Riemann Hypotese

Den Riemann Hypotese eller Hypotese er en af de mest betydelige uløste problemer i matematik . Det blev først formuleret i 1859 af Bernhard Riemann i hans arbejde om antallet af primtal under en given mængde . Efter at David Hilbert satte det på sin liste over århundredets 23 vigtige problemer i 1900 , blev det inkluderet på listen over de syv årtusindeproblemer i matematik af Clay Mathematics Institute i 2000 . Instituttet i Cambridge (Massachusetts) har tildelt præmiepenge på en million amerikanske dollars for en afgørende løsning på problemet i form af et matematisk bevis .

Simpelthen siger Riemann -hypotesen, at sekvensen af primtal 2, 3, 5, 7, 11 ... opfører sig "så tilfældigt som muligt". Dette skal f.eks. Udtrykkes ved, at hændelsesforløbet, hvor et tal har et lige antal primfaktorer , såsom eller har et ulige antal primfaktorer, f.eks. , Har en adfærd på lang sigt, der er også ofte gentagne kast med hovedet og nummer måtte have. En teori, der løser Riemann -hypotesen og dermed ville give en dybere forklaring på denne tilfældighed blandt primtal, kunne derfor fra matematikernes synspunkt resultere i en grundlæggende ny forståelse af tal generelt. ${\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3}$${\ displaystyle 66 = 2 \ gange 3 \ gange 11}$

Hvis dette er oversat til det tekniske sprog analytisk talteori , Riemann Hypotese svarer til udsagnet om, at alle komplekse nulpunkter for den Riemann zeta-funktionen i den såkaldte kritiske strimmel har den reelle del ¹ / ₂ . Det er allerede kendt og bevist, at zeta-funktionen har rigtige nuller (de såkaldte "trivielle" nuller) og et uendeligt antal ikke-reelle nuller med den reelle del ¹ ⁄ ₂ . Riemann -hypotesen siger, at der ikke er flere nuller, dvs. Det betyder, at alle nontrivielle nuller i zeta -funktionen ligger på en lige linje i talplanet parallelt med den imaginære akse. ${\ displaystyle -2, -4, -6, \ dotsc}$

Riemann -hypotesen er meget vigtig for moderne matematik. Meget vigtigt bevis for en række hidtil uløste problemer, især inden for talteori, kan udledes af det. Det drejer sig om problemer fra grundforskning , f.eks. Problemer med primtalnummerfordelingen i sammenhæng med primtalssætningen eller den åbne Goldbach -formodning samt anvendt matematik, såsom hurtige primalitetstests . Samtidig anses det også for ekstremt svært at bevise. En grund til dette er, at fra eksperternes perspektiv har menneskeheden endnu ikke de nødvendige matematiske værktøjer til overhovedet at kunne angribe dem. Tidligere forsøg på bevis af fremtrædende matematikere mislykkedes alle.

Omfattende brug af computere gjorde det muligt at verificere Riemann -hypotesen for de første 10 billioner nuller af zeta -funktionen. Men da der er påviseligt et uendeligt antal ikke-reelle nulpunkter med den reelle del ¹ / ₂ , det kunne kun gendrives på denne måde ved at give en udtrykkelig modeksempel, men ikke bevist. Et modeksempel ville være et ikke-reelt nul i den kritiske strimmel med en reel del ikke lig med ¹ ⁄ ₂ .

introduktion

Primtal

I midten af talteorien er den gren af ​​matematik, der omhandler egenskaberne af de naturlige tal 1, 2, 3, 4 ..., primtalene 2, 3, 5, 7, 11 .... Disse kendetegnes ved egenskaben at have nøjagtigt to faktorer , nemlig 1 og sig selv. 1 er ikke et primtal. Euclid var allerede i stand til at vise, at der er et uendeligt antal primtal, hvorfor listen 2, 3, 5, 7, 11 ... aldrig vil ende. Dets resultat kaldes Euklides sætning.

Primtalene er så at sige atomerne i hele tallene, da hvert positivt heltal entydigt kan multipliceres til sådanne. For eksempel 21 = 3 · 7 og 110 = 2 · 5 · 11. På trods af denne elementære egenskab kendes der efter flere årtusinder af matematikhistorie ikke noget enkelt mønster, som primtalene er underlagt i deres rækkefølge. Deres natur er et af de mest betydningsfulde åbne spørgsmål i matematik.

Sætning af primtal

Selvom den detaljerede forståelse af rækkefølgen 2, 3, 5, 7, 11 ... af primtalene anses for utilgængelig, kan du søge efter mønstre, hvis du udvider dit syn. For eksempel kan tanken om, at ved hjælp af statistiske metoder adfærd hos et stort antal mennesker (f.eks. Hvad angår forbrug og stemmeadfærd) ofte beskrives med overraskende præcision, selvom en individuel person er ekstremt kompleks. Groft sagt har dette at gøre med, at stigende mængder relevante data giver mere og mere pålidelig information . I tilfælde af primtal fører en sådan udvidelse blandt andet til spørgsmålet om, hvor mange primtal der er under et fast tal.

For eksempel er kun 4 primtal, nemlig 2, 3, 5 og 7, mindre end tallet 10. I tilfælde af 50 er der allerede 15 mindre primtal, nemlig

${\ displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.}$

Et spørgsmål om talteori er, om der er et universelt og simpelt princip om i det mindste at estimere, hvor mange primtal der er under en given grænse. Sådanne blev først anerkendt i årene 1792/93 af den dengang 15-årige Carl Friedrich Gauß , efter at han havde studeret logaritmer . Gauss antog, at antallet af alle primtal fra 2 til et stort tal x svarer omtrent til området mellem x -aksen og funktionen i intervallet fra 2 til x . Hvor er den naturlige logaritme . Så tilnærmelsen gælder ${\ displaystyle t \ mapsto {\ tfrac {1} {\ log (t)}}}$${\ displaystyle \ log (t)}$

Antal primtal op til x ${\ displaystyle \ approx \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ mathrm {d} t.}$

Den integral på højre kan ikke beregnes elementær lukket, fordi den kehrwertige logaritme ingen elementære primitiv har. Det definerer således en "uafhængig" funktion, som også er kendt som den integrerede logaritme . Gauss fremlagde ikke noget matematisk bevis på sin formodning, og det tog mere end 100 år, før en - uafhængigt af Jacques Hadamard og Charles -Jean de La Vallée Poussin - blev produceret i 1895. Bevis betyder ikke , at alle tænkelige værdier er blevet forsøgt, hvilket er umuligt med et uendeligt antal tal, men at et logisk argument baseret på de matematiske aksiomer beviser fakta i fuldstændig generalitet. Den viste sætning kaldes stadig primtal teorem i dag .

