Tonestruktur (matematisk beskrivelse)
En tonestruktur beskriver et tonesystem ved hjælp af toner og intervaller . Siden oldtiden har lydtilførslen til en musikalsk kultur været gengivet på den ene side ved at specificere tonehøjder og på den anden side ved begrebet interval.
I dag beskrives højder og intervaller ved hjælp af frekvenser og frekvensforhold. Den musikteori af Pythagoras er kendt ved hjælp af proportioner (= snor nøgletal på monochord = reciprokke værdi af frekvensen nøgletal).
Den matematiske undervisning i toner og intervaller er imidlertid mulig uden disse fysiske termer (se beskrivelse af høringspsykologi ). De første kendte hørselspsykologiske beskrivelser af et lydsystem stammer fra Aristoxenus .
Den bestilte pladsplads
Hver tone kan tildeles en frekvens.
- Eksempel: c ' (den stiplede c ) har frekvensen 264 Hz , e' frekvensen 330 Hz, g ' frekvensen 396 Hz og c' ' frekvensen 528 Hz.
Toner kan skelnes i højden. Følgende gælder: Jo højere en tone lyder, jo højere er frekvensen. Fra et matematisk synspunkt er det en (transitiv og trikotomisk) streng totalorden .
- Transitiv betyder: Fra en højere end b og b højere end c følger en højere end c .
- Trikotomisk betyder: For toner a og b gælder følgende: Enten a = b eller en højere end b eller b højere end a .
Det bestilte additivintervallum
Hver anden tone og (med frekvenserne og ) er klart tildelt et interval (med frekvensforholdet ).
- Eksempel: oktav c'c '' har frekvensforholdet 528: 264 = 2, den rene femte c'g 'frekvensforholdet 396: 264 = 3: 2, den store tredje c'e' frekvensforholdet 330: 264 = 5: 4 og den mindre tredjedel e'g 'frekvensforholdet 396: 330 = 6: 5.
For hver indledende tone (med frekvensen ) og for hvert interval (med frekvensforholdet ) tildeles klart en sluttone (med frekvensen ) af intervallet .
- Eksempel: Hvis a 'har frekvensen , har tonen c' ', der lyder en mindre tredjedel med frekvensforholdet højere, frekvensen .
På musikernes sprog tilføjes intervaller, når de optræder efter hinanden. I denne forstand har intervalrummet en additiv struktur.
- Eksempel: større tredjedel + mindre tredjedel = femte .
- 12 femtedele svarer nogenlunde til 7 oktaver . Forskellen er kendt som Pythagoras komma . Man skriver: Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver . Hvis du udfører tre rene større tredjedele efter hinanden (f.eks. Ce-gis-his ), får du et interval (fra c til hans ), der er lidt mindre end oktaven . Forskellen kaldes lille Diësis . Således: mindre Diësis = oktav - 3 større tredjedele .
Tilføjelsen af intervaller svarer til multiplikationen af frekvensforholdene og subtraktionen af intervaller svarer til opdelingen af frekvensforholdene.
- Eksempel: Tilføjelsen af den mindre tredjedel + større tredjedel = femte svarer til multiplikationen .
- Frekvensforholdet for det pythagoranske komma beregnes til og det for den lille Diësis til .
Intervaller kan sammenlignes med hensyn til størrelse. Følgende gælder: jo større intervallet er, desto større er dets frekvensforhold .
Frekvensforholdet stiger eksponentielt.
Eksempel:
interval | Frekvensforhold | interval | Frekvensforhold |
---|---|---|---|
1 oktav | 2 | 1 femte | 3 / 2 |
2 oktaver | 4. | 2 femtedele | 9 / 4 |
3 oktaver | 8. | 3 femtedele | 27 / 8 |
4 oktaver | 16 | 4 femtedele | 81 / 16 |
5 oktaver | 32 | 5 femtedele | 243 / 32 |
••• | ••• |
Fra et matematisk synspunkt er et intervalrum en arkimedisk ordnet kommutativ gruppe .
Intervaller og frekvensforhold
Strengt matematisk kan man formulere:
Der er en funktion fra den additive gruppe af intervaller til den multiplikative gruppe af frekvensforhold .
Kortet er en homomorfisme , dvs. H. hvis to intervaller tilføjes, multipliceres deres frekvensforhold.
- Eksempel : Fra følger: nemlig 5 / 4 6 / 5 = 3 / 2 .
Sådanne funktioner vokser eksponentielt. For eksempel: Fra følger .
Den inverse funktion af er logaritmen til base 2. Det betyder, at størrelsen af et interval kan "måles" som et multiplum af enheden eller underenheden (hvor = ).
- Eksempel : Der følger .
Mål størrelsen på intervaller
Intervaller kan angives som multipla af en oktav. Men subunit er cent ofte brugt.
Det er et logaritmisk mål for frekvensforholdene. Underenheden cent med definitionen 1200 cent = 1 oktav eller 1 lige halvtone = 100 cent muliggør på den ene side en klar idé om størrelsen på forskellige intervaller, hvilket også svarer til den musikalske fornemmelse. Det tillader dog ikke en nøjagtig gengivelse af alle de intervaller, der ikke kommer fra det lige så tempererede system , som f.eks B. alle intervaller for den rene eller mellemtonede tuning (undtagen trivialt, heltalets multipler af oktaven). Disse kan kun repræsenteres cirka, da deres centværdier er irrationelle ( sætning om Lindemann-Weierstrass ).
interval | Frekvensforhold | størrelse |
---|---|---|
1 oktav | 2 | 1200 øre |
2 oktaver | 4. | 2400 øre |
3 oktaver | 8. | 3600 øre |
... | ||
Oktaver | ||
Oktaver | ||
lige halvtone = 1 ⁄ 12 oktav | 100 øre | |
ren mindre tredjedel | 6: 5 | |
ren større tredjedel | 5: 4 | |
perfekt femte | 3: 2 | |
Pythagoras komma | 531441: 524288 | |
lille Diësis | 128: 125 |
- ( = Logaritme til enhver base b> 0, = logaritme til base 2).
Ved at bruge logaritmen ved beregning af centerne bliver multiplikationsstrukturen af frekvensforholdene intervallernes additive struktur igen.
- Eksempel:
- Quinte = mindre tredjedel + større tredjedel ≈ 315.641 cent + 386.314 cent = 701.955 cent.
