Revolutionskrop
Revolutionslegeme er i geometrien af et legeme kaldet overfladen deraf ved rotation af en genereringskurve omkring en rotationsakse dannes (se omdrejningsflade ). Rotationsaksen kaldes også figuraksen . Kurven ligger i et plan, og aksen ligger i det samme plan. Et velkendt solidt revolution er torus . Den dannes ved at dreje en cirkel . Også kegler og cylindre er roterende krop.
Den volumen og overflade er beregnet ved hjælp af de såkaldte Guldin regler (opkaldt efter matematikeren og astronomen Paul Guldin ). Allerede i oldtiden blev disse kendt som barycentriske regler eller centrobariske regler og blev beskrevet af den græske matematiker Pappos fra Alexandria .
Beregning af volumenet af et solidt revolution
Hvis genereringskurven skærer rotationsaksen, skal det overvejes, om de tilsvarende delvolumener skal tælles som positive eller negative bidrag til det samlede volumen.
Rotation omkring x -aksen
For et solidt omdrejningstal, der skyldes rotation af området afgrænset af funktionens graf i intervallet , -aksien og de to lige linjer og omkring -aksen, er formlen til beregning af lydstyrken:
Rotation omkring y- aksen
1. sag: "diskintegration"
Når man roterer (omkring -aksen) i området, hvilket er begrænset af funktionens graf i intervallet , er -aksen og de to lige linjer, og man skal transformere til den inverse funktion . Dette eksisterer, når det er kontinuerligt og strengt monotont . Hvis ikke (som f.eks. På billedet ovenfor til højre), kan det måske opdeles i sektioner, i hvilke hver er kontinuerlig og strengt monoton. Volumen, der hører til disse sektioner, skal derefter beregnes og tilføjes separat.
Hvis du erstatter her , får du lydstyrken omkring -aksen
- .
Den absolutte værdi af og min / max-funktionerne i integralgrænserne sikrer en positiv integral.
2. tilfælde: "skalintegration" (cylindermetode)
Til rotation (omkring -aksen) i området, som er begrænset af funktionens graf i intervallet , -aksien og de to lige linjer, og følgende formel gælder:
Guldinian regerer
De to Guldinian-regler, opkaldt efter den schweiziske matematiker Paul Guldin , forkorter overflade- og volumenberegningerne af genstande med revolution meget, hvis tyngdepunktet for linjerne eller områderne af de roterende objekter let kan genkendes ved hjælp af symmetrierne for den respektive opgave (se eksempler nedenfor).
Betegnelser:
- = Overflade
- = Lydstyrke
- = Genereringslinjens længde (profillinje)
- = Areal af det genererende område
- = Radius af tyngdepunktets cirkel
- = Radius af den roterende cirkel (torus eksempler)
Første regel
Det område i en lateral overflade af en fast omdrejningslegeme, hvis rotationsakse ikke skærer frembringer er lig med produktet af længden af frembringerlinien (profil linje) og omkredsen af cirklen (tyngdepunkt cirkel), som genereres ved drejning af profillinjens tyngdepunkt:
Udtrykt som en funktion af genereringslinjens funktion , resulterer området som:
Når du drejer rundt om x- aksen
Med som -koordinat for linjens tyngdepunkt kan linjen og dens linjeelement findes
- ,
hvilket er, hvad resultatet ovenstående repræsenterer hvis de interval grænser stadig bruges.
Når du drejer rundt om y- aksen
Som med volumenberegningen ovenfor skal beregningen af de kontinuerlige og strengt monotone sektioner , hvori den omvendte funktion findes , også udføres separat.
Eksempel: Overflade af en roterende torus :
Se også: lateral overflade
Anden regel
Volumenet af et revolutionært fast stof er lig med produktet af arealet på den genererende overflade og cirkelens omkreds, som genereres ved rotation af tyngdepunktet på denne overflade:
I det følgende betragtes rotation af en overflade omkring aksen; tilfældet med en skrå rotationsakse kan opnås gennem koordinattransformation. I tilfælde af rotationen omkring -aksen af en overflade mellem de aksen og grænser og resulterer i mængden udtrykt ved anvendelse som centroiden
med og .
Eksempel: Volumen af en roterende torus:
Parametrisk form
Hvis en kurve defineret ved sin parametrisk form i et interval , de volumener af de organer, skabes ved at dreje kurven om x-aksen eller y-aksen givet ved
Det overfladeareal disse organer er givet ved
Keplers tønderegel
Den Kepler tønde regel giver
som en tilnærmelse til volumenet af et legeme, hvis tværsnitsareal er kendt tre steder. Hvis kroppen er en revolutionskrop, gælder følgende for rotation omkring aksen:
For visse rotationslegemer som kugle , kegle , trunkeret kegle , cylinder , paraboloid , hyperboloid af revolution og sfæroid er disse formel , det nøjagtige volumen af.
Se også
- Revolutionens overflade
- Kugle
- kegle
- Afkortet kegle
- cylinder
- Paraboloid af revolution
- Rotationshyperboloid
- Ellipsoid af revolution
Individuelle beviser
- ↑ Kurt Magnus: Spinning Top . Teori og anvendelser. Springer, Berlin, Heidelberg 1971, ISBN 978-3-642-52163-8 , pp. 44 .
- ^ Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjaew: Taschenbuch der Mathematik . 20. udgave. Teubner; Nauka, Leipzig; Moskva 1981, s. 369 f . (XII, 860).
- ↑ A. K. Sharma: Anvendelsen af Integral Calculus . Discovery Publishing House, 2005, ISBN 81-7141-967-4 , s. 168.
- ^ Ravish R. Singh: Ingeniørmatematik , 6. Udgave, Tata McGraw-Hill, 1993, ISBN 0-07-014615-2 , s. 6,90.
Weblinks
- Litteratur om revolutionens faste stoffer i kataloget over det tyske nationalbibliotek
- Ronny Harbich: revolutionskrop. ( Memento fra 15. marts 2011 i Internetarkivet ). På: Uni-Magdeburg.de. 2003 (PDF; 948 kB).