Den tilnærmelse, der er angivet i primtalssætningen, leverer ganske gode værdier. For eksempel er der under tallet 73.893 præcis 7293 primtal, og det holder

${\ displaystyle \ int _ {2} ^ {73 \, 893} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ mathrm {d} t \ approx 7331 {,} 35.}$

Primtaleteksten fanger gennemsnitsadfærden for primtalintervallerne. En fortolkning af hans udsagn er, at et tilfældigt tal mellem 2 og et meget stort n er et primtal med en omtrentlig sandsynlighed . Det giver imidlertid ingen detaljerede oplysninger om primtalsekvensen. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ log (n)}}}$

Riemanns ideer

Originalværk fra 1859

I 1859 , som tak for hans optagelse på Berlin Academy of Sciences , skrev Bernhard Riemann et 9-siders dokument, som senere lagde grundlaget for moderne analytisk talteori . Hans arbejde havde til formål at bevise Gauss 'formodning om primtaletningen og at uddybe den. Men da essayet var ekstremt skitseret og talrige udsagn i det ikke var strengt bevist, var der stadig et stykke tid, før matematikere accepterede påstandene der blev fremsat der. Den dag i dag betragtes alle Riemanns udsagn i sit arbejde, med undtagelse af Riemann -hypotesen formuleret der i en underordnet klausul, som bevist.

Riemann zeta -funktionen

Et muligt værktøj til at bevise denne formel er Riemann zeta -funktionen . Det udnytter det faktum, at det udtrykker loven om den utvetydige primfaktorisering i analysesproget . Så egenskaberne for primtalene gemmes skjult i denne funktion. De afgørende træk, der gør det muligt at drage konklusioner om primtalene, er nuller i zeta -funktionen, dvs. alle punkter, hvor den tager værdien 0. Disse genererer et korrektionsterm for ovenstående formel, som konverterer dem til et eksakt udtryk. Den resulterende nøjagtige formel kender fordelingen af ​​primtalene ned til sidste detalje. Dette betyder dog ikke, at spørgsmålene om primtalene er løst: beregningsindsatsen stiger kraftigt med stigende værdier, og praktiske beregninger ved hjælp af denne formel er derfor ikke effektive. Derimod er moderne primitetstest bedre egnet til numerisk forskning . Den nøjagtige formel er imidlertid af teoretisk interesse: den indeholder fejlmargen mellem den enkle forudsigelse og den faktiske primtalfordeling. Det antages, at denne fejl (inden for alle muligheder) er den mindst mulige. Inden for den nøjagtige formel, som skal angive antallet af primtal under tallet , lægges også termer sammen, med nullerne. Hvis den reelle del af nu er større, øger dette også størrelsen på, hvilket ville betyde, at afstanden mellem estimatet af primtaleteksten og den faktiske fordeling også ville være større. Det kan vises, at den virkelige del er uendeligt mange værdier af lige store , hvorfor fejlen helt sikkert vil have en minimum størrelsesorden på . Riemann -hypotesen siger nu, at der ikke er flere nuller, der opfører sig anderledes end de tidligere kendte i den kritiske strimmel. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {\ rho}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle x ^ {\ rho},}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon}}$

Afkodningen af ​​fejlen er ikke relevant for tallene . Ren matematik stræber snarere efter at finde ud af den tidligere skjulte årsag til, at fejlen (hvis relevant) er så lille som muligt. Matematikere håber, at den formelle begrundelse for denne regelmæssighed vil give en grundlæggende indsigt i talernes art.

Riemann zeta -funktionen

Riemann zeta-funktionen er en kompleksværdsfunktion, der fungerer for et komplekst tal med en reel del divideret med den uendelige sum ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (r)> 1}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s }}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ dotsb}$

er defineret.

En af de vigtigste egenskaber ved Riemann zeta -funktionen er dens forbindelse med primtalene . Det etablerer et forhold mellem kompleks analyse og talteori (se analytisk talteori ) og danner udgangspunkt for Riemann -hypotesen. Det følgende udtryk, der går tilbage til Leonhard Euler (1748), repræsenterer forbindelsen i en formel som

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p \ {\ text {prim}} } {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}}}} = {\ frac {1} {\ venstre (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s }}} \ højre) \ venstre (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ højre) \ venstre (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ højre) \ dotsm}},}$

hvor repræsenterer et uendeligt produkt over alle primtal . Udtrykket følger direkte af sætningen om unikt ved nedbrydning af primtal og summeringsformel for de geometriske serier . ${\ displaystyle \ Pi _ {p}}$ ${\ displaystyle p}$

Funktionen kan  klart analytisk fortsættes ud over det originale konvergensinterval af Eulers sum eller produktformel til hele det komplekse niveau - med undtagelse af . Der opnås en meromorf funktion${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ left ({\ frac {1} {s -1}} - {\ frac {1} {2s}} + \ sum \ limit _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} {\ frac {1} {s + n-1}} + \ int \ limit _ { 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s -1}} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x \ right),}$

hvor er den gammafunktionen og de Bernoullital . På det tidspunkt har den en simpel stang . De andre singulariteter i denne repræsentation kan alle fjernes, fordi hele funktionen har et simpelt nul på hver af disse positioner . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ displaystyle s = 1}$ ${\ displaystyle 1 / \ Gamma}$${\ displaystyle 0, -1, -2, -3, \ dotsc}$

formulering

I det følgende betragtes Riemann zeta -funktionen i en analytisk fortsættelse. I denne form har zeta-funktionen såkaldte "trivielle nuller", som er resultatet af sæt af poler i gammafunktionen, reduceret med sæt af poler for udtrykket i parentes ved annullering. Det er mængden af ​​negative lige tal${\ displaystyle s = -2, -4, -6, \ dotsc}$

Et centralt fund af Riemann i hans berømte værk fra 1859 var konstateringen af, at alle mulige ikke-private nuller er i den såkaldte kritiske strimmel

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid 0 \ leq \ operatorname {Re} (s) \ leq 1 \}}$

skal være placeret.

Den berømte - og den dag i dag hverken modbevist eller bevist - formodning af Bernhard Riemann siger, at alle ikke -trivielle nuller er på den midterste lige linje

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid \ mathrm {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}} \}}$

ligge.