- Pythagoras komma = 12 femtedele - 7 oktaver ≈ 12 701.955 cent - 7 1200 cent = 23.460 cent.
- mindre Diësis = oktav - 3 større tredjedele ≈ 1200 cent - 3 386,3137 cent ≈ 41,059 cent.
Beregning af intervallets størrelse og frekvensforholdet
Hvis intervallets frekvensforhold, beregnes intervallets størrelse som:
Eksempel: Den perfekte femte har frekvensforholdet på . Derefter beregnes deres størrelse
På den anden side, hvis intervallet er, beregnes frekvensforholdet som:
Eksempel 1: Intervallet for størrelsen har frekvensforholdet på:
Eksempel 2: Den perfekte femte er cirka 702 cent, det er rigtigt . Frekvensforholdet beregnes derefter som følger:
Eksempler på intervalrum
Et intervalrum består af sættet af alle intervaller i tonestrukturen, der skal overvejes kombineret med kombinationen af tilføjelsen af de tilhørende intervaller. Intervalstørrelserne på de enkelte stemninger er forskellige.
I følgende tabeller:
- Ok = oktav (frekvensforhold ),
- H = halvtone (frekvensforhold ),
- Q = femte (frekvensforhold ),
- Q m = ¼ decimalpunkt middelværdi femte (frekvensforhold ),
- T = tredje oktav (frekvensforhold ).
Navnet på intervalrummet | Mellemrum |
---|---|
Det femte systemintervalrum i Pythagoras tuning |
|
Middel-tonsystemet ¼ decimaltegn i femtedele Intervalrum af middeltonetuning |
|
Femte-tredje systemintervalrum med ren tuning |
|
Intervalrummet på tolv niveauer = intervallum med samme humør | |
Intervallet på 53 trin | |
Det altomfattende intervalrum (alle intervaller kan deles efter behov.) |
- Delbarhed af intervaller
Generelt kan du ikke “opdele” intervaller ved at høre. Den "halve femtedel" (350 cent) skal være placeret mellem den mindre og den store tredjedel og er ikke et interval i tuningsystemet, hverken i Pythagoras eller i mellemtonen, ren eller lige tuning. Selv den halve oktav (600 cent) findes ikke i tuningsystemet i Pythagorean, middeltonen eller ren tuning.
Høringen kan dog ganske sikkert skifte fra en nøgle til den “næste højere”; For eksempel i sangen " Tak for denne godmorgen ", hvor det nye vers ofte synges en stor 9/8 hel tone højere, mens der skiftes til den anden tast . Sangernes sikkerhed er ganske vist ikke så stor, at de ikke ville blive væltet af et klaver, der var indstillet til den rigtige temperatur.
Pythagoras stemning
Grundlaget for den pythagoranske tuning er det femte system med følgende intervaller:
interval | skildring | Frekvensforhold | Størrelse i øre |
---|---|---|---|
oktav | Ok (grundinterval) | 2: 1 | = 1200 |
Femte | Q (grundinterval) | 3: 2 | ≈702 |
Hel tone | 2 Q - Ok | 9: 8 | ≈204 |
Pythagoras store tredjedel ( Ditonos ) | 2 hele toner = 4 Q - 2 OK | 81:64 | ≈408 |
Fjerde | Ok - Sp | 4: 3 | 98498 |
Pythagoras halvtone ( Limma ) | Quart -Ditonos = 3 Ok - 5 Sp | 256: 243 | ≈90 |
pythagoras kromatisk halvtone ( apotom ) | Hel tone Limma = 7Q - 4Ok | 2187: 2048 | ≈114 |
Pythagoras komma | 12 Q - 7 OK | 531441: 524288 | ≈23 |
detaljeret tabel |
Mellemtonet humør
Grundlaget for ¼-punkts middeltonetuning er fifth-punkt-middel-tone femte system med følgende intervaller:
interval | skildring | Frekvensforhold | Størrelse i øre |
---|---|---|---|
Oktav ok | Ok (grundinterval) | 2: 1 | = 1200 |
Femte Q m | Q m (grundinterval) | 97697 | |
Store tredjedel | 4 Q m - 2 OK = T | 5: 4 | ≈386 |
Fjerde | Ok - Q m | 3503 | |
Lidt sext | 3 Ok - 4 Q m = Ok - T | 8: 5 | 14814 |
Mindre tredjedel | 2 ok -. 3 sq M | 10310 | |
Fantastisk sext | 3 Q m - Ok | 90890 | |
Hel tone | 2 Q m - Ok | ≈193 | |
Mindre syvende | 2 ok -. 2 sq M | 71007 | |
halvtone | 3 ok -. 5 sq M | 7117 | |
Major syvende | 5 sq m - 2 ok | ≈1083 | |
detaljeret tabel |
Navne på Eulers lernet
I den rene tuning er det ikke nok bare at angive tonebetegnelsen efter notebilledet. Der skal tilføjes en betegnelse, der viser, om de forekommende femtedele og tredjedele er rene. Navnene på Eulers lernet er nyttige til dette:
Rene femtedele i femdelkredsen: ... es bfcgdae ...
Et syntonisk komma lavere ..., es, b, c, g, d, a, e ... (dyb decimal før tonens navn)
Et syntonisk komma højere ... 'es' b 'c' g 'd' a 'e ... (apostrof før tonenavnet)
Eksempel: ren major tredjedel: c, e og perfekt femte c g.
Eksempel: ren C -dur skala: cd, efg, a, h c.
Eksempel: ren A mindre skala :, a, hc, d, efg, a.
Hver hovednøgle har formen: 1 2, 3 4 5, 6, 7 8 eller '1' 2 3 '4' 5 6 7 '8 osv.
Hver mindre nøgle har formen: 1 2 '3 4 5' 6 '7 8 eller, 1, 2 3, 4, 5 6 7, 8 osv. Med "1" for den første tone og "2" for den anden tone osv. skalaen er oppe.
Ren stemning
Grundlaget for den rene tuning er femte-tredjedel-systemet , der består af formens intervaller
- med frekvensforholdene
- består.
