Descartes 'sætning

I geometri , Descartes 'Sætning ( Descartes' Fire Circles Sætning ), opkaldt efter René Descartes , beskriver en relation mellem fire cirkler , der berører hver anden . Sætningen kan bruges til at finde for tre givne cirkler, der rører hinanden, en fjerde, der rører ved de andre tre. Det er et specielt tilfælde af Apollonian-problemet .

historie

Geometriske problemer relateret til cirkler, der berører hinanden, blev overvejet for mere end 2000 år siden. I det antikke Grækenland fra det 3. århundrede f.Kr. Apollonios von Perge viet en hel bog til dette emne. Desværre har dette arbejde med titlen On Touch ikke overlevet.

René Descartes nævnte kortvarigt problemet (i overensstemmelse med datidens skikke) i 1643 i et brev til prinsesse Elisabeth af Bøhmen . Han kom i det væsentlige til løsningen beskrevet i ligning (1) nedenfor, selvom hans bevis var forkert. Derfor er sætningen med fire cirkler opkaldt efter Descartes i dag.

Udtrykket blev genopdaget flere gange uafhængigt, herunder i særligt tilfælde i japanske tempelproblemer , af Jakob Steiner (1826), af den britiske amatørmatematiker Philip Beecroft (1842) og af Frederick Soddy (1936). Soddy-cirklerne henvises undertiden til , måske fordi Soddy offentliggjorde sin version af sætningen i form af et digt med titlen The Kiss Precise , som blev offentliggjort i Nature (20. juni 1936). Soddy generaliserede også Descartes 'sætning til en sætning om sfærer i det 3-dimensionelle rum og Thorold Gosset til n-dimensionerne.

Allan Wilks og Colin Mallows fra Bell Laboratories opdagede i slutningen af ​​1990'erne, at en kompleks version af Descartes 'sætning også definerer placeringen af ​​cirklerne.

Hvis du fortsætter konstruktionen, får du en fraktalstruktur med mindre og mindre rørende cirkler. Mens de første fire krumninger er forbundet med en kvadratisk ligning ifølge Descartes 'sætning, gælder en lineær ligning for de følgende cirkler. Hvis du starter med fire heltalskurver, har de følgende kurver i cirklerne i konstruktionen også heltalsværdier. De antal-teoretiske aspekter af problemet blev især fulgt op af Wilks, Jeffrey Lagarias , Ronald Graham , Peter Sarnak , Alex Kontorovich og Hee Oh .

Definition af den underskrevne krumning

Descartes 'sætning udtrykkes lettest ved udtrykket krumning . Den underskrevne krumning af en cirkel er defineret af , hvor r angiver radius. Den større cirklen, jo mindre mængden af sin krumning og omvendt. ${\ displaystyle k = \ pm 1 / r}$

Minustilmeldingen er for et amt, de andre tre kredsløb inklusive berøringer. Ellers skal plustegnet bruges. ${\ displaystyle k = \ pm 1 / r}$

Hvis en lige linje ses som en degenereret cirkel med krumning , kan Descartes 'sætning også anvendes, når der gives en lige linje og to cirkler, der berører hinanden, og der søges en tredje cirkel, der berører den lige linje og de givne cirkler. ${\ displaystyle k = 0}$

Descartes 'sætning

I betragtning af fire cirkler rører hinanden med radier , , og . Hvis man definerer den signerede krumning (for ) for hver af disse cirkler som ovenfor , er følgende ligning opfyldt: ${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {3}}$${\ displaystyle r_ {4}}$${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, 4}$

${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + k_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2})}$

Løsning af denne ligning gør det muligt at bestemme radius for den fjerde cirkel: ${\ displaystyle k_ {4}}$

${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2} + k_ {2} k_ {3} + k_ {3 } k_ {1}}}.}$

Plus-minus symbolet udtrykker, at der generelt er to løsninger .

eksempel

Der er tre cirkler med radier , og . Følgelig har den underskrevne krumning værdierne , og . De to løsninger og er resultatet af ligning (2) . Den lille cirkel (rød) mellem de givne cirkler har derfor radius . Den store cirkel (også rød), der omslutter de givne cirkler, har radius . ${\ displaystyle r_ {1} = 1/2}$${\ displaystyle r_ {2} = 1/6}$${\ displaystyle r_ {3} = 1/3}$${\ displaystyle k_ {1} = 2}$${\ displaystyle k_ {2} = 6}$${\ displaystyle k_ {3} = 3}$${\ displaystyle k_ {4} = 23}$${\ displaystyle {k_ {4}} '= - 1}$${\ displaystyle r_ {4} = 1/23}$${\ displaystyle {r_ {4}} '= 1}$

