Momentum bevarelse lov

Loven om bevarelse af momentum hjælper med at forstå et kuglestuds pendules opførsel

Loven om bevarelse af momentum , også loven om bevarelse af momentum eller momentum , er en af ​​de vigtigste bevarelseslove i fysik. Det siger, at det samlede momentum for et mekanisk lukket system er konstant. ”Mekanisk lukket system” betyder, at systemet ikke interagerer med sit miljø.

Bevarelsen af ​​momentum gælder i klassisk mekanik såvel som i speciel relativitet og kvantemekanik . Det gælder uanset energibesparelse og er af grundlæggende betydning, for eksempel når man beskriver kollisionsprocesser , hvor propositionen siger, at det samlede momentum for alle kollisionspartnere er det samme før og efter kollisionen. Bevarelsen af ​​momentum gælder både hvis den kinetiske energi bevares under kollisionen ( elastisk kollision ), og hvis dette ikke er tilfældet (uelastisk kollision).

Loven om bevarelse af momentum er en direkte konsekvens af rumets homogenitet , dvs. det faktum, at et objekts opførsel kun bestemmes af værdierne af de fysiske størrelser på dets placering, men ikke af selve placeringen.

Bevaring af momentum i newtonske mekanik

Loven om bevarelse af momentum følger direkte fra Newtons anden og tredje aksiom . Ifølge Newtons andet aksiom er ændringen i en krops momentum lig med den eksterne kraft, der virker på den . Denne lov, også kaldet momentumloven , lyder ${\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}}}$${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {F}}}$.

Hvis der ikke er nogen eksterne kræfter, skal der ifølge Newtons tredje aksiom ( “actio = reactio” ) være en lige så stor, men modsatrettede kraft (den såkaldte modkraft ) for hver styrke ; vektorsummen af ​​disse to kræfter er derfor nul. Da dette gælder for alle kræfter, er vektorsummen af ​​alle kræfter, der forekommer i systemet og dermed også ændringen i det samlede momentum nul. Dermed

${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ vec {F}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ dot {\ vec {p}}} _ {i} = {\ dot {\ vec {p}}} = {\ vec {0}}}$,

derfor er det samlede momentum en konstant vektor. Hvis momentum kun afhænger af hastigheden, betyder det, at massepunktet bevæger sig med en konstant hastighed. ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$

Bevarelsen af ​​momentum svarer også til udsagnet om, at et systems tyngdepunkt bevæger sig med konstant hastighed og retning uden ekstern kraft (dette er en generalisering af Newtons første aksiom, som oprindeligt kun blev formuleret for individuelle kroppe).

Bevaring af momentum i Lagrange-formalismen

I Lagrange-formalismen følger bevarelsen af ​​momentum for en fri partikel fra bevægelsesligningerne. For Lagrangian for en partikel i et potentiale gælder følgende generelt ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle V (q)}$

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {q}} ^ {2} -V (q)}$

med en generaliseret koordinat og partikelmassen . Bevægelsesligningerne er ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} - {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}} = 0}$

og efter at have erstattet ovenstående udtryk med ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial V} {\ partial q}} - {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} (m {\ dot {q}}) = 0}$.

Hvis det ikke afhænger af, resulterer den delvise afledte af potentialet i henhold til den generelle koordinat i værdien nul. Det forbliver ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} (m {\ dot {q}}) = 0}$.

Hvis man vælger en positionskoordinat, resulterer bevarelsen af ​​Newtons mekanikmoment. ${\ displaystyle q}$

Bevaring af momentum som et resultat af rumens homogenitet

Ifølge Noether's sætning er der en bevaret mængde for hver kontinuerlig symmetri. Den fysiske symmetri , der svarer til bevarelsen af ​​momentum, er " rumens homogenitet ".

Rummets homogenitet betyder, at systemet under overvejelse er skiftende , dvs. en proces ved punkt A vil ikke være anderledes, hvis den finder sted på et andet sted B i stedet . Der er ingen fysisk forskel mellem punkterne A og B i den forstand, at rummet ved B ville have forskellige egenskaber end ved A.

