Indvendig vinkel

Indvendige vinkler α, β, γ af en trekant

De indvendige vinkler på en polygon er geometrisk de vinkler, der er omsluttet af to tilstødende polygonsider, og som ligger inden i polygonen. De hjørner af polygonen danner knudepunkter af de indvendige vinkler. Hvert hjørne har nøjagtige indvendige vinkler. I en polygon, der ikke vælter , afhænger summen af de indvendige vinkler kun af antallet af hjørner af polygonen. En sekundær vinkel på en indvendig vinkel, der oprettes ved at udvide en polygonside, kaldes en udvendig vinkel . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Betegnelser

Hvis hjørnerne på en polygon er markeret med , nævnes de indvendige vinkler normalt . Hjørnet er hjørnet for vinklen , hjørnet er hjørnet for vinklen osv. I tilfælde af en trekant er siden modsat vinklen betegnet med , siden modsat vinklen med og så videre (se illustration). ${\ displaystyle A, B, C, \ ldots}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle b}$

Særlige tilfælde

En ikke-konveks femkant med en indvendig vinkel større end 180 °

Hvis alle indvendige vinkler i en trekant er mindre end , siges det at være akutte ; måler en af de indvendige vinkler præcist , vinkelret ; og hvis en af de indvendige vinkler er større end , stump vinklet . Med en ligebenet trekant har to af de tre indvendige vinkler samme størrelse. ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$

Hvis to modstående indvendige vinkler har samme størrelse i en firkant , er der et parallelogram til stede; to tilstødende indvendige vinkler er af samme størrelse, en ligebenet trapez . Med et akkordiske firsidede, to modstående indvendige vinkler supplerer hinanden . ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$

Med en ligeformet polygon har alle indvendige vinkler samme størrelse. Vigtige eksempler på ligekædede polygoner er de regelmæssige polygoner , for eksempel den ligesidede trekant , firkanten eller den regelmæssige femkant , hvor alle sider også har samme længde.

I en konveks polygon måler alle indvendige vinkler højst . I tilfælde af en ikke-konveks polygon er der mindst et hjørne, der kommer ind igen, med en indvendig vinkel større end . ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$

To polygoner er ikke nødvendigvis lig med hinanden, hvis alle tilsvarende indvendige vinkler matche. For eksempel ligner rektangler med forskellige billedformater ikke hinanden.

egenskaber

Vinkelsum

I en trekant er summen af de indvendige vinkler altid α + β + γ = 180 °. De to blå og røde vinkler er trin- eller alternerende vinkler på parallelle lige linjer og har derfor samme størrelse.

Summen af de indvendige vinkler af ikke for voldsramte -Ecks resulterer altid i euklidisk geometri ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma + \ dotsb = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}

.

I en trekant er summen af de indvendige vinkler derfor altid , i en firkant er den altid og i en femkant er den altid . I en ligeformet (og derfor især også i en regelmæssig) polygon med hjørner resulterer alle indvendige vinkler ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 540 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = \ dotsb = {\ frac {n-2} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ}}

.

Derfor måler alle indvendige vinkler i en ligesidet trekant , i en firkant og i en regelmæssig femkant . Disse udsagn gælder dog ikke længere i ikke-euklidiske geometrier . I en elliptisk geometri , for eksempel på en sfærisk overflade , er den indre vinkelsum altid større end i euklidisk geometri, i en hyperbolsk geometri , for eksempel på en sadeloverflade , er den altid mindre. ${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 108 ^ {\ circ}}$

Bisector

Trekant med indvendig vinkelsnegle (rød), udvendigt vinkelsnegl (grøn), indskrevet cirkel (blå) og cirkler (orange)

De bisectors af de indvendige vinkler af en tangent polygon , fx en trekant eller en diamant , mødes i indskrevne centrum af polygonen.

I en trekant deler hver indvendige bisector den modsatte side i forholdet mellem de to tilstødende sider. Det skærer også halveringen af de to ikke tilstødende ydre vinkler i midten af cirklen på den modsatte side.

Matematiske sætninger

Forholdet mellem de indvendige vinkler og sider i en trekant er etableret, blandt andet ved lov af Sines , loven af hygge , loven i tangenter , de halv-vinkel teoremer og Mollweid formler .

I henhold til loven om ydre vinkler er enhver ydre vinkel i en trekant lig med summen af de to ikke tilstødende indre vinkler. Ifølge Morleys sætning er Morley-trekanten , der er skabt ved at opdele de tre indvendige vinkler i en trekant i tredjedele, altid ligesidet.

Vivianis sætning gælder for ækvivalente polygoner , ifølge hvilke summen af afstandene fra ethvert punkt inden i polygonen til siderne af polygonen er uafhængig af punktets position.

litteratur

Arnfried Kemnitz: Matematik i starten af kurset . Springer, 2014, ISBN 978-3-658-02081-1 .
Ilka Agricola , Thomas Friedrich : Elementær geometri . Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9826-5 .

Individuelle beviser

^ Arnfried Kemnitz: Matematik i begyndelsen af kurset . Springer, 2014, s. 131-132 .

Weblinks

Wiktionary: Innenwinkel - forklaringer på betydninger, ordets oprindelse, synonymer, oversættelser

[1] Arnfried Kemnitz: Matematik i begyndelsen af kurset . Springer, 2014, s. 131-132 .

Languages