Inertimoment
Fysisk størrelse | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Efternavn | Inertimoment | |||||||||
Formelsymbol | ||||||||||
| ||||||||||
Se også: inerti tensor , inertimoment |
Det inertimoment , også masseinertimoment eller inertial øjeblik , angiver inerti et stift legeme i forhold til en ændring i dets vinkelhastighed når roterer omkring en given akse ( moment divideret med vinkelacceleration ). Den spiller således samme rolle som masse i forholdet mellem kraft og acceleration ; derfor bruges udtrykket roterende masse også i den ældre litteratur . Det fremstår som en fysisk mængde for første gang i 1749 i værket Scientia Navalis af Leonhard Euler .
Inertimomentet afhænger af massefordelingen i forhold til rotationsaksen. Jo længere væk et masseelement er fra rotationsaksen, jo mere bidrager det til inertimomentet; afstanden er en firkant. Hvis legemets tæthed stiger mod rotationsaksen, er dets inertimoment mindre, end hvis dens masse var homogent fordelt i samme volumen. I tilfælde af hurtigt roterende planeter kan der derfor drages konklusioner om densitetsprofilen fra udfladningen .
Hvis rotationsaksen ikke er fast, er et enkelt tal ikke tilstrækkeligt til at beskrive inertiadfærden. Inertimomentet for enhver akse gennem tyngdepunktet kan beregnes ud fra inertisensoren .
Illustrative eksempler
Afbalanceringshjælp
Når Seiltanz være som Balancierhilfe foretrak lange stænger. Sammenlignet med et kompakt legeme af samme vægt, såsom en sandsæk, har en sådan stang et meget stort inertimoment. Dette forhindrer ikke at vippe til siden, men bremser det, så kunstneren har tid nok til en kompenserende bevægelse.
Du kan nemt prøve effekten selv: en 30 cm lineal (kortere er sværere) kan balanceres lodret på din håndflade. Når den placeres sidelæns på en af dens lange kanter, falder den imidlertid fuldstændig om, før du kan reagere. I begge tilfælde er rotationsaksen den kant, der ligger ovenpå, mens afstanden fra midten af denne akse afviger meget fra over 900 cm 2 eller omkring 16 cm 2 .
Det er let at se, at afstanden er inkluderet i kvadratet af inertimomentet: En given vinkelacceleration betyder for et masseelement på dobbelt afstanden en tangential acceleration, der er dobbelt så stor og dermed dobbelt så meget inerti . Momentet, dobbelt kraft × dobbelt håndtag, er fire gange så stort.
Drejelig stol og piruette
Et andet simpelt eksperiment kan bruges til at illustrere en ændring i inertimomentet. Du sidder så centralt som muligt på en roterende kontorstol og kan sættes i rotation med dine arme og ben strakt ud. Når du så trækker dine arme og ben tættere på din krop, falder inertimomentet. Dette fører til, at den roterende bevægelse bliver hurtigere, fordi vinkelmomentet bevares (se bevarelse af vinkelmoment ). At nå ud igen bremser bevægelsen. For at øge effekten kan du lægge tunge genstande i hver hånd, såsom håndvægte. Jo større deres masse, jo mere udtalt effekt.
Et lignende eksempel er pirouetteeffekten kendt fra kunstskøjteløb . Rotationshastigheden kan udelukkende styres fra forskydningen af kropsmassen i forhold til rotationsaksen. Hvis kunstskøjteløberen trækker sine arme eller retter sig op fra en hukende stilling, vender han hurtigere - det er ikke nødvendigt at tage et andet sving.
Formelsymbol og enhed
De mest almindelige symboler for inertimomentet er og går tilbage til det latinske ord iners , hvilket betyder inaktivt og trægt. Da begge symboler også bruges i elektroteknik, bruges der stadig en (stor theta ). Denne artikel bruges hele vejen igennem .
Den SI-enheden for inertimomentet er kg · m 2 .
