Moment

Fysisk størrelse
Efternavn	Moment
Formelsymbol	${\ displaystyle {\ vec {M}}}$
Størrelse og enhedssystem enhed dimension SI Nm = N • m M • L 2 • T −2 cgs dyn • cm M • L 2 • T −2

Den drejningsmoment (også øjeblik eller kraftmoment, fra den latinske momentum bevægelse kraft) er en fysisk mængde i klassisk mekanik , der beskriver den roterende virkning af en kraft , et kraftpar eller anden kraft systemet på en krop . Det spiller den samme rolle i rotationsbevægelser som kraften i lineære bevægelser . Et moment kan accelerere eller bremse rotation af et legeme og bøje kroppen ( bøjningsmoment ) eller vride det ( torsionsmoment ). I drivaksler bestemmer drejningsmomentet sammen med hastigheden den overførte effekt . Hvert drejningsmoment kan beskrives ved et par kræfter. Momentet for et par kræfter er uafhængigt af referencepunktet og kan derfor forskydes som en fri vektor .

Den internationalt anvendte måleenhed for drejningsmoment er newtonmåleren . Som formelsymbol er almindeligt. Hvis en kraft virker på armen på en håndtag i rette vinkler , opnås mængden af drejningsmoment ved at gange kraftmængden med håndtagets længde : ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle M = h \ cdot F}$

${\ displaystyle M}$er størrelsen af vektoren af drejningsmomentet at resultaterne fra indlægget produkt af positionen vektor og kraftvektoren: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Det er positionsvektoren fra drejningsmomentets referencepunkt til kraftpunktet. Momentvektorens retning angiver drejningsmomentets rotationsretning. Referencepunktet kan frit vælges; det behøver ikke at være det punkt, som kroppen drejer rundt om (i nogle tilfælde er der ikke et sådant punkt), og det behøver ikke at være et punkt på kroppen, som kraften virker på. Drejningsmomentet for en enkelt kraft, ligesom vinkelmomentet, er derfor kun defineret med hensyn til et punkt, som undertiden også udtrykkeligt er angivet: ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}$med referencepunkt .${\ displaystyle A}$

Hvis flere kræfter ( ) virker på forskellige punkter , er det samlede drejningsmoment vektorsummen af ​​de enkelte drejningsmomenter: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ dotsc}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec {F}} _ {i}}$

Hvis to parallelle kræfter virker på et legeme, der har samme mængde, men modsat retning, og hvis handlingslinjer er en vis afstand fra hinanden , forårsager de et drejningsmoment med mængden . Man taler derefter om et par kræfter . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle M = F \ cdot h}$

Betegnelser og afgrænsning

Moment som et første ordens øjeblik

Udtrykket "øjeblik" bruges generelt om egenskaber ved fordelinger, der vedrører formen

${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}$

få det bragt. I tilfælde af et drejningsmoment skal den funktion, der tildeler lokationen og rækkefølgen en kraft, tages i forhold til foranstaltningen . Momentet er derfor det første ordensmoment (dipolmoment) i en kraftfordeling. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n = 1}$

I stedet for en kraftfordeling kan andre fysiske størrelser også overvejes, og deres fordelinger, som i tilfælde af en multipoludvidelse , udvikles generelt efter momenter. De resulterende mængder, der ikke er drejningsmomenter, refereres også til med ord, der indeholder slut -momentet . Eksempler er arealmomentet , inertimomentet eller det magnetiske moment .

Valg af ord inden for videnskab og teknologi

I teoretisk mekanik og fysik er den fysiske mængde, der behandles her, generelt omtalt som drejningsmoment . I teknisk mekanik såvel som i DIN- og VDI -standarderne kaldes variablen normalt for øjeblikket . Det omtales sjældent også generelt som drejningsmoment, nogle gange afvises betegnelsesmomentet også som "daglig tale". Nogle gange bruges drejningsmoment i øjeblikket af et par kræfter. I de fleste tilfælde bruges drejningsmoment kun, når det pågældende legeme drejer, f.eks. Ved tilspænding af skruer eller motoraksler, men ikke når der er en deformation (bøjning eller vridningsmoment), eller effekten endnu ikke er kendt (Moment).

Der er også en række drejningsmomenter, der dannes med endelsen -moment , såsom bøjningsmomentet, torsionsmomentet eller drivmomentet . Betegnelser som bøjningsmoment eller torsionsmoment bruges ikke.

Særlige drejningsmomenter inden for teknologi

Der skelnes mellem

Type af stress:

• Bøjning øjeblik : Et øjeblik, der fremhæver en komponent i bøjning .
• Torsionsmoment : Det øjeblik, hvor en komponent udsættes for torsion .
• Klippemoment: Skærereaktion ved fri skæring .

Type bevægelse:

• Yaw, pitch, roll moment: øjeblikke omkring særlige akser i en stiv krop, når man gaber , pitcher og svajer .