Riemann kom med sin formodning, mens han undersøgte produktet af zeta -funktionen med gammafunktionen

${\ displaystyle \ xi (s) = \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \; \ Gamma \ venstre ({\ frac {s} {2}} \ højre) \ zeta (s) }$,

hvilket er uændret, når det byttes med , det vil sige, det opfylder den funktionelle ligning : ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle (1-s)}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (1-s).}$

Riemann selv brugte og modtog således for alle : ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} - \ mathrm {i} t)}$

Den lige linje i det komplekse talplan med den reelle del 1/2 er derfor også invariant i denne refleksion. Riemann skriver selv om nullerne:

Med "rigtige rødder" mente Riemann, at ligningen for en i den kritiske strimmel var ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ mathrm {i} t) = 0}$

kun for virkeligheden , det vil sige at blive løst. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

Fra positionen af ​​nulpunkterne i zeta -funktionen, uafhængigt af Riemann -hypotesen, kan der fremsættes vigtige udsagn om primtalnummerfordelingen; for eksempel er primtaletallet ækvivalent med udsagnet om, at zeta -funktionen ikke har nuller på lige linje , og enhver udvidelse af de nulfrie regioner i den kritiske stribe i fører til en forbedring af fejlbetegnelsen i primtalesætningen op til Riemann-formodningen.${\ displaystyle s = 1}$

Sandsynlighedsteoretisk opfattelse

Riemann -hypotesen kan fortolkes sandsynligt. Dette går tilbage til matematikeren Arnaud Denjoy .

Sammenligningen foretages ved at overveje et rimeligt møntkast. En fair mønt med de mulige resultater "hoveder" og "haler" kastes flere gange i træk. I den ideelle situation er resultatet af hvert kast absolut tilfældigt, og desuden er resultaterne af kastene ikke afhængige af hinanden. Så hvis hoveder blev kastet først, burde dette være uden betydning for, om hoveder eller haler følger med.

Forudsat absolut tilfældighed med de samme sandsynligheder og også uafhængighed af de enkelte kast, kan et bestemt mønster observeres, når et møntkast gentages ofte. Dette illustreres bedst, når hændelserne "hoveder" og "haler" erstattes af kvantificerede værdier som eller og summen af ​​alle mellemliggende resultater dannes efter hver række kast. Dette svarer så nøjagtigt til forskellen mellem kastede hoveder og tal. For eksempel med et kast på seks hoveder og elleve haler ville dette være et eksempel . Med et meget hyppigt antal kast, cirka 100 millioner, er det rimeligt at antage, at omkring 50 millioner gange eller blev kastet, da begge resultater har nøjagtig samme sandsynlighed. Den mulige konsekvens af dette ville være, at summen af ​​alle kast "udligner omtrent til værdien nul", da det blev antaget, at værdien blev tilføjet omtrent lige så ofte som . På den anden side er det yderst usandsynligt, at selv i disse størrelsesordener vil der forekomme et resultat som (50.000.000, 50.000.000) med en forskel på 0 eller (49 999 999, 50.000 001) med en forskel på -2. Det er mere sandsynligt, at tilfældighed vil forårsage "outliers" til fordel for eller en bestemt "outlier". Størrelsen på denne "outlier" er genstand for den centrale grænsesætning : Hvis den tilfældige variabel angiver værdien af ​​det kuld, er forskellen i kast givet ved ${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 6-11 = -5}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D_ {N}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle D_ {N}: = \ sum _ {n = 1} ^ {N} X_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} + \ cdots + X_ {N-1} + X_ {N}.}$

Den centrale grænsesætning siger blandt andet, at den absolutte værdi med meget stor sandsynlighed i et interval med tal forbliver. Hvor er den kvadratroden af . Sandsynligheden nærmer sig i stigende grad en værdi, der er afhængig af variablerne, og som naturligt stræber efter og imod 1 (= 100%). Den øvre forskels "outlier" er derfor af størrelsesordenen ; følgelig skal en afvigelse i størrelsesordenen tages i betragtning ved valg . ${\ displaystyle | D_ {N} |}$ ${\ displaystyle [\ varepsilon {\ sqrt {N}}, M {\ sqrt {N}}]}$${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll M <\ infty}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle 0 <p (\ varepsilon, M) <1}$${\ displaystyle \ varepsilon \ til 0}$${\ displaystyle M \ to \ infty}$${\ displaystyle D_ {N}}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle N = 100000000}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {100000000}} = \ pm 10000}$

Den centrale grænsesætning identificerer kompromisets størrelse mellem den meget usandsynlige begivenhed, at hoveder kastes lige så ofte som haler ( ) eller i den anden ekstreme, at hoveder kastes som haler utroligt oftere eller omvendt ( eller ), som . I det første tilfælde kan uafhængighed krænkes, for eksempel hvis et hoved altid skal følges af haler og omvendt. Så ville kun det første tilfældige kast være afgørende, og rækkefølgen af ​​kast ville resultere med de første kasthoveder , som på lang sigt også ville have størrelsesordenen 0. I det andet ekstreme tilfælde kan betingelsen for den samme sandsynlighed blive krænket, for eksempel er der en uretfærdig mønt, der i sandhed er, for eksempel hoveder med en sandsynlighed . I dette tilfælde ville det være , hvilket er i størrelsesordenen, men på lang sigt betydeligt højere . Fra dette synspunkt kan "tilfældigheden" af en hændelsesrekke "måles" ved hyppig gentagelse og om nødvendigt ved hjælp af en hypotesetest , for eksempel i de øvre ekstreme tilfælde, statistisk forfalskes. ${\ displaystyle D_ {N} \ ca. 0}$${\ displaystyle D_ {N} \ approx N}$${\ displaystyle D_ {N} \ approx -N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle 1, -1.1, -1.1, -1.1, ...}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle D_ {N} \ approx {\ tfrac {3} {4}} N - {\ tfrac {1} {4}} N = {\ tfrac {1} {2}} N}$${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Riemann -hypotesen siger, at primtal opfører sig "så tilfældigt som muligt" og "så uafhængigt som muligt" med hensyn til deres egenskaber (såsom distribution, primfaktorisering ...). For eksempel bør spørgsmålet om, hvorvidt et tilfældigt valgt tal kan opdeles i et lige eller et ulige antal primfaktorer, besvares med "lige sandsynlighed" for at øge størrelsen . Betegner den Liouville funktion , der antager værdien 1 i det tilfælde, at den har et lige antal primfaktorer, og -1 ellers Riemann hypotese (i betydningen af den centrale grænseværdisætning) svarer til ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {\ lambda (1) + \ lambda (2) + \ cdots + \ lambda (N)} {N ^ {{\ frac {1} {2 }} + \ varepsilon}}} = 0}$

for enhver . Effektnotationen skal observeres. Tallet svarer til antagelsen om, at alle ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen har denne reelle del . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N ^ {\ frac {1} {2}} = {\ sqrt {N}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Hvis derimod Riemann -hypotesen var forkert, ville der være en ubalance i primtalfordelingen i den forstand, at der for eksempel ville være et unaturligt højt antal tal med et lige antal primfaktorer, som f.eks. 10, 14, 25, 132, som tal med et ulige antal primfaktorer, som 7, 8, 12, 18 og 125.