Sammenligning med massen i lineær bevægelse
Inertimomentet i en roterende bevægelse kan sammenlignes med massen af en lineær (retlinet) bevægelse (for detaljer se Rotation (fysik) #Sammenligning med translationel bevægelse ). Sammenlign følgende ligninger:
- Rotationsbevægelse : drejningsmoment = inertimoment gange vinkelacceleration ,
- Oversættelsesbevægelse : kraft = masse gange acceleration ( Newtons anden lov ).
generel definition
Hvis massefordeling en krop er kendt, at massen inertimoment kan beregnes ud fra følgende volumen integral:
- .
Den del af (se tilstødende figur), der er vinkelret på rotationsaksen ( vinkelhastighed ) er her .
Motivering af definitionen
Stiv krop bestående af massepunkter
Den totale kinetiske energi i et stift legeme , som består af massepunkter , stammer fra summen af de kinetiske energier for de enkelte massepunkter:
- .
Her er det orbital hastighed den i'te masse point. Nu skal hele kroppen rotere rundt om aksen . Hvert enkelt massepunkt beskriver derfor en cirkulær vej. Banehastigheden for en partikel, der roterer på en cirkelbane med en radius ved vinkelhastigheden, kan beregnes som. Derfor følger det:
- .
Analog med definitionen af kinetisk energi
af et lineært bevægeligt stift legeme, der består af N -massepunkter med den samlede masse , er inertimomentet for et roterende stift legeme, der består af N -massepunkter, defineret som
- .
Så det gælder
- .
Med denne definition kan man identificere følgende størrelser af roterende massepunkter med størrelserne på lineært bevægelige massepunkter:
- Massen af et roterende legeme svarer til inertimomentet .
- Hastigheden af et roterende legeme svarer til vinkelhastigheden .
Hvis du vælger koordinatsystemets z-akse i retning af rotationsaksen, kan følgende praktiske ligning udledes:
- .
Hvor og er x- og y-koordinaterne for i-massepunktet i koordinatsystemet valgt på denne måde. Indekset "z" er vigtigt, fordi et legems inertimoment altid er relateret til en rotationsakse (her z-aksen). Ligningen viser også, at inertimomentet ikke afhænger af z -koordinaterne for de enkelte massepunkter. Inertimomentet er uafhængigt af koordinaterne for massepunkterne i rotationsaksen.
Stiv krop beskrevet ved massefordeling
Formlen for massetræghedspunktet for en generel massefordeling opnås ved at forestille sig massefordelingen, der består af mange små masseelementer . Rotationsenergien er derefter igennem
- .
givet. Overgangen til integralet med kroppens volumen , der består af de uendelige minimale masseelementer, resulterer
- .
Dette resulterer i den generelle definition af inertimomentet givet ovenfor med en lokalitetsafhængig (dvs. generelt inhomogen) massetæthed .
Forholdet mellem inertimoment og vinkelmoment
Den stive krops samlede vinkelmoment viser i. A. ikke i samme retning som vinkelhastigheden . Den akse-parallelle komponent er imidlertid givet af. Dette kan ses som følger. Positionsvektoren for et individuelt masseelement er opdelt i en del, der er parallel med det og en, der er vinkelret på det. Den parallelle del af positionsvektoren bidrager ikke til akseparallelkomponenten i vinkelmomentet for dette masseelement , den forbliver:
- .
Den akse-parallelle komponent i det samlede vinkelmoment resulterer derefter i
- .
Det følger også med det samme .
Formler til vigtige specialtilfælde
Homogen massefordeling
Med en homogen massefordeling er densiteten lokalt konstant. Tætheden kan trækkes foran integralet, og formlen for inertimomentet er forenklet til
- .
Et eksempel på beregning er givet nedenfor.
Inertimoment for rotationssymmetriske legemer
Inertimomentet for rotationssymmetriske legemer, der roterer omkring deres symmetriakse (z-akse), kan let beregnes ved hjælp af cylindriske koordinater. For at gøre dette skal enten højden som funktion af radius ( ) eller radius som funktion af z -koordinaten ( ) være kendt. Volumenelementet i cylinderkoordinaterne resulterer i . Ved at integrere løbet og eller over , og du får:
- eller .