Type effekt:

• Startmoment: Det drejningsmoment, som en drivmotor kan levere fra stilstand (mere sjældent også omtalt som udbrydermomentet), eller som en arbejdsmaskine eller et køretøj har brug for ved opstart.
• Drivmoment: Det drejningsmoment, der virker på indgangsakslen på en maskine eller gearkasse, på hjulakslen i et køretøj eller på akslen på en propel . For drivmotoren eller drivgearet er det Ab -drivmomentet.
• Moment eller drejningsmoment: Det moment, der ved fastgørelse (stramning) påføres en skrue.
• Tipping moment: I mekanik, det øjeblik, der vælter et opretstående objekt. I elektroteknik er det maksimale drejningsmoment i moment / hastighedskurven for en asynkron motor . Se tippunkt for detaljer .
• Lastmoment : Det drejningsmoment, som en arbejdsmaskine modsætter sig motoren eller gearkassen. For drivmotoren eller gearkassen er det outputmomentet.
• Tilbageholdelsesmoment : Et øjeblik, der genereres ved tilbageholdenheden , dvs. fastgørelse af et legeme. Det forhindrer kroppen i at rotere.
• Forskydningsmoment: moment for en kraft i forhold til referencepunktet for kraften og moment -ligevægten.

Andet:

• Nominelt drejningsmoment: Momentet for en komponent i konstruktionen dimensioneret var.
• Nominelt øjeblik : Det øjeblik, en komponent var designet til.
• Specifikt drejningsmoment: Momentet pr. Liter forskydning for stempelmotorer. Maksimumværdierne for firetakts benzinmotorer og for store firetakts dieselmotorer er 200 Nm / dm³. Meget store totakts marine dieselmotorer når 300 Nm / dm³.

Typer af drejningsmomenter

Der skelnes mellem

• drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til et punkt,
• drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til en akse og
• drejningsmomentet for et kraftpar .

Med de to første udtryk afhænger drejningsmomentets mængde og rotationsretning af referencestykket (punkt eller lige linje). Med kraftparret opnås dog altid det samme totale drejningsmoment uanset referencestykket, hvis momentene for de enkelte kræfter i kraftparret betragtes og tilføjes.

For alle tre typer er to forskellige, ækvivalente tilgange mulige:

• En blandet, geometrisk og algebraisk betragtning, hvor mængden af ​​drejningsmoment er produktet af kraften og håndtaget. Handlingsplanet og rotationsretningen skyldes geometriske overvejelser.
• Den anden variant er en rent analytisk. Drejningsmomentet betragtes som en vektor, der resulterer som vektor produkt af positionen vektor og kraftvektoren . Momentvektoren angiver derefter mængden, handlingsplanet og rotationsretningen.

Hvilken overvejelse, der er mere passende, afhænger af det problem, der skal undersøges, og af brugerens matematiske viden. Hvis alle virkende kræfter er i det samme plan, anbefales den geometrisk-algebraiske tilgang, der klarer sig med forholdsvis simpel matematik. Hvis kræfterne danner et rumligt kraftsystem, er en sådan procedure mulig, men vanskelig. Vektorrepræsentationen er derefter passende, men kræver viden om mere avancerede matematikbegreber, såsom vektorproduktet. Derudover kan generelle matematiske forbindelser mellem drejningsmomentet og andre fysiske størrelser, såsom dem undersøgt i teoretisk mekanik, lettere repræsenteres med vektorer. I skolebøger og indledende lærebøger om teknisk mekanik foretrækkes den geometrisk-algebraiske tilgang i første omgang. I lærebøger om teoretisk mekanik og opslagsværker om teknisk mekanik er vektorrepræsentationen derimod udbredt.

Følgende gælder for mængden af ​​drejningsmoment for alle tre typer: kraft gange håndtag. Et enkelt drejningsmoment virker i et plan, og det er generelt tilstrækkeligt at overveje dette plan. Drejningsmomentet kan derefter angives med et enkelt tal, hvis tegn angiver rotationsretningen. Moment, der drejer mod uret, dvs. i en matematisk positiv forstand, tælles normalt positivt. Hvis der er flere drejningsmomenter, der ikke virker i det samme plan, er det mere nyttigt at beskrive dem med deres momentvektor. Dette er vinkelret på det plan, hvor drejningsmomentet virker.

Forskellige måder er mulige for den teoretiske afledning af drejningsmomenterne. Drejningsmomentet for en enkelt kraft kan defineres baseret på mekanikkens grundlæggende love. Drejningsmomentet for et par kræfter er derefter summen af ​​drejningsmomenterne for de to kræfter. I stedet fører overvejelser om resultatet af et par kræfter direkte til dets drejningsmoment. Drejningsmomentet for en enkelt kraft opnås derefter ved at forskyde kraften på en parallel handlingslinje (forskudt moment, se forskydningskræfter nedenfor ).

Moment af en kraft i forhold til et punkt

Momentet eller momentet for en (enkelt) kraft i forhold til et punkt virker i det plan, der indeholder kraften og referencepunktet. På dette niveau er dens mængde defineret som produktet af håndtaget og mængden af ​​kraft : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle M = a \ cdot F}$

For at undgå forveksling med andre drejningsmomenter bemærkes også referencepunktet:

${\ displaystyle M ^ {(A)}}$eller .${\ displaystyle M _ {(A)}}$

Håndtaget er den lodrette afstand mellem referencepunktet og kraftens handlingslinje. Dette er generelt ikke den direkte forbindelseslinje mellem referencepunktet og kraftens anvendelsespunkt. Da håndtaget ikke ændres, når kraften forskydes langs dets handlingslinje, ændres dens drejningsmoment heller ikke. Selve referencepunktet kan frit vælges. Det behøver ikke at være det punkt, som den pågældende krop drejer rundt om. Dette er delvist ikke kendt, og der er ikke noget sådant punkt i kroppe, der er fast forbundet med deres miljø. Referencepunktet behøver ikke at være en del af den krop, som kraften virker på. Både mængden og drejningsretningen for drejningsmomentet afhænger af valget af referencepunktet.