De vigtigste intervaller er:
Interval (eksempel) | skildring | Frekvensforhold | Størrelse i øre |
---|---|---|---|
Oktav c c ' | Ok (grundinterval) | 2: 1 | = 1200 |
Femte cg | Q (grundinterval) | 3: 2 | ≈702 |
Major tredje c, e | T (grundinterval) | 5: 4 | ≈386 |
Fjerde jf. | Ok - Sp | 4: 3 | 98498 |
Lille sext c'as | Ok - T. | 8: 5 | 14814 |
Mindre tredje c'er | Q - T | 6: 5 | 16316 |
Major sjette c, a | Ok + T - Q | 5: 3 | ≈884 |
Stor cd med hel tone | 2Q - Ok | 9: 8 | ≈204 |
Lille hel tone d, e | T - (stor hel tone) = Ok + T - 2Q | 10: 9 | ≈182 |
Mindre syvende gf (1. mulighed) | Ok - (stor hel tone) = 2Ok - 2Q | 16: 9 | ≈996 |
Mindre syvende, ag (2. mulighed) | Ok - (lille hel tone) = 2Q - T | 9: 5 | 181018 |
diatonisk halvtone, ef | Quart - T = Ok - Q - T | 16:15 | ≈112 |
kromatisk halvtone c, cis eller d ,, dis |
stor hel tone - diatonisk halvtone = T + 3Q - 2 Ok lille hel tone - diatonisk halvtone = 2T - Q |
135: 128 25:24 |
≈92 ≈71 |
Major syvende kap | Ok - diatonisk halvtone = Q + T | 15: 8 | 881088 |
Syntonisk komma , ee | 2 (store hele toner) - T = 4Q - 2Ok - T | 81:80 | ≈22 |
Lille Diësis ,, gis 'as | Ok - 3T | 128: 125 | ≈41 |
store Diësis ,, fis '' tot | 4 (mindre tredjedele) - Ok = 4Q - 4T - Ok | 648: 625 | ≈63 |
detaljeret tabel |
Superpartikelfraktioner eller overdelte fraktioner er af formen (n = 1,2,3, ...). De enkelte intervaller med sådanne frekvensforholdene er på den femte tredje system: oktav ( 2 / 1 ), femte ( 3 / 2 ), fjerde ( 4 / 3 ), større tredjedel ( 5 / 4 ), mindre tredje ( 6 / 5 ), stor hel tone ( 9 / 8 ), lille hel tone ( 10 / 9 ), diatonisk halvtone ( 16 / 15 ), kromatisk halvtone ( 25 / 24 ) og syntonisk komma ( 81 / 80 ). I det femte-tredje system er tæller og nævner af disse brøker kun produkter af 2, 3 og 5.
Det er vigtigt i denne sammenhæng: Intervaller, hvis frekvensforhold er superpartikelformede, kan ikke deles (især ikke halveret).
For at finde ud af et frekvensforhold for det femtedel-tredje system, hvis basisintervaller intervallet er sammensat, skal man beregne den tredobbelte logaritme.
Eksempel:
ligningen
har den unikke løsning, kaldet "tredobbelt logaritme": og .
Det betyder, at forholdet (se syntonisk komma ) gælder intervallet med frekvensforholdet 81:80 .
Skalaerne for ren tuning i femdelcirklen
Ved modulering til en nabotast ændres to toner, hvoraf den ene er genkendelig med et tegnændring, den anden lidt med et syntonisk komma . Dette kan bedst repræsenteres med navnene på Eulers tonenetværk : For tonen, der lyder et syntonisk komma lavere end x, bruges navnet, x (deep point x). Tilsvarende betegner 'x (apostrof x) den tone, der er et syntonisk komma højere end x. De femtedele i cirklen af femtedele ... som es bfcgda ... er alle rene (frekvensforhold 3: 2).
De rene skalaer i femdelkredsen har altid det samme udseende:
vægt | Skaler toner anført i en tabel | ||||||||||||||||
C -dur | ces | af | ,det | fes | i alt | , som | , b | ces | , A -moll | , som | , b | ces | ,af | ,det | fes | i alt | , som |
G -dur dur | i alt | som | , b | ces | af | ,det | , f | i alt | , E -moll | ,det | , f | i alt | , som | , b | ces | af | ,det |
D -dur | af | det | , f | i alt | som | , b | , c | af | , B -moll | , b | , c | af | ,det | , f | i alt | som | , b |
En flad major | som | b | , c | af | det | , f | , G. | som | , F -moll | , f | , G. | som | , b | , c | af | det | , f |
Es -dur | det | f | , G. | som | b | , c | , d | det | , C -moll | , c | , d | det | , f | , G. | som | b | , c |
B -dur | b | c | , d | det | f | , G. | , a | b | , G -moll | , G. | , a | b | , c | , d | det | f | , G. |
F -dur | f | G | , a | b | c | , d | , e | f | , D -moll | , d | , e | f | , G. | , a | b | c | , d |
C -dur | c | d | , e | f | G | , a | , H. | c | , A -moll | , a | , H. | c | , d | , e | f | G | , a |
G -dur | G | -en | , H. | c | d | , e | , fis | G | , E -moll | , e | , fis | G | , a | , H. | c | d | , e |
D -dur | d | e | , fis | G | -en | , H. | , cis | d | , B -moll | , H. | , cis | d | , e | , fis | G | -en | , H. |
En major | -en | H | , cis | d | e | , fis | , g skarp | -en | , Fis -moll | , fis | , g skarp | -en | , H. | , cis | d | e | , fis |
E -dur | e | f skarp | , g skarp | -en | H | , cis | , dis | e | , c -moll | , cis | , dis | e | , fis | , g skarp | -en | H | , cis |
B -dur | H | cis | , dis | e | f skarp | , g skarp | , ais | H | , Gis -moll | , g skarp | , ais | H | , cis | , dis | e | f skarp | , g skarp |
F -dur | f skarp | g skarp | , ais | H | cis | , dis | ,flødeis | f skarp | , D -moll | , dis | ,flødeis | f skarp | , g skarp | , ais | H | cis | , dis |
C -dur | cis | dis | ,flødeis | f skarp | g skarp | , ais | , hans | cis | , En skarp minor | , ais | , hans | cis | , dis | ,flødeis | f skarp | g skarp | , ais |