Inertimoment med hensyn til indbyrdes parallelle akser
Hvis inertimomentet for en akse gennem et krops tyngdepunkt er kendt, kan inertimomentet for enhver parallelt forskudt rotationsakse beregnes ved hjælp af Steiners sætning . Formlen er:
- .
Det angiver afstanden mellem aksen gennem tyngdepunktet og rotationsaksen, der forskydes parallelt.
Steiners sætning kan generaliseres for to parallelle rotationsakser. For at gøre dette skal sætningen anvendes to gange i træk: Først skal du flytte rotationsaksen, så den går gennem kroppens tyngdepunkt, derefter til den ønskede destination.
- .
Sætning om lodrette akser
Den sætning omkring vertikale akser omhandler det særlige tilfælde med flade organer med ensartet tykkelse, og som kan negligeres i sammenligning med andre dimensioner af kroppen. Så er summen af inertimomenterne omkring to indbyrdes vinkelrette rotationsakser i kroppens plan lig med inertimomentet omkring rotationsaksen, der løber gennem dets skæringspunkt og vinkelret på kroppens plan . For et legeme i xy -planet på billedet, der er:
- .
For så er det beregnet
- .
Generalisering gennem inerti tensor
Inerti -tensoren med komponenter i et legeme er en generalisering af inertimomentet. I et kartesisk koordinatsystem kan inerti -tensoren repræsenteres som en matrix, der er sammensat af inertimomenterne med hensyn til de tre koordinatakser og afvigelsesmomenterne . De tre inertimomenter udgør matrixens hoveddiagonal , afvigelsens momenter er de sekundære diagonale elementer . Ved hjælp af inertien tensor z. B. beregne inertimomentet med hensyn til enhver akse, der passerer gennem tyngdepunktet. Hvis et stift legeme roterer omkring en sådan akse med vinkelhastighed , resulterer inertimomentet til
eller i matrixnotation
- .
Rotation af koordinatsystemet
En akse i enhver rumlig retning er beskrevet af enhedsvektoren . Du kan z. B. opnået ved at dreje enhedsvektoren i z-retningen ved hjælp af en rotationsmatrix R :
Med
du får
- .
Ved hjælp af denne rotationsmatrix kan inerti-tensoren nu transformeres til et koordinatsystem, hvor z-aksen peger i retning af rotationsaksen:
- .
Inertimomentet for den nye z-akse er nu simpelthen det tredje diagonale element i tensoren i den nye repræsentation. Efter at have udført matrixmultiplikationen og trigonometriske transformationer er resultatet
- .
Eksempelberegning: rotationssymmetrisk krop
Som et eksempel betragter vi inerti tensor af et rotationssymmetrisk legeme. Hvis en af koordinataksen (her z-aksen) falder sammen med symmetriaksen, er denne tensor diagonal. Inertimomenterne for rotation omkring x-aksen og y-aksen er ens ( ). Inertimomentet kan være anderledes for z-aksen ( ). Inerti -tensoren har således følgende form:
- .
Hvis du omdanner denne tensor som beskrevet ovenfor til et koordinatsystem, der roteres af vinklen omkring y-aksen, får du:
- .
Dette resulterer i:
- For inertimomenterne for x- og z -akserne afhænger af.
- For inerti -tensoren er ikke længere diagonal, der er afvigelsesmomenter .
- Inertimomentet for den nye z-akse er .
- For hænger ikke på grund af inertimomentet i retning af rotationsaksen.
Særlige inertimomenter
Det vigtigste inertimoment
Hvis du ser på et legeme af enhver form, der roterer omkring en akse gennem dens massecenter , varierer dets inertimoment afhængigt af positionen for denne rotationsakse. Der er - generelt - en akse, for hvilken kroppens inertimoment maksimalt anvendes, og en som det anvendes minimalt for. Disse to akser er altid vinkelret på hinanden og udgør sammen med en tredje akse, igen vinkelret på de to andre, hovedtrækakser eller, for kort, hovedakser i kroppen.