Vektordefinitionen er

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$.

Det er vektor produkt af positionen vektor , som peger fra referencepunktet til punktet for påføring af kraften, og den kraft vektor . Størrelsen af ​​positionsvektoren svarer generelt ikke til håndtaget. Mængden af ​​momentvektoren kan beregnes ud fra mængderne af positionen og kraftvektoren og vinklen mellem de to ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \ varphi}$

Det er derfor sandt . ${\ displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$

Ofte er drejningsmomentet altid relateret til oprindelsen efter konvention : ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Positionsvektoren peger derefter fra oprindelsen til kraftpunktets anvendelsessted. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Momentvektoren er vinkelret på det plan, hvori drejningsmomentet virker, og dermed også vinkelret på det plan, der spænder over kraften og positionsvektoren. Dens mængde, dvs. dens længde, svarer til mængden af ​​drejningsmoment og arealet af parallelogrammet, som dannes af positionen og kraftvektoren. Rotationsretningen er resultatet af højre regel : Hvis du griber fat i momentvektoren i din højre hånd på en sådan måde, at tommelfingeren peger i retning af pilespidsen, angiver de andre fingre rotationsretningen.

Moment af en kraft i forhold til en akse

For en krafts drejningsmoment i forhold til en akse vælges det punkt på aksen, der er tættest på kraftens anvendelsespunkt, som referencepunkt. Afstanden mellem applikationspunktet og aksen er derefter håndtaget. Til beregningen kan man projicere kraften i et plan, der er vinkelret på aksen, og derefter bruge den projicerede kraft til at danne drejningsmomentet i forhold til det punkt, hvor aksen trænger ind i planet. Alternativt kan drejningsmomentet for den oprindelige kraft også genereres i forhold til ethvert punkt på den lige linje. Momentvektoren projiceres derefter i et plan, der er vinkelret på den lige linje.

Moment af et par kræfter

Et par kræfter består af to kræfter, der er på parallelle handlingslinjer, har samme mængde og peger i modsatte retninger. I modsætning til en enkelt kraft kan den ikke bevæge et legeme, men det forsøger at vende det. Par af kræfter er ofte til stede, når kroppe roterer; den ene af de to kræfter er imidlertid ofte ikke umiddelbart genkendelig, fordi den for det meste er en begrænsende kraft . Mængden af ​​drejningsmoment, der genereres af et par kræfter, kan beregnes som produktet af mængden af en af ​​de to kræfter og afstanden mellem deres handlingslinjer:${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle M = F \ cdot a}$

Kraftparets momentvektor kan beregnes ved at:

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$

Positionsvektoren peger fra ethvert punkt på den ene krafts handlingslinje til et vilkårligt punkt på den anden krafts handlingslinje. Vektoren, der forbinder anvendelsespunkterne for de to kræfter, bruges ofte. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Effekten af ​​kræftpar adskiller sig fra individuelle kræfter på nogle vigtige punkter, hvorfor drejningsmomenterne for par af kræfter også adskiller sig fra andre drejningsmomenter:

• Momentet for et kraftpar er uafhængigt af referencepunkter. Det betyder, at et par kræfter kan forskydes til ethvert sted uden at ændre deres effekt eller drejningsmoment.
• Et par kræfter kan erstattes af dets drejningsmoment uden at ændre virkningen på den krop, den virker på. En enkelt kraft kan derimod ikke erstattes af dens moment.
• Momentvektoren for et par kræfter kan forskydes til ethvert sted. Det er en gratis vektor . Momentvektoren for en kraft er derimod en aksial vektor . Det kan kun flyttes langs den lige linje, som det definerer.

Afledninger og forhold mellem typer af drejningsmomenter

Der er forskellige måder at udlede drejningsmomenterne på baseret på mekanikkens grundlæggende love.

I teoretisk mekanik

I teoretisk mekanik antages Newtons anden lov normalt i formen "kraft er lig med masse gange acceleration":

${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$

Vektoren peger på hvert tidspunkt i tiden fra oprindelsen til placeringen af ​​massepunktet, som også er kraftens anvendelsespunkt. Den afledte af positionen vektor med hensyn til tiden giver den hastighed , som er angivet med et punkt, den anden afledede giver acceleration , som er kendetegnet ved to punkter. Hvis ovenstående ligning multipliceres vektorielt med positionsvektoren fra venstre, er resultatet kraftens drejningsmoment i forhold til oprindelsen til venstre og tidsderivatet af vinkelmomentet til højre : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) \ times {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ times m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( t)}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ dot {\ vec {L}}} (t)}$

Drejningsmomentet for et kraftpar stammer fra tilføjelsen af ​​de to kræfteres drejningsmomenter: ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ times {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ times {\ vec {F}} _ {2}}$

Da det er sandt i kraftparret , følger det også med ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ gange {\ vec {F}} _ {1}}$,

i overensstemmelse med ovenstående definition af momentet for et kraftpar, fordi . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$

I teknisk mekanik

I teknisk mekanik fører overvejelser om resultatet af kraftsystemer direkte til et kraftparrets drejningsmoment. Drejningsmomentet for en enkelt kraft kan udledes heraf.

