Rhombohedron

En romboeder er en polyhedron afgrænset af 6 diamanter . Det er en parallelepiped med kanter af lige længde og 3 lige indvendige vinkler i to modsatte hjørner .

Formler

Størrelser på en romboeder med kantlængden a og den indvendige vinkel${\ displaystyle \ theta}$
bind	${\ displaystyle V = a ^ {3} \ cdot (1- \ cos (\ theta)) \ cdot {\ sqrt {1 + 2 \ cdot \ cos (\ theta)}}}$
Overfladeareal	${\ displaystyle A = 6 \ cdot a ^ {2} \ cdot \ sin (\ theta)}$
Inc sfæreradius	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {h} {2}} = a \ cdot {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2 \ cdot \ sin (\ theta)}} \ cdot { \ sqrt {1 + 2 \ cdot \ cos (\ theta)}}}$
højde	${\ displaystyle h = a \ cdot {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} \ cdot {\ sqrt {1 + 2 \ cdot \ cos (\ theta)}}}$
Rumdiagonaler	${\ displaystyle d_ {1} = a \ cdot {\ sqrt {3 + 6 \ cdot \ cos (\ theta)}}}$
	${\ displaystyle d_ {2} = a \ cdot {\ sqrt {3-2 \ cdot \ cos (\ theta)}}}$
Overfladediagonaler	${\ displaystyle e = 2 \ cdot a \ cdot \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$
	${\ displaystyle f = 2 \ cdot a \ cdot \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$
Forhold mellem boldvolumen og volumen	${\ displaystyle {\ frac {V_ {IK}} {V}} = {\ frac {\ pi \ cdot (1-3 \ cdot \ cos ^ {2} (\ theta) +2 \ cdot \ cos ^ {3 } (\ theta))} {6 \ cdot \ sin ^ {3} (\ theta)}}}$
Vinkel imellem tilstødende overflader	${\ displaystyle \ beta _ {1} = 180 ^ {\ circ} - \ beta _ {2} = {\ frac {\ Omega _ {1} + \ Omega _ {2}} {2}} = \ arccos \ venstre (1 - {\ frac {1} {1+ \ cos (\ theta)}} \ højre)}$
	${\ displaystyle \ beta _ {2} = 180 ^ {\ circ} - \ beta _ {1} = \ Omega _ {2} = \ arccos \ left ({\ frac {1} {1+ \ cos (\ theta) )}} - 1 \ højre)}$
Solide vinkler i hjørnerne	${\ displaystyle \ Omega _ {1} = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {3 \ cdot \ theta} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ { 3} \ left ({\ frac {\ theta} {4}} \ right)}} \ right)}$
	${\ displaystyle \ Omega _ {2} = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ cot \ left ({\ frac {3 \ cdot \ theta} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {4}} \ right)}} \ right)}$

bind

Den volumen den rhombohedron kan beregnes ved hjælp af formlen for rumfanget af parallelepipedum (se Parallelepipedum - Volume ). For romboeder er alle kanter ens længde, og de 3 indvendige vinkler mellem kanterne er de samme, så og . Dette giver lydstyrken ${\ displaystyle a = b = c}$${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V & = a \ cdot b \ cdot c \ cdot {\ sqrt {1 + 2 \ cdot \ cos (\ alpha) \ cdot \ cos (\ beta) \ cdot \ cos (\ gamma) - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma)}} \\ & = a ^ {3} \ cdot {\ sqrt {1-3 \ cdot \ cos ^ {2} (\ theta) +2 \ cdot \ cos ^ {3} (\ theta)}} \\ & = a ^ {3} \ cdot {\ sqrt {(1 - \ cos (\ theta)) ^ {2} \ cdot (1 + 2 \ cdot \ cos (\ theta))}} \\ & = a ^ {3} \ cdot (1- \ cos (\ theta)) \ cdot {\ sqrt {1 + 2 \ cdot \ cos (\ theta)}} \ slut {justeret}}}$

Dihedral vinkel

For to modsatte hjørner af romboederet er de 3 tilstødende indvendige vinkler på de diamantformede sideflader de samme. Et sådant hjørne danner en tetraeder sammen med de 3 nærliggende hjørner . Hvis man ser på kuglen omkring denne tetraeder, så gælder ligningen i henhold til cosinusloven for sfæriske trekanter