betyder

De utrivelige nuller og primtal

En væsentlig opdagelse foretaget af Riemann var forbindelsen mellem primtal og nuller i hans zeta -funktion. I sit arbejde var han optaget af at finde et analytisk udtryk for primtalsfunktionen . Som udgangspunkt brugte han formlen ${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}},}$

hvilket grundlæggende understøtter forholdet mellem primtal og zeta -funktionen. Dette kan konverteres til følgende udtryk ved at tage logaritmen og bruge passende kraftserier :

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }}$

Om integralet

${\ displaystyle p ^ {- ns} = s \ int \ limit _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ mathrm {d} x}$

Riemann var i stand til at bringe udtrykket i en lukket form. Til dette førte han den talteoretiske funktion med ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$ ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ sum _ {p ^ {n} <x} {\ frac {1} {n}} = \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Theta (xp ^ {n})} {n}}}$

en, hvor de Heaviside function symboliserer. Dette tilføjer brøkdelen for hver primærkraft, der er mindre end . Et enkelt eksempel ville være ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1 / n}$

${\ displaystyle \ Pi (20) = \ underbrace {\ left (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ til højre)} _ {2 ^ {1}, 2 ^ {2}, 2 ^ {3}, 2 ^ {4} <20} + \ underbrace {\ venstre (1 + {\ frac {1} {2}} \ højre)} _ {3 ^ {1}, 3 ^ {2} <20} + \ underbrace {(1)} _ {5 ^ {1} <20} + \ underbrace {(1)} _ {7 ^ {1} <20} + \ underbrace {(1)} _ {11 ^ {1} <20} + \ underbrace {(1)} _ {13 ^ {1} <20} + \ underbrace {(1)} _ {17 ^ {1} <20} + \ underbrace {(1)} _ {19 ^ {1} <20} = {\ frac {115} {12}}}$

Derudover er det en trinfunktion . Så et rent integreret udtryk for er: ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} } = s \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ int \ limit _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ mathrm {d} x = s \ int \ limit _ {0} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ Pi (x) \ mathrm { d} x.}$

Riemann var en mester i Fourier -analyse, og med den næste transformation opnåede han en milepæl i analytisk talteori. Ved hjælp af en omvendt Mellin -transformation udledte han et analytisk udtryk for : ${\ displaystyle \ Pi (x)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limit _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (s )} {s}} x ^ {s} \ mathrm {d} s}$

med en . I de næste trin i sit arbejde henviste Riemann til produktrepræsentationen af Riemann -funktionen opkaldt efter ham , som er defineret af: ${\ displaystyle c> 1}$${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma \ venstre ({\ frac {s} {2}} \ højre) \ zeta (s)}$

Denne produktrepræsentation løber over alle ikke-trivielle nuller i zeta-funktionen og har form af et polynom faktoriseret til uendeligt (svarende til sinorens eller cosinusfaktorering ): ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (0) \ prod _ {\ rho} \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) = {\ frac {1} {2} } \ prod _ {\ rho} \ venstre (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ højre)}$

Heraf opnår man et bogstaveligt talt andet udtryk for : ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {\ rho} \ log \ left (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ right) - \ log 2- \ log \ Gamma \ left (1 + {\ frac {s} {2}} \ right) + {\ frac {s} {2}} \ log \ pi - \ log (s -1)}$

Den sidste del af Riemanns arbejde omhandler kun substitutionen af ​​dette andet udtryk i ligningen ${\ displaystyle \ log \ zeta (s)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limit _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (s )} {s}} x ^ {s} \ mathrm {d} s.}$

På trods af vanskelig evaluering kom Riemann til resultatet

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ mathrm {Li} (x) - \ sum _ {\ rho} \ mathrm {Li} (x ^ {\ rho}) - \ log 2+ \ int \ limits _ {x } ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t (t ^ {2} -1) \ log t}},}$

hvor er den integrerede logaritme . Med forbindelsen mellem og , udledt af Möbius -inversionen (med Möbius -funktionen ) , nemlig ${\ displaystyle \ operatorname {Li} x = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ log t}}}$ ${\ displaystyle \ mu (n)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ Pi (x)}$

${\ displaystyle {\ pi (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ Pi (x ^ {1 / n}) = \ Pi (x) - {\ frac {1} {2}} \ Pi (x ^ {1/2}) - {\ frac {1} {3}} \ Pi (x ^ {1/3}) - { \ frac {1} {5}} \ Pi (x ^ {1/5}) + {\ frac {1} {6}} \ Pi (x ^ {1/6}) - \ dotsb},}$

der blev oprettet en dyb forbindelse mellem primtal og nuller i zeta -funktionen.

Bemærk: I en numerisk beregning af med Riemanns formel skal udtrykket i summen erstattes af, hvor den (komplekse) integrale eksponentielle funktion betegner, da ved evaluering over hovedgrenen af ​​den komplekse logaritme ikke altid gælder og dermed resultatet ville blive forfalsket. ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ mathrm {Li} (x ^ {\ rho})}$${\ displaystyle \ mathrm {Ei} (\ rho \ log x)}$${\ displaystyle \ mathrm {egg} (x)}$${\ displaystyle x ^ {\ rho}}$${\ displaystyle \ log x ^ {\ rho} = \ rho \ log x}$

Konklusioner

Fra Riemann -hypotesen følger for eksempel et estimat af resten af ​​udtrykket i primtaletningen ( Helge von Koch 1901):

${\ displaystyle \ pi (x) = \ mathrm {Li} \, x + {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

Kochs resultat svarer til Riemann -hypotesen. Det kan også skrives som

${\ displaystyle | \ pi (x) - \ mathrm {Li} \, x | <K {\ sqrt {x}} \ cdot \ log x}$

for en konstant , og er en lidt svagere form${\ displaystyle K> 0}$

${\ displaystyle \ pi (x) = \ mathrm {Li} \, x + o (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon})}$

for enhver . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Mange andre resultater af analytisk talteori, men også dem for de hurtige primalitetstest, der er vigtige i kryptografi , kan indtil videre kun bevises eller udføres under forudsætning af Riemann -hypotesen. Som Michael Berry skrev, koder de komplekse nuller i zeta -funktionen for udsvingene omkring den grove asymptotisk logaritmiske fordeling af primtalene beskrevet af primtalssætningen. Hvis du kender den nøjagtige fordeling, kan du også komme med mere præcise udsagn om sandsynligheden for, hvor mange primtal der skal findes i et område.

