Penrose fliser

En penrose fliser er en af Roger Penrose og Robert Ammann opdagede i 1973 og 1974, offentliggjorte familie af såkaldte aperiodiske fliser mønstre, som et plan uden huller parketterer uden derved en grundlæggende ordning periodisk gentaget kan.

Eksempel 1: En penrose fliser	Den samme flisebelægning med fremhævning af 5-spidsede stjerner viser den lokale 5-foldige rotationssymmetri
Forholdet mellem det gyldne snit vises i begge fliser${\ displaystyle \ Phi}$	Både de ekstra tænder og hak samt de farvede cirkler, der skal placeres ved siden af ​​hinanden, forhindrer sammenføjningen til en periodisk flisebelægning.

Eksempel 2: en forkert samlet flisebelægning: Hvis romberne skulle have buler eller farvemønstre, kunne et af de gule romberpar, der omgiver de magentafarvede romber, ikke placeres som vist her.

baggrund

Der er flere forskellige sæt Penrose fliser; billedet til højre viser et ofte valgt eksempel. Den består af to diamanter, der har de samme sidelængder, men forskellige indvendige vinkler :

• den første flise, den tynde diamant , har indvendige vinkler på 36 ° og 144 °,
• den anden flise, den brede diamant , har indvendige vinkler på 72 ° og 108 °.

Så alle vinkler er multipla af 36 °.

Begge fliser indeholder en diagonal, som kan udtrykkes i forhold til længden af ​​siden i forholdet mellem det gyldne forhold . Hvis sidelængden er indstillet til 1, har den brede diamants lange diagonal længden . Længden af ​​den korte diagonal af den slanke diamant er . Arealforholdet mellem de to diamanter er også , ligesom antallet af fliser, der anvendes i alt til parketten. ${\ displaystyle \ Phi = \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) / 2}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle 1 / \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Ved sammenføjning af fliserne skal det sikres, at de ikke kan samles efter ønske. Det er muligt at forsyne fliserne med tænder og tilsvarende hak på siderne (svarende til puslespil ), så de sikrer korrekt samling. For den samme effekt er farveprøver mulige på fliserne, som kun må matches. En af reglerne er den såkaldte parallelogramregel , der forbyder, at to fliser sættes sammen på en sådan måde, at de sammen danner et parallelogram ; Dette alene er imidlertid ikke tilstrækkeligt til at forhindre periodisk flisebelægning.

Eksempel 3: Parallelogramreglen er overtrådt her: i den yderste grønne ring danner to brede diamanter et parallelogram.

Penrose-fliser kan være rotations- og spejlsymmetrisk, men det har ingen oversættelsessymmetri . H. mønstrene er aperiodiske. På den anden side kan det vises, at hver endelig sektion af et sådant mønster kan findes uendeligt ofte (og endda i alle andre Penrose fliser bestående af de samme fliser). Så man kan ikke bestemme hvilket mønster der er til stede på basis af et endeligt afsnit. Hvis du vælger sektionen i eksempel 1 med de gule stjerner som centrum, kan du fortsætte flisebelægningen på en sådan måde, at den har en perfekt 5 gange rotationssymmetri til uendelig; dog er et uendeligt antal andre fortsættelser også mulige.

Det faktum, at det er muligt at dække niveauet med en aperiodisk flisebelægning, blev først bevist i 1966 (o. 1964) af Robert Berger, der kort efter offentliggjorde et eksempel med 20426 forskellige fliser. Som et resultat blev mindre og mindre sæt fliser specificeret til aperiodisk flisebelægning, indtil Penrose endelig var i stand til at reducere antallet af fliser til to.

Ud over de nævnte rhombiske fliser er der et andet par fliser, der giver aperiodisk fliser, kaldet " drage " og "pil". I alle Penrose-parketter med drager og pile er afstanden mellem to identiske delmønstre mindre end (antagelse fra Ammann og Penrose, indtil videre uprøvet), hvorved diameteren af ​​delmønsteret er. Dette betyder, at de samme delmønstre ikke kun er indeholdt i hver flisebelægning et uendeligt antal gange, men også "tæt sammen". ${\ displaystyle d \ cdot (1/2 + \ Phi)}$${\ displaystyle d}$

Om der findes en enkelt fliseform (kaldet "Einstein" på engelsk ), som kun aperiodisk flisebelægning kan realiseres med, er stadig et åbent problem. Den bedste omtrentlige løsning til dato for en sådan flise blev fundet i 2009 af den australske Joan M. Taylor og offentliggjort om den med Joshua Socolar. Denne flise er ikke forbundet eller er i en anden version tredimensionel.

Roger Penrose i foyeren til Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University , hvis gulv er dækket med et Penrose-mønster (foto marts 2010).

Traditionelt består Penrose-parketten af ​​en bred og en slank diamant. I den tredje dimension kan den slanke diamant fortolkes som en perspektivforvrængning af den brede diamant. Den resulterende overflade kaldes Wieringa-taget . På grund af lighederne med de tredimensionelle kvasikrystaller genkender man rombisk triacontahedra og rombisk hexacontahedron i fliserne.

