedronen dominerer venstre side af billedet.

Den trunkerede rhombohedron (også kaldet trunkeret rhombohedron eller Dürer's polyhedron ) er en særlig oktaedrisk polyhedron , som er afbildet på Albrecht Dürer's kobberplade Melencolia I fra 1514.

beskrivelse

Detalje med tegnet femkant, modsatte sider og er parallelle.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Den afkortede romboeder er en konveks , oktaedrisk polyhedron. Den består af seks lige, uregelmæssige, men aksialt symmetriske femkanter og to ligesidede trekanter . Den har tolv hjørner; tre overflader mødes i hvert hjørne (en trekant og to femhøjder eller tre pentagoner). Alle hjørnepunkter ligger på samme kugle . Modsatte ansigter er parallelle . I sømmen står kroppen på en trekantet overflade , femkantene danner så at sige overfladen . Antallet af kanter er atten.

konstruktion

Den oprindelige krop er en hexahedrisk romboeder , som både er en parallelepiped og et skråt prisme . Den består af seks diamanter med kantlængden og de karakteristiske vinkler 72 ° og 108 °. Seks af de otte hjørner ligger på en fælles kugle, de to punkter rager ud over den. Ved at afskære spidserne i den korrekte højde oprettes tre nye hjørner, der danner de afskårne sider af den trunkerede romboide, og som også ligger på den fælles omkreds. Som normalt er de skårne overflader vinkelrette på kroppens konturlinie . ${\ displaystyle a}$

Femkantede sideflader

Ved afskæring bliver diamanterne den femkantede grænseflade af den afskårne romboeder, to af diamantsiderne (rød) bevares med den inkluderede vinkel på 72 °, de andre to sider forkortes til (blå), skærelinjen (grøn) løber parallelt til diagonalen (se grafik til højre). De to nyligt tilføjede stumpe vinkler er hver på 126 °. Især og er (stadig) parallelle, og alle fem hjørner ligger på en omkreds og indeholder således tre forskellige akkordkvadrater (samt to refleksioner). Se også: senefemkant . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Dette specielle valg af vinkler til romberne skaber adskillige bemærkelsesværdige proportioner i de femkantede sideflader på den afkortede romboide. Det er den radius radius af femkant: ${\ displaystyle r}$

• Følgende sideforhold er på den gyldne snit : .${\ displaystyle {\ tfrac {a} {r}} = {\ tfrac {r} {b}} = {\ tfrac {e} {c}} = \ Phi}$
• ${\ displaystyle r}$er samtidig forskel og geometriske gennemsnit af og :${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ sqrt {ab}} = ab = r}$
• De to sekundære diagonaler, som hver danner en trekant med og , har nøjagtig samme længde . Sammen med de andre kanter resulterer de hver i et spejlsymmetrisk trapezform, hvis spejlakse ikke svarer til femkantens.${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$

Formler

Til polyhedronen

3D-konstruktion af Dürer polyhedron - baseret på nedenstående formler.

Størrelser på den afskårne romboide med den længste kant a
bind	${\ displaystyle V = {\ frac {5} {3}} a ^ {3} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 2}}}$
Overfladeareal	${\ displaystyle A_ {O} = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (3 {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + 5 {\ sqrt {3} } -2 {\ sqrt {15}} \ right)}$
Umkugelradius	${\ displaystyle R = {\ frac {a} {4}} {\ sqrt {14-2 {\ sqrt {5}}}}}$
1. Ansigtsvinkel  (femkant over kant a )   ≈ 103 ° 39 ′ 17 ″	${\ displaystyle \ cos \, \ alpha _ {1} = 2 - {\ sqrt {5}}}$
2. Ansigtsvinkel  (femkant over kant b )   ≈ 76 ° 20 ′ 43 ″	${\ displaystyle \ cos \, \ alpha _ {2} = {\ sqrt {5}} - 2}$
3.  Ansigtsvinkel (femkant - trine )   ≈ 114 ° 48 ′ 4 ″	${\ displaystyle \ cos \, \ alpha _ {3} = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}}}$

Til individuelle sideflader

Størrelser af senefemkant Areal ${\ displaystyle A = {\ frac {a ^ {2}} {4}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$ Omkredsradius ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2}} \ left ({\ sqrt {5}} - 1 \ right) = ab = {\ sqrt {ab}}}$ 2. Sidelængde ${\ displaystyle b = {\ frac {a} {2}} \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right)}$ 3. Sidelængde ${\ displaystyle c = a {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$ diagonal ${\ displaystyle e = {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}}}$ højde ${\ displaystyle h = {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {5}}}$

Størrelser af den ligesidede trekant Areal ${\ displaystyle A = {\ frac {a ^ {2}} {4}} {\ sqrt {3}} \ left (5-2 {\ sqrt {5}} \ right) = {\ frac {c ^ { 2}} {4}} {\ sqrt {3}}}$ Omkredsradius ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {3}} {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {c} {3}} {\ sqrt {3}}}$ højde ${\ displaystyle h = {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {15-6 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {c} {2}} {\ sqrt {3}}}$

litteratur

• Eberhard Schröder: Dürer, kunst og geometri: Dürer kunstneriske arbejde set fra hans ”Underweysung” . Birkhäuser, Basel 1980, ISBN 3-7643-1182-7 , især kapitel: Rekonstruktionsanalyse om kobbergraveringen "Melancholie" , s. 64–75, der er også et skitseark af den indledende undersøgelse på s. 69.

Weblinks

• Eric W. Weisstein : Dürer's Solid . På: MathWorld (engelsk).