De angivne mindre taster er naturlige mindre. I harmonisk minor skal 6. og 7. grader stadig overvejes:
- For, e-moll ,, c og ,, d
- på, b -moll ,, g og ,, a
- kl, f -moll ,, d og ,, e
- i, c -moll ,, a og ,, h
- ved, g -moll ,, e og ,, f skarp
- i, d -moll ,, B og ,, C skarp
- ved, a -moll ,, f skarp og ,, g skarp
- ved, e -moll ,, c skarp og ,, d flad
- i, h -moll ,, G -skarp og ,, a -skarp
- med, F -moll ,, d flad og ,, is
- i, cis -moll ,, en skarp og ,, hans
- i, gis -moll ,, eis og ,, fisis
- kl, D-moll ,, hans og ,, cisis
- ved, en skarp minor ,, f skarp og, g skarp
Ved overgang til mollnøglen skal følgende toner tilføjes
- i ces minor noterne 'eses /' asas / 'heses
- i g -moll noterne 'heses /' eses / 'fes
- i d -moll noterne 'fes /' heses / 'ces
- i a -mol noterne 'ces /' fes / 'ges
- i es -moll tonerne 'gt /' ces / 'des
- i b -moll noterne 'des /' gt / 'a -lejlighed
- i f -moll tonerne 'a flat /' des / 'es
- i c -mol tonerne 'es /' a flat / 'b
- i g -moll noterne 'b /' es / 'f
- i d -mol noterne 'f /' b / 'c
- i a -mol noterne 'c /' f / 'g
- i e -mol noterne 'g /' c / 'd
- i h -moll noterne 'd /' g / 'a
- i f -moll noterne 'a /' d / 'e
- i c -moll noterne 'e /' a / 'h
Centværdierne for tonerne beregnes som følger:
Tilstødende toner, der kun adskiller sig ved skismaet (≈2 øre) er markeret med *. | |||
bind | Størrelse i øre | Hændelse | |
---|---|---|---|
c | = 0 * | i C -dur | |
, hans | ≈2 * | fra C -dur | |
'c | ≈22 | fra d -moll | |
,, cis | ≈71 | ab, e -moll | |
af | ≈90 * | fra en flad dur | |
, cis | ≈92 * | fra D -dur | |
'af | ≈112 * | fra f -moll | |
cis | ≈114 * | fra B -dur | |
,, d | 1161 | fra, f -moll | |
, d | ≈182 | fra F -dur | |
'eses | ≈202 * | i g -moll | |
d | ≈204 * | i C -dur | |
'd | 25225 | fra e -moll | |
,det | ≈273 * | fra G -dur | |
,, dis | ≈275 * | fra, F -moll | |
det | ≈294 * | fra B -dur | |
, dis | ≈296 * | fra E -dur | |
'det | 16316 * | i c -moll | |
dis | 18318 * | fra C -dur | |
,, e | ≈365 | fra, g -moll | |
fes | ≈384 * | fra C -dur | |
, e | ≈386 * | i C -dur | |
'fes | ≈406 * | fra en flad minor | |
e | ≈408 * | fra D -dur | |
'e | 29429 | fra f -moll | |
, f | ≈477 * | fra en flad dur | |
,,flødeis | ≈478 * | fra, g -moll | |
f | ≈498 * | i C -dur | |
,flødeis | ≈500 * | fra F -dur | |
'f | 20520 | fra g -moll | |
,, f skarp | 69569 | fra, a -moll | |
i alt | ≈588 * | fra D -dur | |
, fis | ≈590 * | fra G -dur | |
'i alt | ≈610 * | fra B -mol | |
f skarp | ≈612 * | fra E -dur | |
,, G | 9659 | ab, B -moll | |
, G. | ≈680 * | fra B -dur | |
,, fisis | ≈682 * | ab, en skarp minor | |
G | ≈702 | i C -dur | |
'G | 23723 | fra a -moll | |
, som | ≈771 * | fra C -dur | |
,, g skarp | ≈773 * | fra, b -moll | |
som | 92792 * | fra Es -dur | |
, g skarp | 94794 * | fra A -dur | |
'som | 14814 * | i c -moll | |
g skarp | 16816 * | fra F -dur | |
,, a | 63863 | ab, c -moll | |
, a | ≈884 * | i C -dur | |
,, gisis | ≈886 * | ab, en skarp minor | |
'heses | ≈904 * | fra d -moll | |
-en | ≈906 * | fra G -dur | |
'en | 27927 | fra B -moll | |
, b | ≈975 * | fra D -dur | |
,, ais | ≈977 * | ab, c -moll | |
b | ≈996 * | fra F -dur | |
, ais | ≈998 * | fra B -dur | |
'b | 1018 | i c -moll | |
,, H | 671067 | ab, d -moll | |
ces | 861086 * | fra G -dur | |
, H. | 881088 * | i C -dur | |
'ces | ≈1108 * | fra G -dur | |
H | ≈1110 * | fra A -dur | |
'H. | 311131 | fra cis -moll | |
,, c | 51157 | fra, e -mol | |
, c | 781178 * | fra Es -dur | |
,, hans | ≈1180 * | ab, D -moll | |
c ' | = 1200 | i C -dur |
Beregningen af centværdierne her kan udføres i henhold til følgende skema. Med p = 1/12 Pythagoras komma ≈ 2,0 cent resulterer den pythagoranske cirkel med femtedele i ... es = 300-3p b = 1000-2p f = 500-pc = 0 g = 700 + pd = 200 + 2p a = 900 + 3p ... arrangeret efter halvtoner:
Peer | Pythagorean | enharmonisk |
---|---|---|
0 | c = 0 | hans = 12p |
100 | cis = 100 + 7p | des = 100-5p |
200 | d = 200 + 2p | eses = 200-10p |
300 | dis = 300 + 9p | es = 300-3p |
400 | e = 400 + 4p | fes = 400-8p |
500 | f = 500-p | is = 500 + 11p |
600 | f skarp = 600 + 6p | tot = 600-6p |
700 | g = 700 + s | asas = 700-11p |
800 | g skarp = 800 + 8p | som = 800-4p |
900 | a = 900 + 3p | heses = 900-9p |
1000 | ais = 1000 + 10p | b = 1000-2p |
1100 | h = 1100 + 5p | ces = 1100-7p |
1200 | c = 1200 | deses = 1200-12p |
Med p = 1 / 12 Pythagoras komma ≈ 2,0 cent og K = syntonisk punkt ≈ 21,5 cent beregnes som:
- ,, cis = (100 + 7p-2K) cents = 71 cents (= interval c ,, cis = interval fra c til ,, cis)
- 'as = 800-4p + K = 814 cent (= interval fra c' as )
- Interval ,, cis 'as = (700-11p + 3K) cents = 743 cent.