Med parallelogrammet af kræfter kan to kræfter med et fælles anvendelsessted erstattes af en resulterende kraft. Hvis de to kræfter virker på et stift legeme, kan de også kombineres, hvis kun de to kræfteres handlingslinjer krydser hinanden, da kræfterne derefter kan forskydes til skæringspunktet uden at ændre virkningen på kroppen. Med parallelle kræfter er der dog ikke noget skæringspunkt. Hvis de to kræfter har ulige styrke, kan der imidlertid findes et skæringspunkt, og en resulterende kraft kan dannes ved at tilføje yderligere to kræfter, hvis resulterende kraft er nul. For styrkerparret er der dog ikke noget skæringspunkt, men et andet par kræfter, muligvis på et andet sted og med roterede handlingslinjer i en anden afstand fra hinanden og med en anden styrke af de to modsat lige store kræfter. Produktkraften gange afstanden mellem handlingslinjerne , dvs. drejningsmomentet, forbliver altid konstant. Kraftparret kan ikke erstattes af en enkelt resulterende kraft, men kun af et andet par kræfter med samme drejningsmoment. Kraftparret kan derfor ganske generelt erstattes af dets drejningsmoment.

Drejningsmomentet for en enkelt kraft i forhold til et punkt stammer fra drejningsmomentet for et par kræfter ved hjælp af forskydningsmomentet (se forskydning af kræfter nedenfor ). Man betragter linjen parallelt med handlingslinjen gennem referencepunktet som handlingslinjen for to modsat lige store kræfter af samme størrelse som den enkelte kraft. Den individuelle kraft kombineres med den tilsvarende nye kraft for at danne et kraftpar, og dette erstattes derefter af dets drejningsmoment. Resultatet svarer til forskydningen af ​​den oprindelige individuelle kraft og tilføjelsen af ​​et kraftparrets drejningsmoment. Sidstnævnte er offset -øjeblikket.

Repræsentationer og notationer

Der er mange notationer for drejningsmomenter i ligninger og repræsentationer på tegninger. Hvis et plan, hvor drejningsmomentet virker, er vist på tegninger, er det normalt repræsenteret af en buet pil, der kan variere mellem en kvartcirkel og en trekvartcirkel. Spidsen angiver derefter rotationsretningen. I tredimensionelle repræsentationer bruges pile som trekvartcirkler, der roterer omkring bestemte akser eller lige pile, der viser momentvektorerne. Som det generelt er tilfældet med vektorer, kan disse repræsenteres ved en simpel pil. Da kræfter og drejningsmomenter forekommer samtidigt i mange mekaniske problemer, er momentvektorerne også markeret med et dobbeltpunkt for at undgå forvirring.

Afhængighed af referencepunktet

I systemer, der ikke er i ligevægt, afhænger momentets værdi generelt af valget af referencepunktet. Hvis referencepunktet forskydes af afstanden , har drejningsmomentet i forhold til det nye referencepunkt værdien ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ gange {\ vec {F}}.}$

Her er den resulterende kraft , dvs. summen af ​​alle individuelle kræfter . ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$

Hvis den resulterende kraft er nul, oplever kroppen ingen acceleration, og tyngdepunktet ændrer ikke hastighed eller bevægelsesretning. Kraften ændrer kun vinkelmomentet. I dette tilfælde er drejningsmomentet uafhængigt af referencepunktet og kan forskydes frit uden at ændre virkningen på kroppen. Da (mindst) to kræfter er nødvendige for denne situation, som har samme mængde, men modsat retning, og hvis handlingslinjer har en vis afstand , taler man om et kraftpar . De to kræfter forårsager et drejningsmoment med mængden . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle M = aF}$

Måleenhed

Den enhed af måling for moment i SI er newton meter (Nm). Med grundenhederne kilogram, meter og sekunder gælder følgende:

${\ displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}}$

Enheden for mekanisk arbejde er også newtonmåleren og har navnet "Joule" (1 J = 1 N · m). Enhedsnavnet "Joule" må ikke bruges til drejningsmomentet, fordi drejningsmoment og arbejde er forskellige fysiske størrelser, der ikke kan omdannes til hinanden. Arbejde udføres, når en kraft (komponent) virker parallelt med bevægelsen, når den bevæger sig langs en sti. I tilfælde af drejningsmoment virker kraften derimod vinkelret på den vej, som håndtaget udgør. Arbejdet er en skalær mængde , hvorimod drejningsmomentet er en pseudovektor .