Den egentlige årsag til, at mange matematikere har søgt så intenst efter en løsning, er - bortset fra at dette er den sidste endnu ubeviste erklæring i Riemanns berømte essay - at en ellers meget kaotisk funktion (e. B. Voronins universalitetsteorem : zeta funktion kan vilkårligt tilnærme enhver analytisk ikke-nul-funktion inden for en cirkel med radius 1/4) skjuler sandsynligvis toppen af ​​isbjerget på en fundamental teori, ligesom Fermat-formodningen skjuler parametriseringen af ​​elliptiske kurver skjult af modulfunktioner, en del af Langlands program .

historie

Riemann -hypotesen blev nævnt allerede i 1859 af Bernhard Riemann i et berømt papir, der lagde grundlaget for analytisk talteori . Derved skrev han "at selvom strenge beviser ville være ønskelige, havde han efter et par flygtige forsøg midlertidigt holdt op med at undersøge det, da det ville være overflødigt til det næste formål med hans undersøgelse." Som Carl Ludwig Siegel fandt ud af i 1930'erne ved undersøgelse af Riemanns gods. Udover det blev der ikke fundet noget i hans upublicerede skrifter. Matematikeren og matematikeren Harold Edwards formulerede nogle spekulationer om, hvordan Riemann kunne være kommet til hans formodning uden væsentlige numeriske beviser.

I 1903 offentliggjorde Jørgen Pedersen Gram numeriske omtrentlige værdier for de første 15 nuller i det kritiske område. De understøtter (men beviser ikke) Riemann -hypotesen, ligesom alle andre nuller, der blev fundet senere, og hvor antallet oversteg 100 millioner -mærket i begyndelsen af ​​1980'erne. I 2001 blev det vist ved hjælp af mainframes, at de første ti milliarder nuller af den komplekse zeta -funktion alle tilfredsstiller Riemann -hypotesen, dvs. dvs. de er alle på den lige linje med den virkelige del . ${\ displaystyle 1/2}$

En anden milepæl i den numeriske søgning var Zeta-Grid-projektet, der startede i august 2001. Ved hjælp af den distribuerede computermetode , hvor mange tusinde internetbrugere deltog, blev der fundet omkring 1 billion nuller efter tre år. Projektet er siden blevet afbrudt.

De to franske matematikere Gourdon og Demichel startede et nyt eksperiment med Odlyzko og Schönhages metode i 2004 og havde kontrolleret de første 10 billioner nuller i oktober 2004 uden at finde et modeksempel. Selvom alle beregninger er numeriske metoder, viser de præcist og ikke kun omtrentligt, at de undersøgte nuller er på den kritiske lige linje.

Mange berømte matematikere har prøvet Riemann -hypotesen. Jacques Hadamard hævdede i 1896 i sit arbejde Sur la fordeling des nuller de la fonction ζ (s) et ses konsekvenser arithmétiques hvori han beviste det Primtalssætningen , uden yderligere uddybning , at de derefter nyligt afdøde Stieltjes havde bevist Riemann Hypotese uden udgivelse beviset. I 1885 hævdede Stieltjes i en artikel i Compte Rendu fra Académie des sciences at have bevist et teorem om den asymptotiske opførsel af Mertens -funktionen, hvorfra Riemann -hypotesen følger (se nedenfor). Den berømte britiske matematiker Godfrey Harold Hardy plejede at sende et telegram, inden han krydsede Den Engelske Kanal i dårligt vejr, hvor han hævdede at have fundet beviser efter Fermats eksempel , der gik videre til eftertiden på margen af ​​en bog, som han havde for hans formodning er bevis, der desværre er for lang til at passe på kanten. Hans kollega John Edensor Littlewood i Cambridge som studerende i 1906 modtog endda Riemann -hypotesen som et funktionsteoretisk problem fra sin professor Ernest William Barnes , uden nogen forbindelse til primtalnummerfordelingen - Littlewood måtte selv opdage denne forbindelse og beviste i hans stipendiatafhandling om, at primtaletningen stammer fra hypotesen følger, men dette har længe været kendt på kontinentaleuropa. Som han indrømmede i sin bog A matematiker miscellany , kastede dette ikke et godt lys over matematikens tilstand i England dengang. Littlewood leverede hurtigt vigtige bidrag til analytisk talteori i forbindelse med Riemann -hypotesen. Problemet blev erklæret i 1900 af David Hilbert i sin liste over 23 matematiske problemer som århundredets problem , hvorved Hilbert selv klassificerede det som mindre vanskeligt end for eksempel Fermat -problemet: I et foredrag i 1919 udtrykte han håb om, at et bevis ville stadig blive indrømmet ville blive fundet i løbet af hans levetid, i tilfælde af Fermat -formodningen, måske i løbet af det yngste publikums levetid; Han fandt beviset på transcendens for at være det sværeste i hans problemliste - et problem, der blev løst i 1930'erne af Gelfond og Theodor Schneider . Mange af problemerne på Hilberts liste er nu blevet løst, men Riemann -formodningen modstod alle forsøg. Da der ikke blev fundet bevis for Riemann -hypotesen i det 20. århundrede, erklærede Clay Mathematics Institute igen dette projekt for at være et af de vigtigste matematiske problemer i 2000 og tilbød en pris på en million amerikanske dollars for et afgørende bevis med et særligt bevis regulering for modeksempler.

Der er også formodninger, der er analoge med Riemann -formodningen for andre zeta -funktioner, hvoraf nogle også understøttes godt numerisk. I tilfælde af zeta -funktionen for algebraiske sorter (tilfældet med funktionsfelterne) over de komplekse tal, blev formodningen lavet af Helmut Hasse i 1930'erne for elliptiske kurver og i 1940'erne af André Weil for abelske sorter og algebraiske kurver ( også over begrænsede felter) bevist. Weil formulerede også Weil -formodningerne , som også indeholder en analog af Riemann -hypotesen, for algebraiske sorter (også højere dimensioner end kurver) over begrænsede felter. Beviset blev leveret af Pierre Deligne efter udviklingen af ​​moderne metoder til algebraisk geometri i Grothendieck -skolen i 1970'erne .