Frekvensforhold 2 (700-11p + 3K) / 1200 = 192 / 125
Lige stemning
Grundlaget for lige tuning er intervallet på 12 trin med følgende intervaller:
interval | skildring | Størrelse i øre |
---|---|---|
halvtone | H | = 100 |
Hel tone | 2H | = 200 |
mindre tredjedel | 3H | = 300 |
større tredjedel | 4H | = 400 |
... | ||
detaljeret tabel |
Oktavens opdeling i 53 pladser
Grundlaget for denne stemning er intervallet på 53 trin . Oktaven er opdelt i 53 lige store dele.
På tidspunktet for Zarlinus (1517–1590) lærte man på musikskoler, at den største tredjedel kan være inton i sin helhed, hvilket betyder, at der er afvigelser fra Pythagoras tuning. Det er blevet lært, at skalaen skal indformes på en sådan måde, at dele kan tildeles de følgende intervaller.
- cd = fg = 9 dele (stor hel tone)
- de = ga = 8 dele (lille hel tone)
- ef = hc = 5 dele (diatonisk halvtone)
Hvis du noterer afstanden på skalaen fra C i parentes og afstanden mellem noterne skrevet lavere ned, lyder C -durskalaen:
c(0) 9 d(9) 8 ,e(17) 5 f(22) 9 g(31) 8 ,a(39) 9 ,h(48) 5 c(53)
, e ("lavpunkt e") betyder her i en ændring af Eulers notation : ", e lyder 1/53 oktav lavere end e" osv.
Så her er skalaen opdelt i 53 dele, hvor
große Terz c,e = 17 Teile Quinte = cg = 31 Teile
Skalaerne i cirkel af femtedele er noteret fra c. Niveauet på 53 -skalaen i parentes:
C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) G-Dur: c(0) d(9) ,e(17) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) c(53) D-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) g(31) a(40) ,h(48) ,cis(57) A-Dur: ,cis(4) d(9) e(18) ,fis(26) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) E-Dur: ,cis(4) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) a(40) h(49) ,cis(57) H-Dur: cis(5) ,dis(13) e(18) fis(27) ,gis(35) ,ais(44) h(49) cis(58) Fis-Dur: cis(5) ,dis(13) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) h(49) cis(58) Cis-Dur: cis(5) dis(14) ,eis(22) fis(27) gis(36) ,ais(44) ,his(53) cis(58)
C-Dur: c(0) d(9) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) ,h(48) c(53) F-Dur: c(0) ,d(8) ,e(17) f(22) g(31) ,a(39) b(44) c(53) B-Dur: c(0) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) ,a(39) b(44) c(53) Es-dur: ,c(52) ,d(8) es(13) f(22) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) As-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ,g(30) as(35) b(44) ,c(52) Des-dur: ,c(52) des(4) es(13) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ,c(52) Ges-dur: ces(48) des(4) ,es(12) ,f(21) ges(26) as(35) ,b(43) ces(48) Ces-dur: ces(48) des(4) ,es(12) fes(17) ges(26) ,as(34) ,b(43) ces(48)
Hermann von Helmholtz skriver følgende i sin teori om tonefornemmelser: ”Hvis du vil producere en skala i en næsten præcis naturlig tuning, som tillader ubegrænset modulering, ... kan dette opnås ved at dele oktaven i 53 lige store intervaller, som foreslået af Mercator . "
Ensartet tuning på 53 niveauer
trin | Afstand fra c i cent | ren stemning i øre |
---|---|---|
00 | 0 | c = 0, hans = 2 |
01 | 23 | 'c = 22 hans = 23 |
02 | 45 | ... c skarp = 49 |
03 | 68 | ,, cis = 71 |
04 | 91 | des = 90, cis = 92 |
05 | 113 | 'des = 112 cis = 114 |
06 | 136 | '' des = 133 |
07 | 158 | ,, d = 161 |
08 | 181 | , d = 182 ,, cisis = 184 |
09 | 204 | 'eses = 202 d = 204, cisis = 206 |
10 | 226 | 'd = 225 cisis = 227 |
11 | 249 | ,,, dis = 253 |
12. | 272 | , es = 273 ,, dis = 275 |
13. | 294 | es = 294, dis = 296 |
14. | 317 | 'es = 316 dis = 318 |
15. | 340 | 'er = 337 |
16 | 362 | ,, e = 365 |
17. | 385 | fes = 384, e = 386 |
18. | 408 | 'fes = 406 e = 408 |
19. | 430 | 'e = 429 |
20. | 453 | ,,, eis = 257 '' 'fes = 449 |
21 | 475 | , f = 477 ,, is = 478 |
22. | 498 | f = 498, is = 500 |
23 | 521 | 'f = 520 is = 522 |
24 | 543 | ,,, f skarp = 547 |
25. | 566 | ,, f skarp = 569 |
26 | 589 | tot = 588, f skarp = 590 |
27 | 611 | 'ges = 610 f skarp = 612 |
28 | 634 | "tot = 631 |
29 | 657 | ,, g = 659 |
30. | 679 | , g = 680 ,, fisis = 682 |
31 | 702 | g = 702, fisis = 704 |
32 | 725 | 'g = 723 fisis = 725 |
33 | 747 | ,,, g skarp = 751 |
34 | 770 | , som = 771 ,, g skarp = 772 |
35 | 792 | som = 792, g skarp = 794 |
36 | 815 | 'som = 814 g skarp = 816 |
37 | 838 | "som = 835 |
38 | 860 | ,, a = 863 |
39 | 883 | , a = 884 ,, g skarp = 886 |
40 | 906 | 'heses = 904 a = 906 |
41 | 928 | 'a = 927 g skarp = 929 |
42 | 951 | ,,, ais = 955 |
43 | 974 | , b = 975 ,, ais = 977 |
44 | 996 | b = 996, ais = 998 |
45 | 1019 | 'b = 1018 ais = 1020 |
46 | 1042 | "b = 1039 |
47 | 1064 | ,, h = 1067 |
48 | 1087 | ces = 1086, h = 1088 |
49 | 1109 | 'ces = 1108 h = 1110 |
50 | 1132 | 'h = 1131 |
51 | 1155 | ,, c = 1157 |
52 | 1177 | , c = 1178 ,, his1180 |
53 | 1200 | c = 1200 |
Intervalletabel med sammenligning med den rene stemning
interval | Størrelse i øre | Niveau i 53 -systemet | Størrelse i øre | Forskel præcist |
---|---|---|---|---|
kost. halvtone | 112 | 05 | 113 | -1,48 |
lille hel tone | 182 | 08 | 181 | +1,29 |
stor hel tone | 204 | 09 | 204 | +0,13 |
mindre tredjedel | 316 | 14. | 317 | −1,34 |
større tredjedel | 386 | 17. | 385 | +1,40 |
Fjerde | 498 | 22. | 498 | -0,07 |
Tritone | 590 | 26 | 589 | +0,07 |
Femte | 702 | 31 | 702 | −1,41 |
lille sext | 814 | 36 | 815 | -1,01 |
stor sext | 884 | 39 | 883 | +1,34 |
Mindre syvende I. | 996 | 44 | 996 | −0,14 |
Mindre syvende II | 1018 | 45 | 1019 | −1,27 |
major syvende | 1088 | 48 | 1087 | +1,47 |
oktav | 1200 | 53 | 1200 | 0,00 |
Du kan se her: Alle noter fra femtecirklen nås med en tolerance over for et skisma . Tonerne c og, hans / des og, cis / 'es og dis etc. adskiller sig fra skismaet på 1,95 cent (se tredje kolonne i den første tabel med to toner hver).