Sætningen "arbejde = kraft gange afstand" svarer til "arbejde = drejningsmoment gange vinkel". For at vise dette forhold kan enheden også bruges som energien pr. Vinkel for drejningsmomentet

${\ displaystyle 1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}}$

kan bruges, peger vektorens retning derefter i retning af rotationsaksen. Her er enheden Radiant for plan vinkel. ${\ displaystyle \ mathrm {rad}}$

I tekniske dokumenter og på typeskilt er momentet angivet i Nm. Andre anvendte enheder er f.eks. B. eller kombinationer af andre (vægt) kraft- og længdeenheder. ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$

Tilføjelse af drejningsmomenter

Moment kan tilføjes til et resulterende drejningsmoment, ligesom kræfter kan føjes til en resulterende kraft. Hvis der tages hensyn til alle drejningsmomenter, taler man også om det samlede drejningsmoment. Sættet med momenter laver korrelationer mellem den resulterende kraft og det resulterende drejningsmoment .

Samlet moment

De individuelle drejningsmomenter for to kræfter kan tilføjes, hvis de refererer til det samme punkt : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ gange {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ gange F_ {2}}$

Hvis der er et antal kræfter, er det totale drejningsmoment summen af ​​alle drejningsmomenter. Hvis de er relateret til oprindelsen, resulterer det

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}$.

Vektoren peger fra oprindelsen til kraftens basispunkt . Hvis par af kræfter er blevet erstattet af deres moment , skal disse også tilføjes: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}$

Sætning af statiske øjeblikke

Loven om statiske momenter siger, at øjeblikket for den resulterende kraft har samme effekt på et legeme som det samlede moment, der stammer fra summen af ​​de enkelte øjeblikke: ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {R}} \ cdot F _ {\ mathrm {R}} = a_ {1} \ cdot F_ {1} + a_ {2} \ cdot F_ {2} + \ dotsb + a_ {n} \ cdot F_ {n}}$

Den resulterende kraft, som er dannet af alle eksisterende kræfter, skal have samme virkning på et legeme som de enkelte kræfter. Mængden og retningen af ​​den resulterende kraft er resultatet af vektortilsætningen af ​​de enkelte kræfter, men hverken dens anvendelsessted eller dets handlingslinje. Disse bestemmes ved hjælp af det indstillede øjeblik. Den resulterende kraft skal ligge på den handlingslinje, som den genererer samme øjeblik som de enkelte kræfter.

Momentindstillingen er særlig vigtig ved kontrol af moment -ligevægten eller beregning af ukendte kræfter ved hjælp af moment -ligevægten. Kræfter, der er skrå til koordinataksen i rummet, kan derefter opdeles i flere kræfter, der er vinkelret på akserne. Deres øjeblikke kan lettere beregnes. De øjeblikke, der produceres af disse kraftkomponenter, svarer i sum til det øjeblik, der blev produceret af den oprindelige kraft.

balance

Når et legeme er i mekanisk ligevægt , ændrer det ikke sin bevægelsestilstand. Så det er hverken accelereret eller bremset.

Hvis et legeme er i ligevægt, er det i ligevægt mellem kræfter såvel som i ligevægt mellem drejningsmomenter eller moment -ligevægt med hensyn til ethvert punkt : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ vec {M}} _ {i} ^ {(A)}} = {\ vec {0}}}$

Dette gælder for ethvert punkt A og dermed endda for punkter, der er uden for kroppen. Der er et punkt, hvor handlingslinjerne for så mange kræfter som muligt krydser hinanden. I disse er længden af ​​løftearmen nul, hvilket resulterer i nulmoment. Som følge heraf vises disse drejningsmomenter ikke i ligningen, hvilket forenkler beregningen. Hvis der kun er en ukendt kraft blandt disse kræfter, kan den beregnes med det samme. Nogle gange kan det være nyttigt at bestemme flere drejningsmoment -ligevægte, hvis dette gør det muligt at beregne en anden ukendt kraft for hver.

Hvis et legeme er i drejningsmoment -ligevægt med hensyn til et punkt, kan man ikke ud fra dette konkludere, at det også generelt er i ligevægt og lige så lidt, at det er i moment -ligevægt i forhold til andre punkter. For eksempel, hvis kun en enkelt kraft virker, er den i drejningsmoment -ligevægt med hensyn til et punkt på denne krafts handlingslinje, men ikke i drejningsmoment -ligevægt med hensyn til punkter væk fra denne linje og heller ikke i total ligevægt, da en kraft virker, som der ikke er nogen modkraft til. Imidlertid er et legeme generelt i ligevægt i et plan, hvis det er i drejningsmomentligevægt med hensyn til tre forskellige punkter, forudsat at disse tre punkter ikke er på en lige linje.

Skiftende kræfter

En kraftpil kan bevæges langs sin handlingslinje uden begrænsninger uden at ændre dens virkning på en stiv krop. I den position, hvor afstandsvektoren er vinkelret på kraftpilen, kaldes den håndtaget . Beløbsmæssigt gælder følgende: "Moment er lig med armarm gange kraft". Med to virkende kræfter (som derefter omtales som kraft og belastning ), svarer moment -ligevægten til løftestangsloven : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Arm med kraft = arm efter belastning.

(Bemærk, at strengt taget kun mængderne er de samme, fordi de to drejningsmomenter er i modsatte retninger og derfor har forskellige tegn.)

