Excentricitet (matematik)

Ellipse med etiketter

Hyperbola med etiketter

Udtrykket excentricitet har to relaterede betydninger i matematik i forbindelse med ikke-degenererede keglesnit (ellipser, hyperboler, paraboler):

Cirkel, ellipse, parabel og hyperbola med numerisk excentricitet og samme halvparameter (= cirkelens radius)

• Den lineære excentricitet af en ellipse eller hyperbola er afstanden fra et fokuspunkt til midtpunktet og betegnes med (se figur). Det har dimensionen af ​​en længde. Da en cirkel er en ellipse med sammenfaldende fokuspunkter , gælder den for cirklen .${\ displaystyle e}$${\ displaystyle (F_ {1} = F_ {2} = M)}$${\ displaystyle e = 0}$
• Den numeriske excentricitet for ellipser og hyperboler er forholdet mellem den lineære excentricitet og den største halvakse og dermed et dimensionsløst tal.${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle e / a}$

Følgende gælder for en ellipse . I tilfældet er ellipsen en cirkel .${\ displaystyle 0 \ leq \ varepsilon <1}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$

Den numeriske excentricitet beskriver her den stigende afvigelse af en ellipse fra den cirkulære form.${\ displaystyle \ varepsilon}$

Følgende gælder for en hyperbola . Efterhånden som den vokser , bliver hyperbola mere og mere åben, dvs. dvs. vinklen mellem asymptoter stiger . Ligesidede hyperboler, dvs. dem med retvinklede asymptoter, resulterer i .${\ displaystyle 1 <\ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ sqrt {2}}}$

For en parabel definerer man (for motivation se nedenfor).${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$

Betydningen af ​​den numeriske excentricitet skyldes, at to ellipser eller hyperboler er nøjagtigt ens, hvis de har den samme numeriske excentricitet. To paraboler ( ) er altid ens.${\ displaystyle \ varepsilon \ equiv 1}$

I tilfælde af ellipser og hyperboler kaldes afstanden mellem brændpunkterne og centrum også brændvidde. I tilfælde af en parabel kaldes afstanden mellem brændpunktet og toppunktet derimod brændvidde. ${\ displaystyle e}$

I astronomi bruges for det meste kun numerisk excentricitet og kaldes simpelthen excentricitet , men i modsætning til notationen i matematik kaldes den ofte som. ${\ displaystyle e}$

Matematisk behandling

Ellipse med retningslinjer

At definere den numeriske excentricitet på keglen

Med excentricitet beskrives først afvigelsen af ​​en ellipse fra den cirkulære form. Afstanden fra et brændpunkt til midtpunktet blev brugt som et mål for denne afvigelse (se 1. billede). For du får en cirkel. Da en hyperbol også har et centrum og knudepunkter, blev navnet udvidet til det hyperbolske tilfælde, selvom man ikke kan tale om nærheden af ​​en hyperbol til en cirkel her. En parabel har ikke et midtpunkt og har derfor oprindeligt ingen excentricitet. ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e = 0}$

En anden måde at beskrive afvigelsen af ​​en ellipse fra en cirkel er forholdet . Det er det . Også her får du en cirkel. I dette tilfælde er parameteren også forholdet mellem afstanden fra et ellipsepunkt til brændpunktet og afstanden til en retningslinje (se 4. billede) , som bruges til at definere retningslinjen for en ellipse . (En cirkel kan ikke defineres ved hjælp af en retningslinje.) Hvis man også tillader værdier, der er lig med eller større end 1, når man definerer retningslinjen , er den opnåede kurve en parabel, hvis forholdet er, og hyperboler i tilfældet . Parameteren gør det muligt at beskrive ellipser, paraboler og hyperboler med en fælles familieparameter. For eksempel beskriver ligningen ${\ displaystyle \ varepsilon = e / a}$${\ displaystyle 0 \ leq \ varepsilon <1}$${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$${\ displaystyle \ varepsilon> 1}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle x ^ {2} (\ varepsilon ^ {2} -1) + 2px-y ^ {2} = 0, \ quad \ varepsilon \ geq 0, \ p> 0}$   (se 3. billede)

alle ellipser (inkl. cirkel), parabolen og alle hyperboler, der har nulpunktet som et fælles toppunkt, x-aksen som en fælles akse og den samme halvparameter (se 1. billede). ( er også den almindelige krumningsradius i det fælles toppunkt, se ellipse, parabel, hyperbola). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

• Parameteren findes kun i tilfælde af ellipser og hyperboler og kaldes lineær excentricitet . er en længde.${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e}$

For ellipsen er .${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$${\ displaystyle e = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} <a}$

For er og ellipsen en cirkel. Er kun lidt mindre end , dvs. H. er lille, så er ellipsen meget flad.${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle e = 0}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

For hyperbola er og derfor for enhver hyperbola .${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$${\ displaystyle e = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$${\ displaystyle e> a}$

• Parameteren findes for ellipser, hyperboler og paraboler og kaldes numerisk excentricitet . er forholdet mellem to længder, så det er dimensionsløst .${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Følgende gælder for ellipser og hyperboler , for paraboler .${\ displaystyle \ varepsilon = e / a = {\ sqrt {1 \ mp {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}} neq 1}$${\ displaystyle \ varepsilon = 1}$

Hvis man forstår en ellipse / parabel / hyperbol som en plan sektion af en lodret cirkulær kegle, kan den numeriske excentricitet forklares

• ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha}}, \ \ 0 <\ alpha <90 ^ {\ circ}, \ 0 \ leq \ beta \ leq 90 ^ {\ circ }}$

udtrykke. Her er hældningsvinklen på et keglenererende plan og hældningsvinklen på det krydsende plan (se billede). For der er cirkler og for paraboler. (Flyet må ikke indeholde toppen af ​​keglen.) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ alpha}$

Se også

Et beslægtet udtryk er parcentricitet i optik.

litteratur

• Lille encyklopædi for matematik . Verlag Harri Deutsch, 1977, ISBN 3-87144-323-9 , s. 192, 195, 328, 330.
• Ayoub B. Ayoub: Excentriciteten af ​​en konisk sektion. I: College Mathematics Journal , bind 34, nr. 2 (marts 2003), s. 116-121 ( JSTOR 3595784 ).
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementær geometri. AMS, 2008, ISBN 978-0-8218-9067-7 , s. 63-70 ( uddrag (Google) ).
• Hans-Jochen Bartsch: Lommebog med matematiske formler til ingeniører og naturvidenskabere. Hanser, 2014, ISBN 978-3-446-43735-7 , s. 287-289 ( uddrag (Google) ).

Weblinks

• Eric W. Weisstein : Excentricitet . På: MathWorld (engelsk).

Individuelle beviser

1. ^ Jacob Steiners foredrag om syntetisk geometri. BG Teubner, Leipzig 1867 (hos Google Books: books.google.de ).
2. ^ Graf, Barner: Beskrivende geometri. Quelle & Meyer-Verlag, 1973, s. 169-173.