I et koordinatsystem, der strækker sig over de vigtigste inertisakser (kaldet hovedtræthedssystemet eller hovedaksesystemet), er inerti -tensoren diagonal. Inertimomenterne, der tilhører de vigtigste inertisakser, er derfor inertiens tensors egenværdier , de kaldes de vigtigste inertimomenter .
Hvis et kartesisk koordinatsystem , som på billedet, er justeret i massemidtpunktet parallelt med hovedinertisystemet, beregnes de vigtigste inertimomenter som:
hvis koordinaterne som sædvanlig er nummereret i henhold til skemaet x → x 1 , y → x 2 og z → x 3 .
Med Binets inertimoment (efter Jacques Philippe Marie Binet )
de vigtigste inertimomenter kan også repræsenteres som:
Dette resulterer i:
Summen af to hovedtrækningsmomenter er altid større end det tredje; de tilfredsstiller trekantens uligheder .
Hvis massefordelingen er homogen, falder inertis hovedakser sammen med eventuelle eksisterende symmetriaksler i kroppen.
Hvis to hovedmomenter af inerti er ens, kaldes det stive legeme for en symmetrisk top . Alle rotationsakser i ækvatorialplanet , der spænder over de dertil knyttede inertisakser, er også hovedtrækakser med det samme inertimoment. Dette er umiddelbart klart i tilfælde af cylindrisk symmetriske legemer, men gælder z. B. også til en stang med en firkantet eller sekskantet bund.
I tilfælde af at alle tre vigtigste inertimomenter er identiske, som vist ovenfor, er hver rotationsakse gennem massens centrum en inertiakse med samme inertimoment. Dette gælder for alle regelmæssige legemer som kugler , ligesidet tetraeder , terning osv., Se sfærisk top .
To hovedakser spænder over et hovedplan .
Inertimoment til den fastspændte akse
Hvis et stift legeme roterer omkring en fastspændt akse med vinkelhastighed (vektorens retning er retningen for rotationsaksen), kan vinkelmomentet beregnes ud fra den generelle formel . I modsætning til formlen ovenfor er det ikke inertimomentet, men inerti -tensoren . Generelt har vinkelmomentet ikke retningen af rotationsaksen og er ikke konstant over tid, så lejerne konstant skal anvende drejningsmomenter ( dynamisk ubalance ). Kun for rotation omkring en af de vigtigste akser af inerti er .
Den gælder følgende for den impulsmoment komponent langs rotationsaksen , hvor er vinkelhastigheden og inertimomentet i forhold til rotationsaksen . Den kinetiske rotationsenergi, også kort betegnet rotationsenergi , kan igennem
komme til udtryk. Disse formler viser analogien til de tilsvarende formler for momentum og kinetisk energi i translationel bevægelse.
Eksempler
Øjeblikke for inerti af himmellegemer
Næsten alle større kroppe i rummet ( stjerner , planeter ) er tilnærmelsesvis sfæriske og roterer mere eller mindre hurtigt. Inertimomentet omkring rotationsaksen er altid det største af det respektive himmellegeme .
Forskellen mellem dette "polære" og ækvatoriale inertimoment er relateret til udfladning af kroppen, dvs. dens deformation af den rene sfæriske form på grund af rotationens centrifugalkraft . I tilfældet med jorden er forskellen mellem disse to vigtigste inertimomenter 0,3 procent, dvs. svarer omtrent til Jordens udfladning på 1: 298,24. Med den hurtigt roterende Jupiter er forskellen og udfladningen omkring 20 gange større.
De vigtigste inertimomenter for simple geometriske legemer
Medmindre andet udtrykkeligt er angivet, ligger tyngdepunktet for de geometriske legemer på den rotationsakse, som inertimomentet vedrører. er massen af det roterende legeme. Inertimomentet for rotationer om andre akser kan derefter beregnes ved hjælp af Steiners sætning . Listen over inerti -tensorer kan bruges til rotationer omkring enhver akse .
