Ellipsoid af revolution

fladtrykt ellipsoid af revolution

aflang ellipsoid af revolution

En roterende ellipsoide (engelsk sfæroid ) er en omdrejningsflade , der skabes ved at dreje en ellipse omkring en af sine akser. I modsætning til en tre-akset eller triaksial ellipsoid er to akser af samme længde.

Afhængigt af hvilken af ​​de to halvakser i den genererende ellipse, der fungerer som rotationsaksen , skelnes der:

• den oblate ellipsoid, når den drejer rundt om den lille halvakse (eksempel: form af en chokoladelinse )
• den langstrakte ( prolate ) ellipsoid, når den roterer rundt om den store halvakse (eksempel: form for rugbybold ).

Hændelse

Ellipsoid af revolution og masseforskydning (rød)

De fleste af de større himmellegemer er omtrent fladtrykte ellipsoider, som også kaldes sfæroider . De er forårsaget af centrifugalkraft , som får et roterende sfærisk legeme til at blive deformeret. Disse kroppe er fladt ved polerne , dvs. skæringspunkterne for rotationsaksen , og en udbulning opstår ved ækvator . Udfladningen af ​​de store gasplaneter Jupiter og Saturn er særlig udtalt, fordi de roterer særligt hurtigt og ikke størkner. Men Jorden og de andre planeter i det solsystemet er også deformeret til ellipsoider af rotation af de centrifugale kræfter, der genereres under rotation. Jupiter, der roterer om ti timer, fladgøres med ca. 1/16, Jordfladningen er 1 / 298.257223563 ( WGS 84 ).

Elliptiske galakser er ofte ikke sfæroider, men treaksiale.

Parametrisk repræsentation

flad og langstrakt ellipsoid af revolutionen

Følgende parameterrepræsentation beskriver en ellipsoid af revolution, som ved rotation af halvellipsen (i - - niveauet ) til den oprettede akse (s. Revolutionens overflade ): ${\ displaystyle (a \ cos t, 0, c \ sin t), - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a ~ \ cos t ~ \ cos \ varphi \\ a ~ \ cos t ~ \ sin \ varphi \\ c ~ \ sin t \ end {pmatrix}} \ qquad (- {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}} \, \ 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 <a, c)}$.

Tallene er halvakserne i den roterende halvelips. I tilfælde af en fladt ellipsoid af revolution, i tilfælde af en langstrakt ellipsoid af revolution. Hvis det er, resulterer en kugle med en radius . ${\ displaystyle a, c}$${\ displaystyle a> c}$${\ displaystyle a <c}$${\ displaystyle a = c}$ ${\ displaystyle a}$

Bemærk: Polerne (punkter på rotationsaksen ) har ikke en klar repræsentation.

Den resulterende ellipsoid af revolution har den implicitte repræsentation :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1 \. }$

bind

Den volumen ovennævnte ellipsoide af revolution er

${\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} a ^ {2} c}$.

Her er den radius af den ækvatoriale cirkel og afstanden mellem polerne og centrum . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$

overflade

Den overflade for fladtrykte ellipsoide ( ) beregnes også ${\ displaystyle a> c}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}} \, \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} {c}} \ højre) \ højre) \,}$

den af ​​den aflange ellipsoid ( ) med ${\ displaystyle c> a}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}}} \, \ operatorname {arcsin} \ left ({\ frac {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} {c}} \ højre) \ højre) \.}$

En kugle med en radius har volumen og overflade (se kugle). ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} r ^ {3}}$${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$

Afledning af formlerne

Indholdet af overfladen af en skal ved at rotere kurven genereret omdrejningsflade er ${\ displaystyle (r (t), 0, z (t)) \, t_ {1} \ leq t \ leq t_ {2}}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} r \ {\ sqrt {{\ dot {r}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}}} \, tysk \}$(se revolutionens overflade )

For ovennævnte ellipsoide er . Så det skal være integralet${\ displaystyle r (t) = a \ cos t, \ z (t) = c \ sin t}$

${\ displaystyle A = 2 \ cdot 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} a \ cos t {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \ mathrm {d} t}$

(2 gange en halv ellipsoid) kan beregnes. For er og det resulterer i overfladen af ​​en kugle . Følgende antages. ${\ displaystyle a = c}$${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} = {\ sqrt {a ^ {2} (\ sin ^ {2 } t + \ cos ^ {2} t)}} = a}$${\ displaystyle a \ neq c}$

Den substitution med fører til ${\ displaystyle u = \ sin t}$${\ displaystyle \ mathrm {d} u = \ cos t \ mathrm {d} t}$

${\ displaystyle A = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {a ^ {2} u ^ {2} + c ^ {2} (1-u ^ {2 })}} \ \ mathrm {d} u = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) u ^ { 2} + c ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u}$

og dermed til

${\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {u ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}$hvis , og${\ displaystyle a> c}$

${\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}}} - u ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}$hvis .${\ displaystyle c> a}$

Under hensyntagen til, at fraktionen under kvadratroden er positiv i begge tilfælde, er antiderivativerne for de to integraler og endelig formlerne ovenfor for overfladen resultatet af en integrationstabel (fx Bronstein-Semendjajew ) .