53-punkts skalaen i ren tuning ifølge Tanaka
Tanaka Shōhei betragtede følgende 53 skala i sin afhandling i 1890 i rent humør . Han bruger Euler -notationen (med understregninger og øvre linjer i stedet for apostrofer og apostrofer foran tonebetegnelsen).
- Vandrette tonesekvenser er perfekte femtedele med frekvensforholdet 3 / 2 ; for eksempel cgd ...
- Tonesekvenser skråt nedad til venstre er rene større tredjedele med frekvensforholdet 5 / 4 ; for eksempel c 'som' 'fes ...
- Tonesekvenser skråt nedad til højre er rene Kleinterzen med frekvensforholdet 6 / 5 ; for eksempel c 'es' 'ges ...
,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ ,,d ,,a ,,e ,,h ,,fis ,,cis ,,gis ,,dis ,,ais \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ ,f ,c ,g ,d ,a ,e ,h ,fis ,cis \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ as es b f c g d a e \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ 'ces 'ges 'des 'as 'es 'b 'f 'c 'g \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ ''eses ''bb ''fes ''ces ''ges ''des ''as ''es ''b
Hvis man forlænger disse vandrette og skrå tonesekvenser, kan man falde tilbage på toneforsyningen i 53 -skalaen, hvis man forveksler toner - omend numerisk forskellige - enharmoniske "skismatiske" (± S) eller "kleismatiske" (± K).
S : Skismatisk forvekslede toner - for eksempel er hans -c eller h -'ces osv. Forskellige med ét skisma = Pythagoras komma - Syntonisk komma ≈ 2 cent.
K : Kleismatisk forvekslede toner - f.eks. '' 'Des - ,,, c skarpe eller' '' fes - ,,, eis eller c - ,,,,,, hisis osv. Adskiller sig med en Kleisma = 2 oktaver - 6 ( mindre tredjedele) - fjerde = 6 større tredjedele - 5 kvintaler + oktav ≈ 8 cent.
For eksempel:
- I sekvensen af femtedel cgdaeh kan man erstatte h med 'ces med en unøjagtighed af et skisma.
- I sekvensen af større tredjedele c 'som' 'fes' '' des kan man erstatte '' '' med ,,, cis med en unøjagtighed af en Kleisma.
- I den lille sekvens c 'es' 'ges' 'bb (Tanakas stavning bb = heses) kan' 'bb erstattes af ,,,, ais med en unøjagtighed af en Kleisma.
Forklaring af den originale tabel af Tanaka: Hvis du fortsætter parallelogrammet i alle retninger, får du:
øverst en ekstra note til højre og venstre i rækken af femtedele plus linjen ovenfor
,,,,dis ,,,,ais ,,,,eis ,,,,his ,,,,fisis ,,,,cisis ,,,,gisis ,,,,disis ,,,,aisis ,,,,eisis / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / ,,,h ,,,fis ,,,cis ,,,gis ,,,dis ,,,ais ,,,eis ,,,his ,,,fisis ,,,cisis
under en note hver til højre og venstre i rækken af femtedele plus linjen herunder
''asas ''eses ''bb ''fes ''ces 'ges ''des ''as ''es ''b ''f / \ /\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ '''feses '''ceses '''geses '''deses '''asas '''eses '''bb '''fes '''ces '''ges '''des '''as
De enharmoniske mix-ups er ovenfor
,,, h = '' b + KS / ,,, cisis = ,, d + S (K = Kleisma≈8 cent, S = Schisma≈2 cent)
,,,, dis = '' eses + K / ,,,, ais = '' heses + K / ,,,, eis = '' fes + K / ,,,, his = '' ces + K / ,, ,, fisis = '' gt + K
,,, cisis = '' des + K / ,,,, gisis = '' as + K / ,,,, disis = '' es + K / ,,,, aisis = '' b + K / ,,, , eisis = ,,, fis + S
og herunder
'' asas = 'gS /' 'f = ,,, f skarp-K + S
'' 'feses =' 'es-S /' '' ceses = '' bS / '' 'geses = ,,, fis-K /' '' deses = ,,, cis-K / '' 'asas =, ,, g skarp-K / '' 'eses = ,,, dis-K
'bb = ,,, ais-K /' '' fes = ,,, eis-K / '' 'ces = ,,, his + K /' '' ges = ,,, fisis + K / '' 'des = ,, dK + S / '' 'som = ,, aK + S
"Hvis man nøjes med virkelig at lade de to forvirringer forekomme i de ekstreme tilfælde af modulering, dvs. når tonerne bruges uden for grænserne for et parallelogram, tillader 53-trins stigen absolut modulationsfrihed i alle retninger."
Beskrivelse af tonestrukturen med hensyn til høringspsykologi uden akustik
Forståelsen af toner og intervaller kan formidles uden fysiske termer. De første kendte hørpsykologiske matematiske beskrivelser af et lydsystem stammer fra Aristoxenus . Tonehøjden for en bestemt tone kan bestemmes og videregives af en "original" stemmegaffel uden at specificere dens frekvens (svarende til hvordan måleenheden kan bestemmes af den originale måler ). En lærer kan "vise" sin elev, hvad en oktav, en femtedel, en større tredjedel osv. Er uden at gå ind i vibrationernes frekvensforhold. Den bagvedliggende teori forklares nedenfor.
