Regel af 72

Præcise fordoblingstider for en investering (stiplede linjer) og tilnærmelser med 72-reglen (korte linjer med tal) for forskellige renter

Den 72-reglen er en tommelfingerregel fra beregningen interesse . Reglen tilnærmer fordoblingstiden , dvs. det tidspunkt, hvorefter en rentebærende kapitalinvestering fordobles i nominel værdi (på grund af effekten af sammensat rente ). For at gøre dette skal du dividere 72 med renten på det investerede beløb, deraf navnet på reglen. Varianter af 72-reglen er 70-reglen og 69-reglen .

formel

Det tidspunkt (i år), hvor en investering med rentesats fordobles (pr. År) er ifølge 72-reglen: ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle t \ approx {\ frac {72} {100 \ cdot i}} = {\ frac {72} {p}} ~ {\ text {år}}}$.

Det betegner den rentesats . ${\ displaystyle p}$

Den samme formel kan bruges til at estimere, hvilken rente der kræves for at fordoble en kapital på et givet tidspunkt : ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle p \ approx {\ frac {72 ~ {\ text {years}}} {t}}}$.

Eksempler

På hvilken tid fordobles et investeret beløb til en rente på (8 procent pr. År)? ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle p = 8}$

${\ displaystyle t = {\ frac {72} {p}} ~ {\ text {år}} = {\ frac {72} {8}} ~ {\ text {år}} = 9 ~ {\ tekst {år }}}$

Hvilken rente (pr. År) har du brug for for at fordoble en kapital over en periode ? ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t = 12 ~ {\ text {år}}}$

${\ displaystyle p = {\ frac {72 ~ {\ text {år}}} {t}} = {\ frac {72 ~ {\ tekst {år}}} {12 ~ {\ tekst {år}}}} = 6}$

Reglen om 72 kan ikke kun anvendes til beregning af renter, men på enhver form for eksponentiel vækst . F.eks. Genereringstiden , dvs. den tidsperiode, hvor en mikrobiel population fordobles, med en times vækstrate på ca. timer. ${\ displaystyle 4 \, \%}$${\ displaystyle {\ tfrac {72} {4}} = 18}$

Afledning

Ifølge den sammensatte renteformel er den endelige kapital i en fastforrentet investering med startkapital til en rentesats efter en periode på år med årlig rente ${\ displaystyle K_ {t}}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle K_ {t} = K_ {0} \ left (1 + i \ right) ^ {t} = K_ {0} \ left (1 + {\ frac {p} {100}} \ right) ^ { t}}$.

Hvis du nu indstiller , skal du anvende logaritmen på begge sider af ligningen og løse , antallet af år, indtil resultatet fordobles som ${\ displaystyle K_ {t} = 2K_ {0}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle t = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln \ left (1 + {\ frac {p} {100}} \ right)}}}$.

Efter konvergering i små mængder mod (se Taylor-serien ) og med resultater som en tilnærmelsesformel ${\ displaystyle \ ln (1 + x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ ln (2) \ ca. 0 {,} 6931}$

${\ displaystyle t \ approx {\ frac {0 {,} 6931} {\ frac {p} {100}}} = {\ frac {69 {,} 31} {p}}}$.

Hvis man nærmer sig gennem eller , kaldes det 69-reglen eller 70-reglen. Som en tommelfingerregel har tilnærmelsen imidlertid vist sig, blandt andet fordi antallet har mange små skillevægge . Der er også en modifikation af formen for reglen om 69 i litteraturen ${\ displaystyle \ ln (2)}$${\ displaystyle 0 {,} 69}$${\ displaystyle 0 {,} 70}$${\ displaystyle 0 {,} 72}$${\ displaystyle 72}$${\ displaystyle (72 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2})}$

${\ displaystyle t \ approx {\ frac {69} {p}} + 0 {,} 35}$,

som blev fundet ved numerisk tilnærmelse . Den logaritmiske funktion kan således tilnærmes i området med en maksimal afvigelse på 0,5 procent. Hvis 0,32 bruges som værdien for det absolutte udtryk, er afvigelserne i området maksimalt en procent sammenlignet med de nøjagtige fordoblingstider. ${\ displaystyle 0 <p <35}$${\ displaystyle 0 <p <100}$

nøjagtighed

I den følgende tabel sammenlignes estimaterne i henhold til 72, 70, 69-reglen og andre tilnærmelser, der er anført ovenfor, med de faktiske værdier for typiske rentesatser. En grafisk gengivelse af de relative nøjagtigheder er vist i diagrammet til højre.

rentesats ${\ displaystyle i}$	Fordobling tid${\ displaystyle t}$	Regel af 72	70'ers regel	Regel af 69	Tilnærmelse 69 / p + 0,35	Tilnærmelse 69 / p + 0,32
0,25%	277.605	288.000	280.000	276.000	276.350	276.320
0,5%	138,976	144.000	140.000	138.000	138,350	138,320
1%	69,661	72.000	70.000	69.000	69.350	69,320
2%	35.003	36.000	35.000	34.500	34.850	34.820
3%	23.450	24.000	23,333	23.000	23.350	23.320
4%	17,673	18.000	17.500	17.250	17.600	17.570
5%	14.207	14.400	14.000	13.800	14.150	14.120
6%	11.896	12.000	11,667	11.500	11.850	11.820
7%	10.245	10,286	10.000	9.857	10.207	10.177
8.%	9.006	9.000	8.750	8,625	8,975	8.945
9%	8,043	8.000	7,778	7,667	8,017	7,987
10%	7,273	7.200	7.000	6.900	7.250	7.220
11%	6,642	6.545	6.364	6.273	6,623	6.593
12%	6.116	6.000	5.833	5.750	6.100	6.070
15%	4.959	4.800	4.667	4.600	4.950	4.920
18%	4.188	4.000	3.889	3.833	4.183	4.153
20%	3,802	3.600	3.500	3.450	3.800	3.770
25%	3.106	2.880	2.800	2.760	3.110	3,080
30%	2,642	2.400	2.333	2.300	2.650	2.620
40%	2,060	1.800	1.750	1.725	2,075	2,045
50%	1.710	1.440	1.400	1.380	1.730	1.700

Se også

• Tidsværdi af penge

litteratur

• John J. Spitzer, Sandeep Singh: Reglen om 72? . Finansiel rådgivning og planlægning 10 [1] (1999).

Weblinks

• Eric W. Weisstein : Regel af 72 . På: MathWorld (engelsk).
• Regel af 72. Online regnemaskine fra moneychimp.com (engelsk)

Individuelle beviser

1. ^ Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Fundamenter og anvendelser af tidsværdien af ​​penge . John Wiley & Sons, 2009, s. 89 . 
2. ^ MC Lovell: Økonomi med beregning . World Scientific, 2004, s. 361 . 
3. ^ RL Finney, GB Thomas: Calculus . Addison-Wesley, 1990, s. 360 . 
4. ↑ JP Gould, RL Weil: Reglen om 69 . I: Journal of Business . bånd 39 , 1974, s. 397-398 . 
5. ↑ Richard P. Kort: Et notat om ”genopdagelse”, og reglen om 69 . I: Accounting Review . bånd 52 , nr. 4 , 1977, s. 810-812 .