${\ displaystyle \ cos (\ theta) = \ cos (\ theta) \ cdot \ cos (\ theta) + \ sin (\ theta) \ cdot \ sin (\ theta) \ cdot \ cos (\ beta _ {1} )}$

Her er de indvendige vinkler og de ansigt vinkler mellem disse sideflader. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ beta _ {1}}$

Det følger

${\ displaystyle \ beta _ {1} = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ theta) - \ cos ^ {2} (\ theta)} {\ sin ^ {2} (\ theta)}} \ højre) = \ arccos \ venstre ({\ frac {\ cos (\ theta) \ cdot (1- \ cos (\ theta))} {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} \ højre) = \ arccos \ left (1 - {\ frac {1} {1+ \ cos (\ theta)}} \ right)}$

For de seks andre hjørner af romboederet er de tilstødende indvendige vinkler de samme , og . Hvis man betragter sfæren for det tilsvarende tetraeder, så gælder ligningen i henhold til cosinusloven for sfæriske trekanter${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} - \ theta}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} - \ theta}$

${\ displaystyle \ cos (180 ^ {\ circ} - \ theta) = \ cos (\ theta) \ cdot \ cos (180 ^ {\ circ} - \ theta) + \ sin (\ theta) \ cdot \ sin ( 180 ^ {\ circ} - \ theta) \ cdot \ cos (\ beta _ {2})}$

Her er overfladevinklerne mellem sidefladerne med de indvendige vinkler og . ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} - \ theta}$

Det følger

${\ displaystyle \ beta _ {2} = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ theta) - \ cos (\ theta) \ cdot \ cos (180 ^ {\ circ} - \ theta)} {\ sin (\ theta) \ cdot \ sin (180 ^ {\ circ} - \ theta)}} \ højre) = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos (\ theta) \ cdot (\ cos (\ theta) -1)} {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {1+ \ cos (\ theta)}} - 1 \ right) }$

Fordi sandt .${\ displaystyle \ cos (\ beta _ {1}) = - \ cos (\ beta _ {2})}$${\ displaystyle \ beta _ {1} + \ beta _ {2} = 180 ^ {\ circ}}$

Solid vinkel

Den faste vinkel i hjørnet af en polyhedron kan beregnes ved hjælp af L'Huiliers sætning.

Den solide vinkel resulterer i de to modsatte hjørner af romboeder med de 3 lige indvendige vinkler ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega _ {1} & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s}} {2}} \ højre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta } {2}} \ højre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta} {2}} \ højre)}} \ højre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {3 \ cdot \ theta} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {4} } \ højre)}} \ højre) \ ende {justeret}}}$

for i dette tilfælde er det . ${\ displaystyle \ theta _ {s} = {\ frac {\ theta + \ theta + \ theta} {2}} = {\ frac {3 \ cdot \ theta} {2}}}$

For de seks andre hjørner med de tilstødende indvendige vinkler , og den solide vinkel resulterer ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} - \ theta}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ} - \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega _ {2} & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s}} {2}} \ til højre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - (180 ^ {\ circ} - \ theta)} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - (180 ^ {\ circ} - \ theta)} {2} } \ højre)}} \ højre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({\ sqrt {\ tan \ left (90 ^ {\ circ} - {\ frac {\ theta} {4}} \ højre ) \ cdot \ tan \ left (90 ^ {\ circ} - {\ frac {3 \ cdot \ theta} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {4}} \ højre)}} \ højre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({\ sqrt {\ cot \ left ({\ frac {3 \ cdot \ theta} {4}} \ højre) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {\ theta} {4}} \ højre)}} \ højre) \ ende {justeret}}}$

hvor i dette tilfælde er. ${\ displaystyle \ theta _ {s} = {\ frac {\ theta + (180 ^ {\ circ} - \ theta) + (180 ^ {\ circ} - \ theta)} {2}} = 180 ^ {\ circ} - {\ frac {\ theta} {2}}}$

Rumfyldning med romboeder

Det tredimensionelle euklidiske rum kan fyldes fuldstændigt med kongruent romboeder. Sådan tredimensionel flisebelægning er kaldes værelse påfyldning .

Denne rumfyldning lavet af romboeder danner et gitter . Det svarer til det trigonale krystalsystem i krystallografi .