Beskrivelse af tonestrukturen som en algebraisk struktur
En tonestruktur har et sæt toner på den ene side og et sæt intervaller på den anden side , for hvilke følgende regler gælder:
En klar interval af er tildelt til hver tone par .
Omvendt, hvis grundtonen og intervallet er kendt, bestemmes sluttonen entydigt.
Den successive udførelse af intervaller definerer en tilføjelse: er og er derefter .
Intervaller kan sammenlignes: Vi skriver, når slutnoten på er højere end slutnoten med den samme rodnote.
Hverdagsberegning med mængder gælder for intervaller på det additive musikalske niveau . Fra et matematisk synspunkt er intervalrummet en arkimedisk ordnet kommutativ gruppe . Rent auditorisk psykologisk er dette resultatet af oplevelsen af musikalsk praksis.
For at måle den intervalstørrelse, der er egnet som en enhed , skal oktaven med underenheden cents 1200 cent = 1 oktav.
For eksempel er 12 femtedele nogenlunde på størrelse med syv oktaver. Heraf følger det: 12 femtedele ≈ 7 oktaver, dvs. femte ≈ oktav = 700 øre.
Eksempel 1 (oktav = 12 halvtoner)
- Hvis du går 12 femtedele op, får du starttonen igen med en oktav (cirka): 12 femtedele = 7 oktaver. Resultatet er en femtedel = 7 ⁄ 12 oktav = 700 cent . Tilsvarende:
- Hvis du går op til tre større tredjedele, får du (nogenlunde) en oktav. Så større tredjedel = 1 ⁄ 3 oktav = 400 cent . Du kan nu fortsætte med at beregne :
- Mindre tredjedel = femte - større tredjedel = 1 ⁄ 4 oktav = 300 cent og
- Halvtone = større tredjedel - mindre tredjedel = 1 ⁄ 12 oktav = 100 cent .
- Rent psykologisk kan du opdele oktaven (cirka) i 12 halvtoner og repræsentere hvert interval som et multiplum af halvtoner.
Eksempel 2 (oktav = 53 kommaer)
På tidspunktet for Zarlino (16. århundrede) underviste man på musikskoler: Den store hele tone har en størrelse på 9 dele , den lille hele tone på 8 dele og den diatoniske halvtone på 5 dele .
Det følger heraf:
- Oktav = 1200 cent = 3 store hele toner + 2 små hele toner + 2 diatoniske halvtoner = 53 dele
- Major tredjedel = major hel tone + lille hel tone = 17 dele = 385 cent
- mindre tredjedel = større hel tone + diatonisk halvtone = 14 dele = 317 øre
- Femte = større tredjedel + mindre tredjedel = 31 dele = 702 cent
Med denne klassifikation kan proportionerne for den rene intonation af tonetrin let beskrives.
- diatonisk halvtone = 5 dele
- lille hel tone = 8 dele
- Stor hel tone = 9 dele
- formindsket tredje (se eksempel B - G skarp = BA (5 dele) + A G skarp (5 dele) = 10 dele
Denne opdeling af oktaven i 53 dele kan udledes rent matematisk fra to heltalsforhold for de tre intervaller Ok = oktav, Q = femte og gT = større tredjedel uden henvisning til frekvensforholdene. (Bekræftet på spinetten af Neumaier)
- 53 Q = 31 Ok (ingen forskel mellem starttonen og oktaven høres efter 53 femtedele)
- 12 Q - 7Ok = 4Q - 2Ok -gT (ingen forskel mellem syntoniske kommaer og Pythagoras -kommaer kan høres). Ved konvertering er resultatet 8 Q = 5 Ok - gT. Musikalsk fortolkning: ingen forskel mellem G skarp og 'flad. (Den nøjagtige forskel mellem g skarp og 'flad er et skisma = 2 øre.).
Opløst Dette system af ligninger med k = 1 / 53 Ok:
- Ok = 53k
- Q = 31k
- gT = 17k
Nu kan du definere yderligere intervaller og repræsentere dem som multipler af k: For eksempel:
- Fjerde = Ok - Q = 22k
- mindre tredjedel = Q - gT = 14k
- stor hel tone = 2Q - Ok = 9k
- lille hel tone = gT - stor hel tone = 8k
- diatonisk halvtone = gT - mindre tredjedel = 5k
Eksempel 3 (det femte tredje system)
Aksiom : Der er en homomorfisme f fra intervallets additive gruppe med intervallerne Ok = oktav, Q = femte og gT = større tredjedel i den multiplikative gruppe af reelle tal, som gælder:
- f (Ok) = 2
- f (Q) = 3 / 2 og
- f (GT) = 5 / 4
Homomorfisme siger: f (i 1 + i 2 ) = f (i 1 ) • f (i 2 ) og f (r • i) = f (i) r for intervaller i 1 , i 2 og i samt for en reelt tal r.
Til beregning af r og s for Q = r • Ok og gT = s • Ok følger det med underenheden Ok = 1200 cent:
- f (r • Ok) = 2 r = 3 / 2 dvs. Q = log 2 ( 3 / 2 ) Ok = 701.955 cent
- f (s • Ok) = 2 s = 5 / 4 så gT = log 2 ( 5 / 4 ) Ok = 386.314 cent.
Eksempler i detaljer
Intervaller med lige tuning
Frekvensforhold | Interval størrelse i øre | Interval betegnelse |
---|---|---|
1 | 0 | Prim |
100 | lige halvtone | |
200 | lige hel tone | |
300 | lige mindre tredjedel | |
400 | lige større tredjedel | |
500 | lige fjerdedele | |
600 | lige triton | |
700 | lig femte | |
800 | lige mindre sjette | |
900 | lige store sjette | |
1000 | lige mindre syvende | |
1100 | lige store syvende | |
2 | 1200 | oktav |
Pythagoras indstillingsintervaller
Følgende tabel giver et overblik over de intervaller, der kan forekomme i Pythagoras tuning. Hver af intervallerne blev beregnet: C -Cis, C-Des *, CD, C-Dis *, C-Es, CE, ..., Cis -Dis *, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis -Fis,…, Des * -Es, Des * -E,…, D -Dis * , D -Es, DE,… Intervallerne blev derefter sorteret efter deres størrelse i cent. Kun én repræsentant blev valgt med samme intervaller.
I Pythagoras tuning er femtedelene af sekvensen Gb * -Des * -As * -Es-BFCGDAEH-F skarp-C skarp-G skarp-D skarp * -A skarp * ren (frekvensforhold 3: 2).