Illustration | beskrivelse | Inertimoment |
---|---|---|
En punktmasse fordelt omkring en rotationsakse. | ||
b) | En cylinderjakke, der roterer omkring sin symmetriakse for en vægtykkelse . | |
c) | En fuld cylinder, der roterer omkring sin symmetriakse. | |
d) | En hul cylinder, der roterer omkring sin symmetriakse. Inkluderer de førnævnte kantlinjer med cylinderjakke og solid cylinder.
|
|
En fuld cylinder, der roterer omkring en tværgående akse (todelt symmetriakse). | ||
En cylinderkappe, der roterer omkring en tværgående akse (todelt symmetriakse). | ||
En tynd stang, der roterer omkring en tværgående akse (todelt symmetriakse). Denne formel er en tilnærmelse til en cylinder med . | ||
Tynd stang, der roterer omkring en tværgående akse gennem den ene ende. Denne formel er anvendelsen af Steiners regel på sag g). | ||
En massiv kugle, der roterer omkring en akse gennem midten. | ||
En kugleformet skal, der roterer omkring en akse gennem centrum, for en vægtykkelse . | ||
En hul kugle, der roterer rundt om en akse gennem centrum for betydelig vægtykkelse | ||
En kuboid, der roterer omkring en akse gennem centerpunktet, der er parallelt med kanterne c . | ||
En massiv kegle, der roterer omkring sin akse. | ||
En kegleskal, der roterer omkring sin akse. Ligheden med inertimomentet for en solid cylinder kan forestilles på en sådan måde, at du kan "flade" hver kegleoverflade for at danne en cirkulær skive uden at ændre dens inertimoment. | ||
En massiv afkortet kegle, der roterer omkring sin akse. | ||
En firsidet, regelmæssig, massiv pyramide, der roterer omkring sin symmetriakse. | ||
Fuld torus med radius (rød) og halv tykkelse (gul), som roterer omkring symmetriaksen. (Radius er beregnet til at være den ydre radius af torus ) |
Eksempelberegning: inertimoment for den homogene faste kugle
- Grundlæggende viden om integralregning og koordineringstransformation er nyttigt for at forstå dette afsnit .
For at beregne inertimomentet for en massiv homogen kugle i forhold til en rotationsakse gennem kuglens centrum, bruges integralen angivet i afsnittet "Beregning". For enkelthedens skyld skal midten af kuglen være ved oprindelsen af et kartesisk koordinatsystem, og rotationsaksen skal løbe langs aksen. Til integralet
det er tilrådeligt at bruge sfæriske koordinater i stedet for kartesiske koordinater . Under overgangen skal de kartesiske koordinater x, y, z og volumenelementet d V udtrykkes med de sfæriske koordinater . Dette gøres ved hjælp af substitutionsreglerne
og de funktionelle determinanter
- .
Substituerer i udtrykket for inertimomentet giver
- .
Dette viser fordelen ved sfæriske koordinater: de integrale grænser afhænger ikke af hinanden. De to integrationer over r og kan derfor udføres elementært. Den resterende integral i
kan gennem delvis integration med
blive løst:
- .
I inertimomentet får vi endelig:
- .
Måling
Et roterende bord bruges til at måle kroppens inertimoment. Denne består af en cirkulær skive, der kan roteres omkring sin symmetriakse og en spiralformet fjeder ( spiralfjeder ). De udføres ved en rotation af skiven et bageste drivende moment , som er direkte proportional med afbøjningsvinklen er . Proportionalitetskonstanten kaldes det retningsbestemte øjeblik eller retningsmoment . Deres værdi afhænger af forårets styrke. Disken har nu harmoniske svingninger med svingningens varighed
- ,
hvor er diskens inertimoment. Hvis et legeme med et kendt inertimoment placeres på disken, ændres oscillationsperioden
- .
Fra forskellen mellem firkanterne i den respektive oscillationsperiode
drejebordets retningsmoment kan bestemmes, og drejebordets inertimoment kan opnås ud fra ovenstående formel . Hvis du nu placerer et legeme på drejeskiven, kan du bestemme dets inertimoment i forhold til rotationsaksen fra den målte oscillationsperiode
at beregne.