Lad L være den Lagrange af et fysisk system, der således har den effekt . Noether-sætningen siger nu: Hvis effekten under en transformation ${\ textstyle S = \ int L \, {\ text {d}} t}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} q_ {i} & \ mapsto q '_ {i} && = q_ {i} + \ delta \ \ psi _ {i} (q, {\ dot {q} }, t) \\ t & \ mapsto t '&& = t + \ varepsilon \ \ varphi (q, {\ dot {q}}, t) \ end {alignat}}}$

forbliver uændret, så er det

${\ displaystyle Q: = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ psi _ {i} + \ left (L- \ sum _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \ right) \ \ varphi}$

en bevarelsesstørrelse. Retningerne i rum eller tid, og i hvilke små skift eller skal udføres, kan variere rumligt og tidsmæssigt for en generel transformation, hvilket er grunden til og er vist ovenfor .${\ displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ psi _ {i} (q, {\ dot {q}}, t)}$${\ displaystyle \ varphi (q, {\ dot {q}}, t)}$

Fra rumets homogenitet følger det, at alt kan føjes til rumkoordinaterne uden at ændre Lagrangian. I ovenstående generelle formulering af Noether's sætning svarer dette til specialtilfældet . Der er tre rumlige koordinater i hver af de tre rumlige retninger , og vi kan skifte koordinaterne ved noget, der er rumligt og tidsmæssigt konstant , uden at Lagrangian ændres. Med Noether-sætning får vi de tre bevaringsmængder , som er det konjugerede momenta til de tre rumkoordinater : ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle k = x, y, z}$${\ textstyle Q_ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}}}$

${\ displaystyle Q_ {k} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = p_ {k}}$

Bevarelsen af ​​disse tre størrelser er netop loven om bevarelse af momentum:

${\ displaystyle 0 = {\ frac {{\ text {d}} Q_ {k}} {{\ text {d}} t}} = {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d} } t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} p_ {k}}$

Dette gælder for alle tre rumlige retninger . ${\ displaystyle k = x, y, z}$

Bevaring af momentum i krystalgitteret

Et specielt tilfælde er et ideelt krystalgitter , hvor oversættelsen (skift) omkring en gittervektor er en symmetrioperation, det vil sige, det fører igen til et arrangement, der ikke kan skelnes fra det originale gitter; andre skift resulterer i et gitter, hvis gitterpunkter ikke længere falder sammen med de originale gitterpunkter. I dette tilfælde gælder bevarelse af momentum med den begrænsning, at en gittervektor af det gensidige gitter multipliceret med Plancks konstant kan føjes til momentum : ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle {\ vec {G}}}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {\ text {after}} = {\ vec {p}} _ {\ text {before}} + \ hbar {\ vec {G}}}$

Impuls kan ikke overføres til krystalgitteret i nogen grad, men kun i diskrete trin, der bestemmes af det gensidige gitter. Hvis momentum for det mindste sådan et trin er for lille, f.eks. B. Med synligt lys inde i en krystal gælder bevarelsen af ​​momentum igen som i det frie rum. Derfor er synligt lys i krystaller ikke diffrakteret, men røntgenstråler , som har et højere momentum, kan diffrakteres. Bevarelsen af ​​momentum under hensyntagen til den gensidige gittervektor svarer i dette tilfælde til Bragg-ligningen .

Bevaring af momentum i flydende væsker

I et strømningsrum er de indgående og udgående momentumstrømme altid i ligevægt med de eksterne kræfter, der virker på dette strømningsrum (afbalanceret kraftbalance). Derfor gælder følgende for hver koordinatretning:

${\ displaystyle \ rho Ac ^ {2} + \ sum {F} = 0}$

Kræfterne inkluderer impulskræfter, trykstyrker, vægkræfter, inertikræfter og friktionskræfter. De andre variabler i ligningen er: væskens tæthed , tværsnitsareal, gennem hvilken strømmen passerer , væskens strømningshastighed${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ rho,}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle c.}$

Individuelle beviser

1. ^ LD Landau, EM Lifshitz: Kursus i teoretisk fysik . 3. udgave 1. Mekanik. Butterworth-Heinemann, 1976, ISBN 0-7506-2896-0 (engelsk, online [PDF; 47.5 MB ; adgang til den 13. april 2020] Russisk: Курс теоретической физики Ландау и Лифшица, Механика . Oversat af JB Sykes, JS Bell). 
2. ↑ Thorsten Fließbach: Mekanik . 6. udgave. Spektrum, Heidelberg / Berlin 2009, ISBN 978-3-8274-1433-5 ( begrænset forhåndsvisning i Google-bogsøgning [adgang til 13. april 2020]).