Dette gitter indeholder parallelle planer . Derfor dihedral vinkler og tilføje op til 180 °. De tilstødende faste vinkler og i gitteret svarer sammen til den tovinklede vinkel . Den fulde ansigtsvinkel er og den fulde faste vinkel er . Gælder derfor . ${\ displaystyle \ beta _ {1}}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {1}}$${\ displaystyle \ Omega _ {2}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}}$${\ displaystyle 2 \ cdot \ pi}$${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ \ mathrm {sr}}$${\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {\ Omega _ {1} + \ Omega _ {2}} {2}}}$

Derudover er de samme faste vinkler tilstødende i gitteret 2 og svarer sammen til den tovinklede vinkel . Gælder derfor . ${\ displaystyle \ Omega _ {2}}$${\ displaystyle \ beta _ {2}}$${\ displaystyle \ beta _ {2} = \ Omega _ {2}}$

Ansøgninger

Kunst og natur

• I sin delvist matematisk inspirerede grafik Melencolia I skildrer Albrecht Dürer en specielt trimmet romboeder , der gennem denne modifikation vil ligge med alle hjørnepunkterne på en sfærisk overflade.
• Maurits Cornelis Escher brugte også forskellige rhombohedra til sine umulige tal i foreløbige overvejelser og strukturel udvikling.

Krystallografi

Rhombohedronen kan findes i naturen som en krystalform og i krystalstrukturer på atomniveau . Det er den generelle plane form af den rhombohedriske krystalklasse ( 3 ), en kantform af den trigonale-trapezformede ( 32 ) og en speciel form for ditrigonal-scalenohedral krystalklassen ( 3 m ). Det er også den grundlæggende form af Bravais rhombohedral gitter . Rhombohedronen som en krystalform findes kun i det trigonale krystalsystem .

For eksempel krystallisere den mineraler ametyst , hæmatit , calcit og dolomit i trigonal krystallinsk system.

• 

  Dolomit (hvid)

• 

  Calcit.

• 

  Calcit krystal

• 

  gul calcit

• 

  Rhombohedrale krystaller

Farven romboeder

Ifølge Harald Küppers opfylder farven rhombohedron den geometriske løsning til hans farveteori . Hvert punkt i det geometriske legeme svarer til en farvevalens . Dette betyder, at hvert af disse farvepunkter er defineret af dets tre vektorpotentialer . Farven rhombohedron kan konverteres til et RGB- eller et CYM- farveområde gennem kompression og forvrængning , naturligvis med forskellige forhold mellem farveværdierne.

En romboeder, hvor den korte diagonal på de ydre overflader er lige så lang som kanten af ​​romboederen, repræsenterer en symmetrisk parallelepiped . To ydre overflader er parallelle med hinanden . Hver diamantformet ydre overflade består af to ligesidede trekanter . Hvis du klipper en romboeder langs den korte diagonal på de ydre overflader, får du tre dele: to tetraeder og en oktaeder . Disse tre geometriske legemer er igen fuldstændigt symmetriske. Alle de ydre overflader af disse tre nye geometriske legemer er ligesidede trekanter.

• Küppers farve rhombohedron
• 

  Farvelegemer ifølge Harald Küppers

• 

  bemærkelsesværdige nedskæringer

• 

  Akser, diagonaler og kanter

Se også

• Cuboid
• Parallelepiped

Weblinks

• Blå calcit-romboeder
• Diamant krop
• Eric W. Weisstein : Rhombohedron . På: MathWorld (engelsk).

Individuelle beviser

1. ^ Stack Exchange: Formel for længden af ​​diagonalen på en parallelepiped
2. ^ Stakveksling : Dihedrale vinkler mellem tetraederflader fra trekantsvinkler ved spidsen
3. ^ G. Richardson: Tetrahedrons trigonometri . I: The Mathematical Gazette . 2, nr. 32, 1. marts 1902, s. 149-158. doi : 10.2307 / 3603090 .
4. ^ Wolfram MathWorld: Sfærisk overskud
5. ↑ fra Augsburg Naturmuseum, fundet Goslerwand, Østtyrol
6. ↑ Museo civico di storia naturale a Milano, placering Kasakhstan
7. ↑ Find plet Kina: rhomboid gul gennemsigtig krystal: Calcite jaune
8. ^ Illustration fra Encyclopædia Britannica (1911), artikel CALCITE.
9. ↑ Küppers 'teori om farver ( minde fra 26. januar 2012 i internetarkivet )
10. ↑ B: hvid, S: sort, N: neutral grå, B → M → R → Y → G → C: seks lyse farver (blå, magenta, rød, gul, grøn, cyan)