Moment (integration)
Inden for naturvidenskab og teknologi er øjeblikke parametre for en distribution, der beskriver placeringen og formen af denne distribution. De beregnes ved at integrere fordelingen vægtet med afstandens effekt. I denne forstand er massen er inertimoment relateret til området inertimoment .
Weblinks
- Inertimomenter for geometriske legemer på Matroids Matheplanet - Instruktioner til beregning af forskellige inertimomenter med eksempler.
- Online lommeregner til inertimomenter
Individuelle beviser
- ↑ Inertimomentet er udtrykkeligt defineret af Euler for første gang i bind 1 (§165, s. 70) for at opnå en enkelt udtryk for øjeblikket effekten af inerte masseelementer ved rotation omkring en fast akse. Ideen om, at materie har en momenteffekt, der er proportional med produktet af massen af det respektive legemselement og kvadratet af afstanden vinkelret på rotationsaksen, går imidlertid længere tilbage. Det kan findes både i tidligere skrifter af Euler og hos hans forgængere, der omhandlede problemer med vibrationscentret for sammensatte kropselementer. Euler offentliggjorde sin første omfattende teori om stive kroppe og deres inertimomenter i 1765 i Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum . Se Paul Stäckel: Elementær dynamik i punktsystemer og stive organer . I: F. Klein, C. Müller (red.): Encyclopedia of Mathematical Sciences, bind 4 (mekanik), nummer 4, Leipzig 1908 . S. 542-547 . Encyclopedia of Mathematical Sciences
- ↑ Demtröder: Experimentalphysik 1. 2008, s. 145.
- ↑ Douglas C. Giancoli: Fysik . Udg .: Oliver Eibl. Pearson Deutschland GmbH, München 2006, ISBN 978-3-8273-7157-7 , s. 343 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning [åbnet 20. januar 2018]).
- ↑ R. Gammel: Rundkørslen . Dens teori og dens anvendelser. 2. revideret Udgave. tape 2 . Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280 , s. 26-29 .
- ↑ Grammel (1950), s. 33.
- ^ A b Wolfgang Demtröder: Eksperimentel fysik 1: Mekanik og varme . Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9 , s. 147 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ^ A b c d Murray R. Spiegel, John Liu: Matematisk håndbog med formler og tabeller . McGraw-Hill Professional, 1999, ISBN 978-0-07-038203-9 , s. 38 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ↑ M. Alonso, E. Finn: Fysik. Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-56518-8 , s. 324.
- ↑ Wolfgang Demtröder: Eksperimentel fysik 1: Mekanik og varme . Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9 , s. 148 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ↑ a b c Wolfgang Demtröder: Eksperimentel fysik 1: Mekanik og varme . Gabler Wissenschaftsverlage, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9 , s. 149 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ↑ Gitin M. Maitra, LV Prasad: Handbook of Mechanical Design . Tata McGraw-Hill Education, New Delhi 1995, ISBN 0-07-460238-1 , s. 2-36 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ↑ Gitin M. Maitra, LV Prasad: Handbook of Mechanical Design . Tata McGraw-Hill Education, New Delhi 1995, ISBN 0-07-460238-1 , s. 2-35 ( books.google.com [åbnet 30. maj 2012]).
- ↑ Eric W. Weisstein : Torus . I: MathWorld (engelsk).
litteratur
- Paul A. Tipler : Fysik. 3. korrigerede genoptryk af 1. udgave 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
- Ernst W. Otten: Repetitorium Experimentalphysik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, ISBN 3-540-62987-4 .
- Torsten Fließbach : Mekanik. 3. udgave, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0546-7 .
- Herbert Goldstein , Charles Poole, John Safko: Klassisk mekanik. International Edition, 3. udgave, Pearson / Addison-Wesley, Upper Saddle River, NJ, 2002, ISBN 0-321-18897-7 .
- Wolfgang Demtröder : Experimentalphysik 1. 5. revideret og opdateret udgave, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9 .