Underskriv regel for Descartes

Den tegn reglen om Descartes er i matematik - svarende til Sturm sætning bruges til det maksimale antal positive og negative - nuller af en reel polynomium , der skal fastlægges.

Herske

Descartes 'regel om tegn er:

Antallet af alle positive nuller i et ægte polynom er lig med antallet af tegnændringer i dens koefficientsekvens eller mindre end dette med et lige naturligt tal, hvor hvert nul tælles i henhold til dets mangfoldighed.

Den vigtige konklusion er:

Hvis et ægte polynom kun har et tegnændring, har det nøjagtigt et enkelt positivt nul.

Det er opkaldt efter den franske filosof og matematiker René Descartes , som var den første til at beskrive det i sit arbejde La Géométrie i 1637 .

Eksempler

Maksimalt antal positive nuller

Med polynomet

${\ displaystyle f (x) = 5x ^ {7} + 6x ^ {6} -9x ^ {4} -4x ^ {3} -11x ^ {2} + 7x-3}$

ændrer tegn på de koefficienter tre gange. Ifølge Descartes har polynomet således tre positive nuller eller et positivt nul. Faktisk har den nøjagtigt et positivt nul. ${\ displaystyle f (x)}$

Maksimalt antal negative nuller

For at bestemme det maksimale antal negative nuller oprettes først et nyt polynom fra polynomet . Dette betyder, at tegnene på koefficienterne ændres med en ulige eksponent , mens tegnene på koefficienterne forbliver uændrede med en lige eksponent . Descartes 'tegnregel anvendes derefter på dette nye polynom. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (-x)}$

Hvis vi ser igen på polynomet

${\ displaystyle f (x) = 5x ^ {7} + 6x ^ {6} -9x ^ {4} -4x ^ {3} -11x ^ {2} + 7x-3}$

dette er det nye polynom

${\ displaystyle f (-x) = - 5x ^ {7} + 6x ^ {6} -9x ^ {4} + 4x ^ {3} -11x ^ {2} -7x-3}$

Her ændres koefficienternes tegn fire gange. Ifølge Descartes har polynomet enten fire, to eller ingen negative nuller. Faktisk har det ikke et negativt nul. ${\ displaystyle f (x)}$

litteratur

• Bruce Anderson, Jeffrey Jackson, Meera Sitharam: Descartes 'Rule of Signs Revisited . I: American Mathematical Monthly , bind 105 (1998), s. 447-451, ISSN  0002-9890 .
• David J. Grabiner: Descartes ' Tegnregel . En anden konstruktion . I: American Mathematical Monthly , bind 106 (1999), s. 854-855, ISSN  0002-9890 .
• Henry S. Hall, Samuel R. Knight: Højere algebra. Et efterfølger til elementær algebra for skoler . Maxford Books, New Delhi 2008, ISBN 81-8116-000-2 , s. 450-460 (genoptryk af London 1950-udgaven).
• Peter Henrici : Undertegn ændringer. Reglen om Descartes . I: Power Series-Integration-Conformal-Mapping-Location of Zeros (Applied and Computational Complex Analysis; Vol. 1). Wiley, New York 1988, ISBN 0-471-60841-6 , s. 439-443.
• Ilia Itenberg, Marie-Françoise Roy : Multivariat Descartes 'regel . I: Bidrag til algebra og geometri , bind 37 (1996), nr. 2, s. 337-346.
• Oskar Perron : Algebra . De Gruyter, Berlin 1953, s. 17f. (Genoptryk af Berlin 1933-udgaven).
• Dirk Struik (red.): En kildebog i matematik 1200-1800 . Princeton University Press, Princeton, NJ 1986, ISBN 0-691-08404-1 , s. 89-93.