Nyere forsøg på bevis eller tilbagevisning

I 1945 hævdede Hans Rademacher at have modbevist formodningen og forårsaget stor opsigt i USA. Kort før offentliggørelsen i de transaktioner af den amerikanske Mathematical Society , Carl Ludwig Siegel fundet en fejl. Alan Turing var også enig i, at antagelsen var forkert. Han beskæftigede sig intensivt med beregningen af ​​nuller af zeta -funktionen og forsøgte kort før sit engagement i dechifrering af arbejde i Bletchley Park at bygge en mekanisk maskine, der skulle hjælpe ham med at finde mindst et hypotetisk (og dermed modbevist) nul.

Louis de Branges de Bourcia behandlede problemet i årtier. I 1985 (kort efter sit bevis på Bieberbach -formodningen ) fremlagde han et bevis baseret på hans teori om Hilbert -rum med hele funktioner, hvor Peter Sarnak fandt en fejl. I 1989 fremlagde han i anledning af en række foredrag på Institut Henri Poincaré yderligere beviser, som han selv hurtigt anerkendte som mangelfulde. I 2004 offentliggjorde han et nyt bevis, der blev kritisk undersøgt. År forinden havde Eberhard Freitag imidlertid givet et modeksempel på en påstand, der blev fremført i beviserne, så beviserne nu ses som falske.

Generaliseret Riemann -hypotese

Følgende påstand kaldes normalt en generaliseret eller generel Riemann -hypotese :

Den analytiske fortsættelse af de Dirichlet serie til ethvert Dirichlet tegn ( serie) ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L (s, \ chi) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}},}$

har kun nuller på den lige linje i den kritiske strimmel${\ displaystyle 0 \ leq \ operatorname {Re} (s) \ leq 1}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}}.}$

Fra den generaliserede Riemann -hypotese følger Riemann -hypotesen som et specielt tilfælde. Andrew Granville var i stand til at vise, at den (stærke) Goldbach -hypotese i det væsentlige svarer til den generaliserede Riemann -hypotese.${\ displaystyle \ chi = 1}$

For en generaliseret version for L-funktioner i Selberg-klassen se L-funktion .

Relaterede formodninger og tilsvarende formuleringer

I analytisk talteori er der yderligere formodninger, der er relateret til Riemann -formodningen. Den Mertens hypotese siger

${\ displaystyle \ left | M (n) \ right | = \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k) \ right | <{\ sqrt {n}}}$

for alle . Her er det Möbius-funktionen og den såkaldte Mertens funktion. Mertens -hypotesen er stærkere end Riemann -hypotesen, men blev tilbagevist i 1985.${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle M}$

Den sandsynlige fortolkning af Riemann -hypotesen af Arnaud Denjoy hænger sammen med dette . Lad være en tilfældig sekvens af værdier (1, -1) (det vil sige, at de har samme sandsynlighed), derefter for hver for summen (ved hjælp af Landau -symbolerne ) ${\ displaystyle \ mu (k)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle \ left | M (x) \ right | = \ left | \ sum _ {k \ leq x} \ mu (k) \ right | \ in {\ mathcal {O}} (x ^ {1/2 + \ varepsilon}),}$

det vil sige, at afvigelsens størrelse fra middelværdien 0 stiger asymptotisk højst så meget som . Hvis man erstatter Möbius -funktionen, svarer Riemann -hypotesen til udsagnet om, at denne asymptotiske vækstadfærd også gælder for deres sum (Mertens -funktionen) (Littlewood 1912). Riemann -hypotesen kan derefter tolkes som en erklæring om, at fordelingen af ​​Möbius -funktionen (dvs. om tal uden dobbelte primfaktorer har et lige eller ulige antal primfaktorer) er helt tilfældig. ${\ displaystyle x ^ {1/2 + \ varepsilon}}$${\ displaystyle \ mu}$

Som allerede nævnt er der fra Riemann -hypotesen ifølge Helge von Koch grænser for væksten af ​​fejlbetegnelsen for primtaletningen. Men von Kochs resultat svarer også til Riemann -hypotesen. slutningen

${\ displaystyle \ left | {\ pi (x) - \ operatorname {Li} (x)} \ right | \ in {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

følger Riemann -hypotesen.

I en lignende form som en asymptotisk fejlbetegnelse til primtaletningen kan Riemann -formodningen også udtrykkes ved hjælp af Mangoldt -funktionen eller dens sum :${\ displaystyle \ Lambda (i)}$${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {x} \ Lambda (i) = x + {\ mathcal {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log ^ { 2} x),}$

hvor primtaletningen svarer til

${\ displaystyle \ psi (x) = x + {\ mathcal {O}} (x)}$

er. Herfra kan en yderligere antagelse, der svarer til Riemann -antagelsen, udledes: Følgende gælder for alle : ${\ displaystyle N \ geq 100}$

${\ displaystyle | \ log \ operatorname {kgV} (1,2, \ dotsc, N) -N | \ leq {\ sqrt {N}} \ cdot \ log ^ {2} N}$

med det mindst fælles multiplum . ${\ displaystyle \ operatorname {kgV}}$

Den Lindelöf hypotese om tilrettelæggelsen af zeta-funktion langs kritiske linje er svagere end Riemann hypotese, men stadig uprøvede.

I 1916 viste Marcel Riesz ækvivalensen til en formodning om den asymptotiske opførsel af Riesz -funktionen. Jérôme Franel beviste i 1924 ækvivalensen til en erklæring om Farey -serien . Dette siger klart, at arrangementet af de rationelle tal i intervallet (0,1) efter decimalfraktioner i lineær form og arrangementet i Farey-sekvenser er så forskellige som muligt i en veldefineret matematisk forstand.

I 2002 fremsatte Jeffrey Lagarias en formodning om elementær talteori, der svarer til Riemann -formodningen:

${\ displaystyle \ sigma (n) <H_ {n} + \ mathrm {e} ^ {H_ {n}} \ log {H_ {n}}}$

for alle . Det er det summen af divider af og det th harmoniske nummer . ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ sigma (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + \ dotsb + {\ tfrac {1} {n}}}$${\ displaystyle n}$

En formodning, der blev tilbagevist i 1958 om en serie dannet med Liouville -funktionen, ville også have resulteret i Riemann -formodningen.