Hvis en kraft forskydes vinkelret på sin handlingslinje med afstanden til en parallel handlingslinje, ændres det drejningsmoment, den forårsager, i forhold til referencepunktet. En kraft må derfor kun forskydes på en sådan måde, hvis der også indføres et drejningsmoment, der kompenserer for denne ændring. Dette kaldes forskydningsmomentet eller forskydningsmomentet og har mængden . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F \ cdot a}$

dynamik

De dynamik handler stater, der ikke er i ligevægt. Ifølge Newtons 2. lov fører en resulterende ekstern kraft på et legeme til en ændring i hastighed ( acceleration ). Analogt betyder et resulterende eksternt drejningsmoment en ændring i vinkelhastigheden ( vinkelacceleration ). Moment inde i kroppen (bøjning eller vridningsmoment) spiller ikke en rolle i ændringen i bevægelse. Træghedsadfærden med hensyn til rotation afhænger ikke kun af et legems masse, men også af dets rumlige fordeling. Dette udtrykkes i form af inertimomentet . Ved rotation omkring en fast akse gælder følgende for drejningsmomentet i retning af denne akse: ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ dot {\ vec {\ omega}}}}}$ ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alpha}$

Det skal bemærkes, at inertimomentet ikke kun afhænger af positionen af ​​rotationsaksen (se Steiners sætning ), men også af dets retning. Hvis man vil formulere ovenstående ligning mere generelt for enhver rumlig retning, skal man i stedet bruge inertisensoren : ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$

Forholdet mellem drejningsmoment og ændringshastighed for vinkelmoment ( , twist, momentum ) kan udtrykkes som: ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Denne ligning er i engineering mekanik som impulsmoment, impulsmoment, drejningsmoment sats eller impulsmoment rate hhv. ( Kantet momentum står også for den impulsmoment bevaring sats , aktuelt indstillede er også tilgængelig for sættet øjeblik fra den statiske .)

I det todimensionale specialtilfælde accelererer eller bremser et drejningsmoment kun en rotationsbevægelse. I det generelle tredimensionelle tilfælde kan det imidlertid også ændre retningen af ​​rotationsaksen (se f.eks. Prækession ).

Overensstemmelser mellem lineær bevægelse og roterende bevægelse

Drejningsmomentet stiger i den klassiske mekanik til roterende bevægelse en lignende rolle som kraften til lineær bevægelse: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

	Bevægelse i lige linje	Rotary bevægelse
job	Styrke gange vejen ${\ displaystyle W = F \ cdot \ Delta s}$	Moment gange rotationsvinkel ( radianer ) ${\ displaystyle W = M \, \ Delta \ varphi}$
	generelt: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {F}} ({\ vec {s}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}}}$	generelt: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {M}} ({\ vec {\ varphi}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}}}$
strøm	Force gange hastighed ${\ displaystyle P = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Moment gange vinkelhastighed ${\ displaystyle P = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Statisk balance	Krænsbalance ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {0}}}$	Moment ligevægt ${\ displaystyle \ sum {\ vec {M}} _ {i} = {\ vec {0}}}$
Accelereret bevægelse	Masse gange acceleration ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Inerti tensor gange vinkelacceleration ${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$
	Hastighed for ændring af momentum ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}$	Ændringshastighed for vinkelmoment ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

1. ↑ ^{a b} Disse forenklede formler gælder for en konstant kraft langs en bane i kraftens retning eller et konstant drejningsmoment omkring en akse i rotationsretningen. I tilfælde af variable kræfter og drejningsmomenter eller i tilfælde af skråvinklede arrangementer bør de generelle formler i nedenstående linje bruges.

Måling af drejningsmomentet

Hvilende krop

Det roterende legeme holdes i ro ved et statisk modmoment . Drejningsmomentet, der skal måles og virker på hvilelegemet, er det samme som modmomentet, der f.eks. Genereres med et håndtag, og hvis værdi er produktet af håndtagets armlængde og modkraften for enden af håndtaget.

Roterende krop

Det moment, som på en roterende aksel med en bestemt hastighed måles med en bremse dynamometer, for eksempel en Prony hovedtøj eller en vand hvirvelbremse . Denne bremseenhed, der er forbundet til akslen, absorberer hele den overførte effekt og måler drejningsmomentet på samme tid.

For eksempel en drivmotor , på hvis aksel drejningsmomentet skal måles, eller bremseindretningen er monteret roterbart omkring akselens rotationsakse, og den modvirkende omkredsskraft måles i den frie ende af en håndtagarm, der er fastgjort til maskinen eller bremseenheden.

Målingen gentages flere gange, og der genereres en moment / hastighedskarakteristik.

Drejningsmomentet, der ændrer rotationshastigheden, kan bestemmes ved at måle vinkelacceleration,  hvis inertimomentet er kendt. Evalueringen udføres med formlen ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alpha}$.

Moment på udvalgte maskiner

Elektriske motorer

Den asynkrone motor i form af en egern-burrotor er en hyppigt brugt elektrisk motor. Billedet viser det drejningsmoment, der typisk genereres ved drift på elnettet (frekvens og spændingskonstant) som en funktion af hastigheden. Motoren kan kun betjenes i lang tid i det lille hastighedsområde til højre for vippepunkterne K1 eller K2 på den stejlt skrånende kurve. Til venstre for vippepunkterne er indflyvningsområdet, som altid skal passeres hurtigst muligt. Ved start har den asynkrone motor dårlig effektivitet, en høj startstrøm og et lavt moment. For at undgå disse ulemper anvendes forskellige foranstaltninger, f.eks. Star-delta startkredsløbet eller drift på en frekvensomformer . Med sidstnævnte lykkes starten med mere end det nominelle drejningsmoment, så motoren også kan bruges i køretøjsdrev.

