Afkortet kegle

Afkortet kegle

3D -model: Efter klik kan billedet manipuleres med musen

I geometri, en keglestub er betegnelsen for en særlig omdrejningslegeme . En afkortet kegle dannes ved at skære en mindre kegle fra en lige cirkulær kegle parallelt med basen . Denne mindre kegle kaldes den afskårne kegles komplementære kegle.

Den største af de to parallelle cirkulære områder er basisarealet , jo mindre er det øverste område . Den tredje af de afgrænsende overflader kaldes den laterale overflade . Disse udtryk er også almindelige for områderne i disse områder. Den højde keglestubbens forstås afstanden mellem basen og oversiden. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle h}$

Den afkortede pyramide er tæt forbundet med den afkortede kegle .

Formler

Med den radius af den øvre overflade, med radius af grundfladen. være vinklen mellem en overfladelinje og kegleaksen. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ varphi}$

Formler til den afkortede kegle
bind	${\ displaystyle V = {\ frac {h \ cdot \ pi} {3}} \ cdot (R ^ {2} + R \ cdot r + r ^ {2})}$
Længden af ​​en overfladeline	${\ displaystyle m = {\ sqrt {(Rr) ^ {2} + h ^ {2}}}}$
Ydre overflade	${\ displaystyle M = (R + r) \ cdot \ pi \ cdot m}$
Overflade	${\ displaystyle D = \ pi \ cdot r ^ {2}}$
Gulvplads	${\ displaystyle G = \ pi \ cdot R ^ {2}}$
overflade	${\ displaystyle O = \ pi \ cdot \ venstre [r ^ {2} + R ^ {2} + m \ cdot (r + R) \ højre]}$
Højden på den afkortede kegle	${\ displaystyle h = {\ frac {Rr} {\ tan \ varphi}}}$

beviser

bind

Til beregning af volumenet af den afkortede kegle er højden af ​​den supplerende kegle angivet med. Volumenet af den afkortede kegle er derefter forskellen mellem volumenet af hele cirkelkeglen (radius og højde ) og mængden af ​​den supplerende kegle (radius og højde ). Med hjælp fra den stråle teorem (fire-vejs teorem) følger det, at ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle h + k}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ frac {h + k} {R}} = {\ frac {k} {r}}}$.

Hvis denne kvotient kaldes , gælder følgende ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle h + k = \ lambda \ cdot R}$ og

${\ displaystyle k = \ lambda \ cdot r.}$

Højden er således

${\ displaystyle h = \ lambda \ cdot (Rr).}$

Den store kegles volumen er

${\ displaystyle V_ {R} = {\ frac {R ^ {2} \ cdot \ pi \ cdot (h + k)} {3}} = \ lambda \ cdot R ^ {3} \ cdot {\ frac {\ pi} {3}},}$

er volumen på den lille kegle

${\ displaystyle V_ {r} = {\ frac {r ^ {2} \ cdot \ pi \ cdot k} {3}} = \ lambda \ cdot r ^ {3} \ cdot {\ frac {\ pi} {3 }},}$

mængden af ​​den afkortede kegle er forskellen

${\ displaystyle V = V_ {R} -V_ {r} = \ lambda \ venstre (R ^ {3} -r ^ {3} \ højre) {\ frac {\ pi} {3}} = \ lambda (Rr ) \ venstre (R ^ {2} + R \ cdot r + r ^ {2} \ højre) {\ frac {\ pi} {3}} = {\ frac {h \ cdot \ pi} {3}} \ venstre (R ^ {2} + Rr + r ^ {2} \ højre).}$

Alternativt kan volumenet af en afkortet kegle beregnes ved hjælp af en integral, da et sådant legeme kan ses som et omdrejningskrop roteret omkring x-aksen. Formlen til beregning af volumenet af omdrejningslegemet er: . Hvis du indsætter for her og beregner integralet inden for grænserne for og , får du mængden af ​​en afkortet kegle med de tilsvarende parametre. Den følgende beregning viser, at denne formel er den samme som ovenstående formel: ${\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} dx}$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {Rr} {h}} \ cdot x + r}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle w = h}$

${\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int \ limit _ {0} ^ {h} {\ Big (} {\ frac {Rr} {h}} \ cdot x + r {\ Big)} ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ cdot \ int \ limit _ {0} ^ {h} {\ Big (} {\ frac {(Rr) ^ {2}} {h ^ {2}}} \ cdot x ^ {2} +2 \ cdot {\ frac {Rr} {h}} \ cdot x \ cdot r + r ^ {2} {\ Big)} \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle = \ pi \ cdot {\ Big (} {\ frac {(Rr) ^ {2}} {3 \ cdot h ^ {2}}} \ cdot x ^ {3} + {\ frac {Rr} {h}} \ cdot x ^ {2} \ cdot r + r ^ {2} \ cdot x {\ Big |} _ {x = 0} ^ {x = h} {\ Big)} = \ pi \ cdot {\ Big (} {\ frac {(Rr) ^ {2}} {3}} \ cdot h + R \ cdot r \ cdot h {\ Big)}}$

