Fordoblingstid

Den fordoblingstid (også kaldet fordoblingstid eller dobbelt værdi tid) beskriver den tidsperiode, hvor en eksponentielt voksende mængde (f.eks befolkningen i et land eller et dyr population) fordobles. Det muliggør en bedre sammenlignelighed af væksten i forskellige størrelser sammenlignet med sammenligningen baseret på den absolutte ændring i størrelse. En kortere fordoblingstid betyder hurtigere vækst, en længere fordoblingstid betyder langsommere vækst. Fordoblingstiden er matematisk relateret til halveringstiden . I mikrobiologi kaldes det også generationstid .

definition

Fordoblingstiden beregnes ud fra vækstraten eller vækstfaktoren ved hjælp af følgende ligning : ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle t_ {V} = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln (1 + p)}} = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln (q)}}}$

Eksempel: Hvis befolkningen i et land vokser med 2% årligt, er vækstfaktoren . Dette resulterer i en fordoblingstid på . Så befolkningen fordobles omtrent hvert 35 år. ${\ displaystyle q = 1 {,} 02}$${\ displaystyle t_ {V} = {\ tfrac {\ ln (2)} {\ ln (1 {,} 02)}} \ ca. 35 {,} 0028}$

En omtrentlig beregning ud fra vækstraten (givet i procent) er z. Som med 72-reglen mulig . Eksempel: Med en årlig befolkningsvækst på 2% er fordoblingstiden ca. år. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t_ {V} \ approx {\ tfrac {72} {p}}}$${\ displaystyle t_ {V} \ approx {\ tfrac {72} {2}} = 36}$

Afledning

Den størrelse, der vokser eksponentielt over tid, er angivet . Følgende eksponentielle funktion gælder : ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle N (t) = N_ {0} \ cdot (q) ^ {t}}$, med   .${\ displaystyle N_ {0} \ neq 0}$

På det tidspunkt, hvor værdien siges at være fordoblet, dvs. H. ${\ displaystyle t = t_ {V}}$

${\ displaystyle N (t = t_ {V}) = N_ {0} \ cdot (q) ^ {t_ {V}} = 2 \ cdot N_ {0}}$.

Opdeling efter såvel som at tage logaritmer fører til ${\ displaystyle N_ {0}}$

${\ displaystyle \ ln (q) ^ {t_ {V}} = \ ln (2)}$.

Med den logaritmiske lov om magter får vi

${\ displaystyle t_ {V} \ cdot \ ln (q) = \ ln (2)}$

og endelig

${\ displaystyle t_ {V} = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln (q)}}}$.

Individuelle beviser

1. ↑ Dobbelt tid - Mathebibel.de. Hentet 4. april 2020 .