En anden motor, der ofte bruges, er den serie-viklede jævnstrømsmotor , der har et særligt højt startmoment. Det bruges derfor til håndholdte enheder, vaskemaskiner eller skinnedrev.

Forbrændingsmotorer

I bilbrochurer er det almindeligt, at forbrændingsmotorer kun angiver deres maksimalværdi sammen med den tilsvarende hastighed i stedet for den moment / hastighedskarakteristik, der er registreret ved fuld belastning (se figur "Karakteristiske kurver for to forbrændingsmotorer").

Da hastigheden igen er inkluderet som en lineær faktor i ligningen for effekten , er den maksimale effekt ved en højere hastighed end det maksimale drejningsmoment (se figur).

Den følgende formel gælder det drejningsmoment af totaktsmotorer: ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {2 \ pi}}}$

Her er det slagvolumen og den middeltryk på det forbrændte brændstof, dvs. udføres i cyklus som ”kraft gange afstanden” arbejde. ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle V_ {h} p_ {e}}$

Følgende gælder for momentet på firetaktsmotorer:

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {4 \ pi}}}$

For med to omdrejninger pr. Arbejdscyklus halveres arbejdet pr. Omdrejningstal i forhold til totaktsmotoren.

Numerisk eksempel

Moment og effekt af en firetaktsmotor

Et seriekøretøj med 2000 cm³ (= 0,002 m³) slagvolumen, hvis firetaktsmotor når et middeltryk på 9 bar (= 900.000 Pa ; 1 Pa = 1 N / m²) ved en hastighed på 2000 / min,  beregnet i SI-enheder :

${\ displaystyle M = {\ frac {0 {,} 002 \, \ mathrm {m} ^ {3} \ cdot 900.000 \, {\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {m} ^ {2} }}} {4 \ pi}} = 143 \, \ mathrm {Nm}}$

Ligningen for effekten under en roterende bevægelse er (se ovenfor ; ... hastighed, antal omdrejninger pr. Periode) ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ n \ M \}$

og som en funktion af hastighed

${\ displaystyle P (n) = 2 \ pi \ n \ M (n)}$.

${\ displaystyle M (n)}$er det hastighedsafhængige momentkarakteristik for en bestemt motor. Det opnås ved måling.

En forbrændingsmotor, der leverer et drejningsmoment på 143 Nm ved en hastighed på 2000 omdrejninger i minuttet, har  følgende effekt i denne driftstilstand:

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ cdot {\ frac {2000} {60 \ \ mathrm {s}}} \ cdot 143 \ \ mathrm {Nm} \ \ approx 30 \ \ mathrm {kW}}$ .

Hydrauliske motorer

Den hydrauliske effekt af en hydraulisk motor er beregnet fra det pres og ved motorens indløb eller udløb, og volumenet af olie sluges ( er volumenet per omdrejning): ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle Q = q \ cdot n}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle P = (p_ {1} -p_ {2}) \, qn}$

Fra ligningen for effekten under en roterende bevægelse (se ovenfor )

${\ displaystyle P = 2 \ pi Mn}$

drejningsmomentet følger:

${\ displaystyle M = {\ frac {(p_ {1} -p_ {2}) \, q} {2 \ pi}}}$

litteratur

• Wolfgang Nolting : Klassisk mekanik. I: Grundkursus i teoretisk fysik. Bind 1, 8. udgave. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
• Herbert Goldstein , Charles P. Poole og John L. Safko: Klassisk mekanik (oversættelse: Michael Baer). 3., fuldstændig revideret og eksp. Udgave. Wiley-VCH, Weinheim 2006. (Textbook Physics), ISBN 3-527-40589-5 .
• Richard P. Feynman : Feynman forelæsninger om fysik. Oldenbourg, München / Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 .
• Paul A. Tipler : Fysik. 3. rettede genoptryk af 1. udgave. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer: Mekanik - Akustik - Varme. I: Textbook of Experimental Physics. Bind 1, 12. udgave. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Istvan Szabó : Introduktion til ingeniørmekanik. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-44248-0 .
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Mekanik. Vieweg, Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-28904-X .

Weblinks

• Moment på det enarmede håndtag. Vist ved hjælp af eksemplet på en skruenøgle. På: zum.de.
• Wilfried Krimmel: Udvikling og fremtid af momentmålingsteknologi. På: lorenz-messtechnik.de.