${\ displaystyle = \ pi \ cdot ({\ frac {R ^ {2} + R \ cdot r + r ^ {2}} {3}} \ cdot h) = {\ frac {h \ cdot \ pi} { 3}} \ cdot \ venstre (R ^ {2} + R \ cdot r + r ^ {2} \ højre).}$

Ydre overflade

Til beregning af overfladearealet af den afkortede kegle er overfladelinjen for den afkortede lille kegle betegnet med . Ifølge strålesætningen gælder følgende ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {R} {r}} \, = \, {\ frac {n + m} {n}}}$,

så

${\ displaystyle n = {\ frac {m \ cdot r} {Rr}}}$.

Overfladearealet beregnes nu ud fra forskellen mellem overfladearealet på den store kegle (radius og overfladelinje) og overfladearealet på den lille afskårne kegle (radius og overfladelinje ): ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle M \, = \, M_ {1} -M_ {2}}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot R \ cdot (m + n) - \ pi \ cdot r \ cdot n}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot m \ cdot R + \ pi \ cdot n \ cdot (Rr)}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot m \ cdot R + \ pi \ cdot {\ frac {m \ cdot r} {Rr}} \ cdot (Rr)}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot m \ cdot R + \ pi \ cdot m \ cdot r}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot m \ cdot (R + r)}$

overflade

Kropsnet af en afkortet kegle: omkredsen u _{1 af} den øverste overflade D er lig med buelængden b ₁ . Grundens omkreds u ₂ er lig med buelængden b ₂ . M er den ydre overflade.

Overfladen af ​​den afkortede kegle beregnes ud fra summen af ​​det øverste område, grundareal og lateralareal:

${\ displaystyle D \, = \, \ pi \ cdot r ^ {2}}$

${\ displaystyle G \, = \, \ pi \ cdot R ^ {2}}$

${\ displaystyle M \, = \, \ pi \ cdot m \ cdot (r + R)}$

${\ displaystyle O \, = \, D + G + M}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot r ^ {2} + \ pi \ cdot R ^ {2} + \ pi \ cdot m \ cdot (r + R)}$

${\ displaystyle \, = \, \ pi \ cdot \ left [r ^ {2} + R ^ {2} + m \ cdot (r + R) \ right]}$

Anvendelseseksempler

Drikkeglas

Et martiniglas er omtrent som en kegle . Den ufyldte del har form som en afkortet kegle.

Nogle drikkeglas , for eksempel et martini -glas , har omtrent formen som en kegle.

Et martiniglas med en diameter på 103 millimeter og en fyldhøjde på 59 millimeter er fyldt med appelsinsaft til en højde på 40 millimeter . Som et resultat , , og fra dette volumen af delen ikke udfyldt, som har form af en keglestub: ${\ displaystyle R = 51 {,} 5 \ \ mathrm {mm}}$${\ displaystyle r = {\ frac {40 \ \ mathrm {mm}} {59 \ \ mathrm {mm}}} \ cdot {51 {,} 5 \ \ mathrm {mm}} \ approx 34 {,} 9 \ \ mathrm {mm}}$${\ displaystyle h = 59 \ \ mathrm {mm} -40 \ \ mathrm {mm} = 19 \ \ mathrm {mm}}$

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ cdot \ pi \ cdot h \ cdot (R ^ {2} + R \ cdot r + r ^ {2})}$

${\ displaystyle \ \ approx 113 \ cdot 10 ^ {3} \ \ mathrm {mm ^ {3}} = 113 \ \ mathrm {cm ^ {3}} = 113 \ \ mathrm {ml}}$

Den ufyldte del har et volumen på ca. 113 milliliter .

Andelen af martiniglas , der fyldes, er

${\ displaystyle \ venstre ({\ frac {40 \ \ mathrm {mm}} {59 \ \ mathrm {mm}}} \ højre) ^ {3} \ approx 0 {,} 312}$

Den Martiniglas er omkring 31,2 procent fyldt med appelsinsaft .

Se også

• kegle
• Afkortet pyramide
• kegle

litteratur

• Rolf Baumann: Geometri til den 9./10. Klasse . Centrisk strækning, Pythagoras sætning, cirkel og kropsberegninger. 4. udgave. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9 , s. 95 ff . 

Weblinks

Wiktionary: afkortet kegle  - forklaringer på betydninger, ordoprindelse, synonymer, oversættelser