Bevisidéer fra fysik

Nye ideer til at bevise formodningen kom fra fysik. David Hilbert og George Polya havde allerede bemærket, at Riemann-hypotesen ville følge, hvis nullerne var egenværdier for en operatør , hvor er en hermitisk (dvs. selvtilstødende) operatør, som derfor kun har reelle egenværdier, der ligner Hamilton- operatørerne i kvantemekanik. I 1970'erne fandt Hugh Montgomery ud af i en samtale med Freeman Dyson , at fordelingen af ​​afstandene mellem successive nuller viste en fordeling svarende til egenværdierne for hermitiske tilfældige matricer ( gaussisk enhedsensemble , GUE), som Andrew Odlyzko bekræftede ved numeriske beregninger. I 1990'erne begyndte fysikere som Michael Berry at lede efter et sådant underliggende system, for eksempel i teorien om kvantekaos . For mere støtte disse overvejelser i en analogi af "eksplicitte formler" i teorien om riemanns zetafunktion med Selberg - spor formel at egenværdierne af Laplace-Beltrami operatør på en Riemann overflade med længderne af lukkede geodesics er relateret, og den Gutzwiller spor formel i kvante kaosteori. Dette forbinder egenværdierne (energierne) for den kvantemekaniske version af et kaotisk klassisk system med længderne af de periodiske baner i det klassiske tilfælde. Alle disse sporformler er identiteter mellem summen af ​​de respektive nuller, baneperiodens længder, egenværdier osv. ${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {2}} + iT)}$${\ displaystyle T}$

En operatør udnævnt af Fields Medal Award -vinderen Alain Connes i 1996 "passer næsten". Hidtil har Connes ikke været i stand til at udelukke eksistensen af ​​yderligere nuller uden for den kritiske lige linje.

En anden idé fra fysikken, der blev diskuteret i forbindelse med Riemann-hypotesen, er "Yang-Lee-nuller" af summen af ​​tilstande, som analytisk fortsættes ind i komplekset, i modeller af statistisk mekanik . Ved hjælp af et resultat fra George Polya fra teorien om zeta-funktionen, som de påpegede over for Mark Kac, beviste Chen Ning Yang og Tsung-Dao Lee , at nullerne i visse modeller var på en cirkel, i andre modeller er de på en Lige linjer. Nulpositionen bestemmer adfærden i faseovergange, der ligner, hvordan nuller på den kritiske lige linje styrer den fine fordeling af primtalene.

Alle disse ideer er baseret på en analogi, der i forenklet form kan beskrives som følger: Primtalerne er "elementarpartikler", der interagerer via multiplikation og dermed opbygger de kombinerede tal. På samme tid arrangeres "partiklerne" ved tilsætningen. I zeta -funktionen kombineres begge aspekter (additive / naturlige tal og multiplikative / primtal) med hinanden i form af en sum eller produktformel.

En forbindelse mellem Riemann-hypotesen og endimensionelle kvasikrystaller blev foreslået af Freeman Dyson i 2009.

Se også

• Liste over ikke-trivielle nuller af Riemann zeta-funktionen
• Riemann-Siegel theta-funktion

litteratur

• Marcus du Sautoy : Primenumrenes musik. På sporet af det største puslespil i matematik. dtv / CH Beck, München 2003 og 2004, ISBN 3-423-34299-4 (populær repræsentation af formodningens historie).
• Barry Mazur , William Stein : Prime Numbers og Riemann -hypotesen. Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-1-107-49943-0 , (PDF; 7,6 MB). ( Memento fra 15. september 2013 i internetarkivet ).
• John Derbyshire : Prime besættelse - Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. Washington 2003, ISBN 0-309-08549-7 .
• Andrew Granville : Forfining af Goldbachs formodninger og den generaliserede Riemann -hypotese . I: Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici . tape 37 , nej. 1 . Fakultet for matematik og datalogi ved Adam Mickiewicz University, Poznań 2007, s. 159–173 ( umontreal.ca [PDF; 184 kB ]). 
• Harold Edwards : Riemanns Zeta -funktion. New York 1974, Dover 1991, ISBN 0-486-41740-9 .
• Karl Sabbagh: Dr. Riemanns nuller. Atlantic books, 2002.
• Edward Charles Titchmarsh : Theory of the Riemann Zeta-Function. Ændringer foretaget af Heath-Brown. Oxford 1987, ISBN 0-19-853369-1 .
• P. Borwein , S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller: Riemann -hypotesen . En ressource for både de tilhængere og virtuose. (CMS Books in Mathematics 27) Canad. Math. Soc., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 .
• Julian Havil : Gamma - Eulers konstante primtalstrande og Riemann -hypotesen. Springer Verlag, 2007.
• Jürg Kramer : Riemann -hypotesen. I: Elementer i matematik. Bind 57, 2002, s. 90-95. hu-berlin.de. (PDF; 400 kB).
• Dan Rockmore: Stalking the Riemann Hypothesis. Pantheon Books, 2005.
• Kevin Broughan: Ækvivalenter af Riemann -hypotesen. 2 bind, Cambridge University Press, 2017.

Weblinks

• ZetaGrid projekt. ( Memento fra 5. januar 2014 i internetarkivet ).
• Grafik af Riemann zeta -funktionen. ( Memento fra januar 6, 2013 web arkiv archive.today ). Matematik online leksikon, Uni Stuttgart og Uni Ulm.
• Graf over Riemann zeta -funktionen (animation)
• Christopher Deninger: Prime Numbers og Riemann -hypotesen. ( Memento fra 1. juni 2010 i internetarkivet ). (PDF; 350 kB).
• Alain Connes : Et essay om Riemann -hypotesen , 2015, Arxiv
• Xavier Gourdon: De 10 ^ 13 første nuller i Riemann Zeta -funktionen og nulberegning i meget stor højde. (PDF; 413 kB).
• Matthew Watkins: Fysikrelaterede websteder. Mange gode links.
• Clay Mathematics Institute for Riemann Hypothesis med en faksimile af Riemanns arbejde og Bombieris beskrivelse.
• Eric W. Weisstein : Riemann Hypotese . I: MathWorld (engelsk).
• Peter Sarnak : Anmeldelsesartikel om Riemann -hypotesen (PDF; 150 kB; engelsk).
• J. Brian Conrey , David W Farmer: Siden er ikke længere tilgængelig , søg i webarkiver : Ækvivalenser til Riemann -hypotesen. (PDF; engelsk).@1@ 2Skabelon: Dead Link / www.docin.com
• Gleb Beliakov, Yuri Matiyasevich : Nuller af Riemanns zeta -funktion på den kritiske linje med nøjagtighed på 40000 decimalcifre.
• 3Blue1Brown: Visualisering af Riemann zeta -funktionen og analytisk fortsættelse. På: youtube.com. Upload 9. december 2016, video (22:10).
• Weitz / HAW Hamburg : Riemann -hypotesen (juleforedrag 2016). På: youtube.com. Upload 12. maj 2017, video (1:44:47) (de).