Individuelle beviser

1. ↑ Onlineordbogen. I: de.pons.com. PONS GmbH , tilgået den 23. april 2017 . 
2. ↑ Palle ET Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman: itereret Function Systems, øjeblikke og Transformationer af Infinite Matricer . I: Memoirs of the American Mathematical Society . American Mathematical Society, 2011, ISBN 0-8218-8248-1 , s. 2 ( begrænset forhåndsvisning i Google Bogsøgning). 
3. ↑ Elektronisk søgeordssøgning i:
   • Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (red.): Teoretisk fysik. Springer, 2015.
   • Achim Feldmeier: Teoretisk mekanik - analyse af bevægelse. 2013.
   • Honerkamp, ​​Römer: Klassisk teoretisk fysik. Springer, 4. udgave, 2012.
   • Wolfgang Nolting: Grundkursus Teoretisk mekanik 1 - Klassisk mekanik. Springer, 10. udgave, 2013.
   • Norbert Straumann: Teoretisk mekanik. Springer, 2. udgave, 2015.
4. ↑ Böge, Böge: Teknisk mekanik. Springer, 31. udgave, 2015, s.4.
5. ↑ Spura: Tekniske Mechanics 1 - Stereostatics. Springer, 2016, s.43.
6. ↑ Böge: Håndbog i maskinteknik. Springer, 21. udgave, 2013, s. C2.
7. ↑ Mahnken: Lærebog tekniske mekanik - statik. Springer, 2012, s.98.
8. ↑ Elektronisk søgeordssøgning i:
   • Dankert, Dankert: Teknisk mekanik. Springer, 7. udgave, 2013.
   • Wittenburg et al. (Hrsg.): Ingeniørviden - teknisk mekanik. Springer, 2014.
   • Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, 11. udgave, 2011.
   • Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Engineering Mechanics 1 - Basics and Statics. Springer, 3. udgave, 2015.
   • Spura: Teknisk mekanik 1 - Stereostatik. Springer, 2016.
   • Richard, Sander: Teknisk mekanik - statik. Springer, 5. udgave, 2016.
   • Dreyer: Teknisk mekanik - Kinetik, kinematik. Springer, 11. udgave, 2012.
9. ↑ Böge, Böge: Teknisk mekanik. Springer, 31. udgave, 2015, s. 4.
   Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. udgave, 2013, s. 20, 23.
10. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, 11. udgave, 2011, s. 51, 54.
    Mahnken: Lærebog i teknisk mekanik - statik. Springer, 2012, s. 98, 103.
    Spura: Technical Mechanics 1 - Stereostatics. Springer, 2016, s. 43, 46.
11. ↑ Dieter Meschede (red.): Gerthsen Physik. Springer, 25. udgave, 2015, s.
    72. Bartelmann, Feuerbacher, Krüger, Lüst, Rebhan, Wipf (red.): Teoretisk fysik. Springer, 2015, s. 28.
    Achim Feldmeier: Teoretisk mekanik - analyse af bevægelse. 2013, s. 83.
    Torsten Fließbach: Mekanik - Lærebog om teoretisk fysik I. Springer, 7. udgave, 2015, s. 18.
12. ↑ Wittenburg et al. (Red.): Ingeniørviden - teknisk mekanik. Springer, 2014, s.13.
13. ↑ Mahnken: Lærebog tekniske mekanik - statik. Springer, 2012, s.145.
14. ↑ Sayir, dobbelt, forretningsmand, Mazza: Engineering Mechanics 1 - Fundamentals og statik. Springer, 3. udgave, 2015.
15. ↑ Böge (red.): Manual for maskinteknik. Springer, 21. udgave, 2013, s. C2.
16. ↑ Dieter Meschede (red.): Gerthsen Physik. Springer, 25. udgave, 2015, s. 73 f.
17. ^ Achim Feldmeier: Teoretisk mekanik - analyse af bevægelse. 2013, s. 238-240.
18. ^ Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technical Mechanics 1 - Statics. Springer, 11. udgave, 2011, s.73.
19. ↑ drejningsmoment. I: Leksikon for fysik. Hentet 28. oktober 2016 . 
20. ↑ ^{a b} "Selvom drejningsmoment har samme dimension som energi (SI -enhed joule), bruges joulen aldrig til at udtrykke drejningsmoment." The International System of Units (SI) 9. udgave, 2019, kap. 2.3.4, side 140
21. ↑ Det internationale enhedssystem (SI) . Tysk oversættelse af BIPM -brochuren "Le Système international d'unités / The International System of Units (8e édition, 2006)". I: PTB-Mitteilungen . tape 117 , nej. 2 , 2007, s. 21 ( Online [PDF; 1.4 MB ]). 
22. ↑ Böge: Teknisk mekanik. Springer, 31. udgave, s.46.
23. ↑ Dankert, Dankert: Teknisk mekanik. Springer, 7. udgave, 2013, s.24.
24. ↑ Mahnken, s. 24.
25. ↑ Böge (red.): Manual for maskinteknik. Springer, 21. udgave, 2013, s. C3.
26. ↑ Dankert, Dankert: Teknisk mekanik. Springer, 7. udgave, 2013, s. 571.
27. ↑ ^{a b} Gross et al: Teknisk mekanik 3. Kinetik. Springer, 13. udgave, 2014, s.61.
28. ^ Conrad Eller: Holzmann / Meyer / Schumpich. Teknisk mekanik. Kinematik og kinetik. Springer, 12. udgave, 2016, s. 127.
29. ^ De målte værdier er tidsmæssige middelværdier over en fuld arbejdscyklus, dvs. over en omdrejning af krumtapakslen i en totaktsmotor , over to omdrejninger i en firetaktsmotor .