Aperiodisk fliser blev oprindeligt kun betragtet som en interessant matematisk struktur, men der er siden fundet materialer, hvis atomer er arrangeret som Penrose-fliser. Disse materialer kan ikke danne periodiske krystaller, men kvasikrystaller, fordi mønstrene "næsten" gentages.

Historiske forløbere

Under en tur gennem Usbekistan i 2007 bemærkede Peter Lu fra Harvard University , der arbejder inden for kvasikrystaller, flisepynt på en bygning, der mindede ham om Penrose-fliser. Mens han gennemgik fotografier i Darb-e-Imam-helligdommen i Isfahan , Iran, stødte han på værker fra det 15. århundrede, der ser ud til at foregribe resultaterne af Penrose.

Emil Makovicky ved Gonbad-e-Kabud i Maragha viste i 1992, at der allerede i det 12. århundrede blev anvendt et sæt af fem let at konstruere grundformer, de såkaldte Girih-fliser , til at slutte sig til ikke-gentagende, uendelig flisebelægning . I modsætning til keltiske knuder , for eksempel , hvor konstruktionen af mønsteret kan spores, er der ingen indikationer for metoderne til konstruktiv mønstergenerering i dette tilfælde. Fra det 15. århundrede blev forklaringerne yderligere suppleret med egenskaben af selvlighed , som det er kendt fra fraktaler .

Se også

• Parket med pentagoner

litteratur

• Computertænkning - kejserens nye tøj eller debatten om kunstig intelligens, bevidsthed og naturens love. Med et forord af Martin Gardner og et forord til den tyske udgave af Dieter Wandschneider . Heidelberg 1991. ISBN 3-8274-1332-X .
• Kejserens nye sind. Penguin Books, New York 1991. ISBN 0-14-014534-6 (engelsk originaludgave).
• Patent US4133152 : Sæt af fliser til at dække en overflade. Offentliggjort 9. januar 1979 , opfinder: Roger Penrose. ‌
• Martin Gardner : Penrose Tiles. Kapitel 7, i: Den kolossale matematikbog. Norton, New York NY 2001, ISBN 0-393-02023-1 .
• Roger Penrose: Pentaplexity - En klasse af ikke-periodiske belægninger af flyet. I: The Mathematical Intelligencer. Bind 2, nr. 1, Springer, New York 1979, ISSN  0343-6993 , s. 32-37 (genoptrykt fra Eureka nr. 39).
• Roger Penrose: Æstetikens rolle i ren og anvendt matematisk forskning. I: Bulletin fra Institut for Matematik og dens anvendelser (Bull. Inst. Math. Appl.). Southend-on-Sea bind 10, 1974, ISSN  0146-3942 , s. 266-271.
• Christoph Pöppe: Kvasikrystaller i et nyt lys. I: Spectrum of Science . Nr. 7, 1999, ISSN  0170-2971 , s. 14-17.
• P. Stephens, A. Goldman: Strukturen af ​​kvasikrystaller. I: Spectrum of Science. Nr. 6, 1991, ISSN  0170-2971 , s. 48-56.
• Martin Gardner: Matematiske gimmicks. I: Spectrum of Science. Heidelberg 11/1979, ISSN  0170-2971 , s. 22-33.
• Albrecht Beutelspacher / Bernhard Petri: Det gyldne forhold. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 2. udgave 1996, ISBN 3-86025-404-9 , s. 80ff.
• Branko Grünbaum, GC Shephard: Tilings and Patterns WH Freeman and Company, New York, 1987, ISBN 0-7167-1193-1

På mønstre, der ligner Penrose-fliserne i islamiske ornamenter:

• Peter Lu og Paul Steinhardt : Dekagonale og kvasi-krystallinske fliser i middelalderens islamiske arkitektur. I: Videnskab . Bind 315, Washington 2007, ISSN  0036-8075 , s. 1106-1110.
• Emil Makovicky: 800 år gammel femkantet flisebelægning fra Maragha, Iran og de nye varianter af aperiodisk flisebelægning inspireret. I: István Hargittai (red.): Femfoldig symmetri. World Scientific, Singapore / River Edge NJ 1992, ISBN 981-02-0600-3 , s. 67-86.
• Peter Cromwell The Search for Quasi-Periodicity in Islamic 5-fold Ornament , Mathematical Intelligencer, Vol. 31, No. 1, 2009.

Weblinks

• Gratis Windows-program til oprettelse af Penrose-fliser . Udviklet af Stephen Collins (JKS Software) i samarbejde med Universities of York (UK) og Tsuka (Japan).
• To teorier om dannelsen af ​​kvasikrystaller med ligheder med Penrose-fliser på www.sciencenews.org
• NUMERATOR moskébyggere lå 500 år foran vestlige matematikere hos Spiegel Online

støttende dokumenter

1. ^ Grünbaum, Shephard Tilings and Patterns , Freeman 1981, s. 563
2. ↑ Socolar s og Taylors aperiodisk flise
3. ↑ Socolar, Taylor, En aperiodisk sekskantet flise, Journal of Combinatorial Theory A, bind 118, 2011, s. 2207-2231
4. ↑ Aktiviteter med gyldne romber .
5. ^ Penrose Fliser og Wieringa Tag .
6. ↑ Historien om Spikey .
7. ↑ Keltisk knude