Særlige tilfælde

Hvis f.eks. Den tredje af de tre givne cirkler erstattes af en lige linje, er dette lig med 0 og falder ud af ligning (1). Ligning (2) bliver meget enklere i dette tilfælde: ${\ displaystyle k_ {3}}$

${\ displaystyle k_ {4} = k_ {1} + k_ {2} \ pm 2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2}}}.}$

eksempel

Givet to cirkler med radier og samt en lige linje, der forstås som en cirkel med en uendelig radius. De tilsvarende underskrevne krumningsværdier er , og . Ved hjælp af ligning (3) opnår man igen to mulige værdier, nemlig og . For radierne af de to cirkler tegnet med rødt er resultatet henholdsvis . ${\ displaystyle r_ {1} = 1/4}$${\ displaystyle r_ {2} = 1/9}$${\ displaystyle k_ {1} = 4}$${\ displaystyle k_ {2} = 9}$${\ displaystyle k_ {3} = 0}$${\ displaystyle k_ {4} = 25}$${\ displaystyle {k_ {4}} '= 1}$${\ displaystyle r_ {4} = 1/25}$${\ displaystyle {r_ {4}} '= 1}$

Descartes 'sætning kan ikke anvendes, hvis to eller endda alle tre givne cirkler erstattes af lige linjer. Sætningen gælder heller ikke, hvis der er mere end en omfattende berøringscirkel, dvs. i tilfælde af tre cirkler, der ligger den ene inden i den anden med et fælles kontaktpunkt.

Kompleks sætning af Descartes

For fuldt ud at bestemme en cirkel, ikke kun dens radius (eller krumning), skal man også kende dens centrum. Den nemmeste måde at udtrykke ligningen for dette på er at fortolke koordinaterne for midtpunktet ( x ,  y ) som et komplekst tal . Ligningen for ligner meget Descartes 'sætning og kaldes derfor Descartes Complex Theorem . ${\ displaystyle z = x + iy}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$

Der er fire cirkler med centrene og de underskrevne krumninger (se ovenfor), der berører hinanden. Så gælder forholdet ud over (1) ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}, z_ {4}}$${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, k_ {4}}$

${\ displaystyle (k_ {1} z_ {1} + k_ {2} z_ {2} + k_ {3} z_ {3} + k_ {4} z_ {4}) ^ {2} = 2 \, (k_ {1} ^ {2} z_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} z_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} z_ {3} ^ {2} + k_ {4} ^ {2} z_ {4} ^ {2}).}$

Udskiftningen resulterer i: ${\ displaystyle q_ {i} = k_ {i} \ cdot z_ {i}}$

${\ displaystyle (q_ {1} + q_ {2} + q_ {3} + q_ {4}) ^ {2} = 2 \, (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3} ^ {2} + q_ {4} ^ {2})}$

Denne ligning er analog med og har løsningen: ${\ displaystyle (1)}$

${\ displaystyle q_ {4} = q_ {1} + q_ {2} + q_ {3} \ pm 2 {\ sqrt {q_ {1} q_ {2} + q_ {2} q_ {3} + q_ {3 } q_ {1}}}.}$

Også her er der generelt to løsninger.

Hvis man har bestemt ud fra ligning (2), opnår man igennem${\ displaystyle k_ {4}}$${\ displaystyle z_ {4}}$${\ displaystyle z_ {4} = q_ {4} / k_ {4}}$

forskellige

De primitive heltalsløsninger af de fire radier er nøjagtigt de diagonale produkter og linjeprodukter af de to toparametriske repræsentationer af de primitive Pythagoras-tredobler , fx den primitive Pythagoras-tredobling med parameterrepræsentationer (skrevet som kolonner) og de diagonale produkter og linjeprodukter , der kaldes Radii, fortolket, tilfredsstiller Descartes 'sætning.${\ displaystyle (5,12,13)}$${\ displaystyle (2,3) ^ {T}}$${\ displaystyle (1 = 3-2,5 = 3 + 2) ^ {T}}$${\ displaystyle 3.10}$${\ displaystyle 2.15}$

Weblinks

• Interaktiv applet (fire cirkler, der rører hinanden)
• Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
• Dana Mackenzie En tisket, en tasket, en apollonisk kurv , American Scientist, bind 98, 2010, s. 10-14 (modtog Chauvenet-prisen i 2015).

Individuelle beviser

1. ↑ Dana Mackenzie, A tisket, a tasket, pakning af Apollonian, American Scientist, bind 98, 2010, s. 10-14
2. ↑ David Gisch, Jason Ribando Apollonios Problem: en undersøgelse af løsninger og deres forbindelser , American Journal of Undergraduate Research, bind 3, 2004, nr. 1, PDF
3. ↑ https://arxiv.org/pdf/0809.4324.pdf
4. ↑ https://arxiv.org/pdf/math/0701624.pdf