Ansøgning

I geodesi , kartografi og andre geovidenskaber anvendes revolutionens ellipsoider som en geometrisk tilnærmelse af den fysiske geoid . Disse revolutionære ellipsoider tjener derefter som en referenceflade for at indikere objekternes position eller højde på jordens overflade . Man taler derefter om en reference ellipsoid .

I en hul krop afspejler grænsefladerne på den (strakte) ellipsoid af revolutionen strålingen fra det ene fokuspunkt til det andet. En hvisken hvælving bruger effekten til at samle lydbølger .
Således dannede optiske reflektorer fokuserer strålingen fra en næsten punktformet i et af de fokuspunkter, der ligger lyskilden på det andet fokus på ellipsoiden . Den grænseflade af en fiberoptisk kabel , en anden optisk element eller placeringen af en strålingsinduceret proces kan være placeret der.

Eksempler på anvendelse

Jupiter og Saturn

Planeterne Jupiter og Saturn er betydeligt fladere ved polerne end ved ækvator på grund af de centrifugale kræfter, der virker gennem den hurtige rotation, og de har omtrent form af en ellipsoid af revolution.

Jupiter

Jupiter har en ækvatorial diameter på 142.984 km og en poldiameter på 133.708 km. Så for halvakserne og . Den masse af Jupiter er omkring 1,899 · 10 ²⁷ kg. Ved hjælp af ovenstående formler til volumen , gennemsnitlig tæthed og overflade resulterer dette i : ${\ displaystyle a = 71492 \ \ mathrm {km}}$${\ displaystyle c = 66854 \ \ mathrm {km}}$

• Volumen :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (71492 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km} \ approx 1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Det er ca. 1.321 gange jordens volumen .

• Medium tæthed :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ { 24} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca. 1327 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Samlet set har Jupiter en lidt højere tæthed end vand under standardforhold .

• Overflade :${\ displaystyle A \ ca. 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ højre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 71492 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ højre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca. 6 {,} 15 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$

Det er om 121 gange den overflade jorden.

Saturn

Saturn har en ækvatorial diameter på 120.536 km og en poldiameter på 108.728 km. Så for halvakserne og . Den masse af Saturn er omkring 5,683 · 10 ²⁶ kg. Dette resulterer i: ${\ displaystyle a = 60268 \ \ mathrm {km}}$${\ displaystyle c = 54364 \ \ mathrm {km}}$

• Volumen :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (60268 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km} \ approx 8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Det er cirka 764 gange jordens volumen .

• Medium tæthed :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ { 23} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca. 687 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Samlet set har Saturn en lidt lavere tæthed end vand under standardforhold .

• Overflade :${\ displaystyle A \ ca. 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(a \ cdot b) ^ {\ frac {8} {5}} + (a \ cdot c) ^ {\ frac {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ højre) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 60268 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ højre) ^ {\ frac {5} {8}} \ ca. 4 {,} 27 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {km ^ {2}}}$

Det er omkring 84 gange så meget som den overflade jorden.

Rugbybold

En rugbybold er omkring 280 millimeter lang og har en diameter på omkring 200 millimeter på den mindre akse . Så for halvakserne og . Den masse af en rugby bold er omkring 400 gram, hvilket betyder: ${\ displaystyle a = 100 \ \ mathrm {mm}}$${\ displaystyle c = 140 \ \ mathrm {mm}}$

• Volumen :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (100 \ \ mathrm {mm}) ^ {2} \ cdot 140 \ \ mathrm {mm} \ approx 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {6} \ \ mathrm {mm ^ {3}} = 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}$
• Medium tæthed :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {400 \ \ mathrm {g}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ { 3}}}} = {\ frac {0 {,} 4 \ \ mathrm {kg}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ ca. 68 \ \ mathrm {kg} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

Se også

• Ellipsoid
• Paraboloid af revolution
• Rotationshyperboloid
• Achernar

Weblinks

Wiktionary: ellipsoid of revolution  - forklaringer på betydninger, ordets oprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

1. Yer Beyer, CRC Handbook of Mathematical Sciences, 5. udgave, s. 198.