Individuelle referencer og kommentarer

1. ^ Carl Friedrich Gauss Werke , bind to , udgivet af Royal Society of Sciences i Göttingen, 1863, (brev) , s. 444–447.
2. ↑ Følgende gælder for definitionen af ​​de Bernoulli -tal, der bruges her :

   ${\ displaystyle B_ {0} = 1, \; B_ {1} = - 1/2, \; B_ {2} = 1/6, \; B_ {3} = 0, \; B_ {4} = - 1/30, \; B_ {5} = 0, \ dotsc}$

3. ↑ ^{a b} Bernhard Riemann: Om antallet af primtal under en given størrelse . 19. oktober 1859. I: Månedlige rapporter fra Royal Prussian Academy of Sciences i Berlin. 1860, s. 671-680.
4. ↑ For eksempel Terry Taos blog: Kompleks analytisk multiplikativ talteori.
5. ↑ Med

   ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

   følger

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ log \ prod _ {p \ \ mathrm {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$.

   Nu er

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ log {\ frac {1} {(1 + p ^ {- s / 2}) (1-p ^ { -s / 2})}} = \ log 1- \ log (1 + p ^ {- s / 2})- \ log (1-p ^ {- s / 2})}}$.

   Siden er, er effektserien for de to resterende logaritmer nødvendig, så ${\ displaystyle \ log 1 = 0}$

   ${\ displaystyle - \ log (1 + p ^ { - s / 2}) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} ( - 1) ^ {n + 1} {\ tfrac {p ^ { -ns / 2}} {n}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$

   ${\ displaystyle- \ log (1-p ^ {- s / 2}) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$.

   Summen af ​​de to effektserier tilsammen resulterer kun i lige tal i , så det gælder ${\ displaystyle n}$

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {-ns / 2}} {n}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}} = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- 2ns / 2}} {2n}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns}} { n}}}$

   og endelig får du det ønskede udtryk:

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {p \ \ mathrm {prim}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }.}$

6. ^ Helge von Koch: Sur la distribution des nombres premiers. Acta Mathematica, bind 24, 1901, s. 159-182.
7. ↑ Kan udledes af Kochs resultat, men ikke omvendt.
8. ^ Siegel: Om Riemanns artikler om analytisk talteori. I: Studier af matematikens historie. Astron. og fys. Afd. B: Studier, bind 2, 1932, s. 45-80.
   Siegel: Samlede afhandlinger. Bind 1, Springer Verlag, 1966.
9. ^ Laugwitz: Bernhard Riemann. 1996, s. 178.
10. ^ HM Edwards: Riemanns Zeta -funktion. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0 , s. 164-166.
11. ↑ Gram: Sur les zéros de la fonction de Riemann. ${\ displaystyle \ zeta (s)}$I: Acta Mathematica. Bind 27, 1903, s. 289-304.
12. ^ Beregninger vedrørende nuller. Kapitel 15. I: Titchmarsh: Theory of the Riemann Zeta function.
13. ^ Jacques Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ (s) et ses conséquences aritmétiques. I: Bulletin de la Société Mathématique de France. 24, 1896, s. 199-220. (PDF; 1,3 MB), der s. 199 ff.
14. ↑ Der var ingen tegn på dette bevis i Stieltjes 'ejendom. Derbyshire: Prime Obsession. S. 160 f. Mertens -formodningen er i mellemtiden blevet tilbagevist.
15. ↑ 143 år gamle problem har stadig matematikere ved at gætte. I: New York Times . Anekdoten kan også findes i Constance Reids Hilbert -biografi.
16. ↑ På den anden side tilskrives Hilbert den måske apokryfe erklæring om, at hvis han vågnede efter 1000 års søvn, ville hans første spørgsmål være, om Riemann -hypotesen ville blive løst. Borwein et al.: Riemann -hypotesen. S. 58 (uden at angive kilden).
17. ↑ Du Sautoy: Musikken i primtalene . S. 147.
18. ↑ Millenniumsprisens regler fra det officielle websted
19. ↑ Historien om hans beviser er givet ved Karl Sabbagh i Dr. Riemanns nuller vises.
20. ^ ^{A b} Granville: Forfininger af Goldbachs formodninger. Se litteraturliste .
21. ^ Weitz / HAW Hamburg: Matematik er mere end aritmetik - eksempel: Mertens 'hypotese på YouTube , adgang til den 22. marts 2020.
22. ↑ AM Odlyzko, HJJ te Riele: modbevis af Mertens formodning. I: J. reine angew. Math. Bind 357, 1985, s. 138-160.
    Andrew Odlyzko: Papers on Zeros of the Riemann Zeta Function and Related Topics.
23. ↑ Denjoy: L'Hypothése de Riemann sur la distribution des zéros de , reliée à la théorie des probabilités. ${\ displaystyle \ zeta (s)}$I: Omfatter Rendus Acad. Sc. Bind 192, 1931, s. 656-658. Edwards: Riemanns Zeta -funktion. 1974, s. 268. Edwards kommenterer denne fortolkning på følgende måde: ”… selv om det er ret absurd, når det tages i betragtning, giver det et flygtigt glimt af plausibilitet til Riemann -hypotesen”.
24. ↑ Littlewood: Quelques konsekvenser de l'Hypothese que la fonction n'a pas de nuller dans le demi-plan${\ displaystyle \ zeta (s)}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} (s)> {\ frac {1} {2}}.}$ I: Comptes Rendus. Bind 154, 1912, s. 263-266. Edwards, loc. cit. S. 261. Littlewood beviste mere præcist, at Riemann -hypotesen svarer til følgende udsagn: For hver konvergerer til nul for imod .${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle M (x) x ^ { - {\ frac {1} {2}} - \ varepsilon}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ infty}$
25. ^ Edwards: Riemanns Zeta -funktion. Kapitel 5.
26. ↑ Eric W. Weisstein : Mangoldt -funktion . I: MathWorld (engelsk).
27. ^ Andrew Granville i Princeton Companion to Mathematics. Kapitel IV.2.
28. ↑ Lagarias: Et elementært problem svarende til Riemann -hypotesen. I: American Mathematical Monthly. Bind 109, 2002, s. 534-543.
29. ↑ Alain Connes: Sporformel i ikke -kommutativ geometri og nullerne i Riemann zeta -funktionen. 10. november 1998.
30. ^ Freeman Dyson: Fugle og frøer. I: Oplyser AMS. 2009. (PDF; 800 kB).