Bemærk: Tonerne Gb *, Db *, A-flad *, D-skarp *og Ais *er ikke tilgængelige på en 12-punkts skala. De adskiller sig fra deres enharmonisk forvirrede ved det pythagoranske komma.
Hvert interval kan tydeligt repræsenteres som summen af de to grundintervaller oktav og femte.
- Ok = oktav (frekvensforhold 2: 1)
- Q = femte (frekvensforhold 3: 2).
interval | fra C til | Frekvensforhold | i øre | beregning | Interval betegnelse |
---|---|---|---|---|---|
C skarp * | Deses | 524288/531441 | −23.460 | −12Q + 7Ok | Pythagorean formindsket anden = - Pythagoras komma |
EF | Af | 256/243 | 90,225 | −5Q + 3Ok | Pythagorean Limma = Pythagoras lille sekund |
C-Cis | Cis | 2187/2048 | 113.685 | 7Q - 4Ok | Pythagorean apotome = Pythagoras overdreven prim |
C # Eb | Eses | 65536/59049 | 180.450 | −10Q + 6Ok | Pythagoras faldt på tredjepladsen |
CD | D. | 9/8 | 203.910 | 2Q - Ok | stor hel tone = Pythagoras sekund |
Des * -Dis * | Cisis | 4782969/4194304 | 227.370 | 14Q - 8Ok | Pythagoras dobbelt overdreven prim |
Dis * -Ges * | Feser | 16777216/14348907 | 270.675 | −15Q + 9Ok | Pythagoras dobbelt faldt fjerde |
DF | Det | 32/27 | 294.135 | -3Q + 2Ok | Pythagoras mindre tredjedel |
Eb-F skarp | Dis | 19683/16384 | 317.595 | 9Q - 5Ok | Pythagoras overdrevent sekund |
C skarp-F | Fes | 8192/6561 | 384.360 | −8Q + 5Ok | Pythagoras faldt fjerde |
CE | E. | 81/64 | 407.820 | 4Q - 2Ok | Pythagoras store tredjedel = Ditonos |
Ges * -Ais * | Disis | 43046721/33554432 | 431.280 | 16Q - 9Ok | Pythagoras dobbelt overdreven sekund |
C skarp Ges * | Geses | 2097152/1594323 | 474.585 | −13Q + 8Ok | Pythagoras dobbelt faldt femte |
CF | F. | 4/3 | 498.045 | −Q + Ok | Fjerde |
Eb-G skarp | flødeis | 177147/131072 | 521.505 | 11Q - 6Ok | Pythagoras overdreven tredjedel |
EB | Ges | 1024/729 | 588.270 | −6Q + 4Ok | Pythagorean faldt femte |
C-F skarp | F skarp | 729/512 | 611.730 | 6Q - 3Ok | Pythagorean overdreven fjerde = Pythagoras triton |
G skarpe es | Asas | 262144/177147 | 678.495 | −11Q + 7Ok | Pythagorean faldt sjette |
CG | G | 3/2 | 701.955 | Q | Femte |
Eb-Ais * | Fisis | 1594323/1048576 | 725.415 | 13Q - 7Ok | Pythagoras dobbelt forstørret fjerde |
En skarp * -total * | Heseses | 67108864/43046721 | 768.720 | −16Q + 10Ok | Pythagoras dobbelt faldt syvende |
Ec | Som | 128/81 | 792.180 | −4Q + 3Ok | Pythagoras mindre sekst |
C G skarp | G skarp | 6561/4096 | 815.640 | 8Q - 4Ok | Pythagoras overdrevne femtedel |
C skarp B | Øer | 32768/19683 | 882.405 | −9Q + 6Ok | Pythagoras faldt syvende |
CA | EN. | 27/16 | 905.865 | 3Q - Ok | Pythagoras store sjette |
Des * -Ais * | Gisis | 14348907/8388608 | 929.325 | 15Q - 8Ok | Pythagoras dobbelte overfladiske femtedel |
Dis * -des * | ceses | 8388608/4782969 | 972.630 | −14Q + 9Ok | Pythagoras dobbelt formindskede oktav |
CB | B. | 16/9 | 996.090 | −2Q + 2Ok | Pythagoras mindreårige |
Es-cis | Ais | 59049/32768 | 1019.550 | 10Q - 5Ok | Pythagoras overdrevne sjette |
C skarp c | ces | 4096/2187 | 1086.315 | −7Q + 5Ok | Pythagoras formindskede oktav |
CH | H | 243/128 | 1109.775 | 5Q - 2Ok | Pythagoras major syvende |
Cis-des * | deses | 1048576/531441 | 1176.540 | −12Q + 8Ok | Pythagorean reduceret niende (= Ok - Pythagorean formindsket anden) |
Cc | c | 2/1 | 1200 | Okay | oktav |
Intervaller med ¼ decimalpunkt betyder tonetuning
Følgende tabel giver et overblik over de intervaller, der kan forekomme i tuningen i mellemtonen. Hvert af intervallerne blev beregnet: (C) - (Cis), (C) - (Des *), (C) - (D), (C) - (Dis *), (C) - (Es), ( C) - (E), ..., (Cis) - (Dis *), (Cis) - (Eb), (Cis) - (E), (Cis) - (F), (Cis) - (Fis ), ..., (Des *) - (Es), (Des *) - (E),…, (D) - (Dis *), (D) - (Es), (D) - (E) , ... Intervallerne blev derefter sorteret efter størrelse (i cent). Kun én repræsentant blev valgt med samme intervaller.
Femdelerne af sekvensen (Gb *) - (Db *) - (As *) - (Es) - (B) - (F) - (C) - (G) - (D) - (A) - (E ) - (H) - (F skarp) - (C skarp) - (G skarp) - (D skarp *) - (En skarp *) med en fjerdedel af det syntoniske komma (frekvensforhold 81:80) mindre (eller tættere) ) end den perfekte femte. Så disse femtedele har frekvensforholdet
Bemærk: Tonerne (Gb *), (Des *), (As *), (Dis *) og (Ais *) er ikke tilgængelige på en 12-punkts skala. De adskiller sig fra deres enharmonisk forvirrede ved de små Diësis (41 cent). Intervaller af formen, f.eks. (Cis) - (Des *), giver imidlertid et indtryk af de urenheder, der forekommer i enharmoniske blandinger.
Frekvensforholdet i den tredje kolonne er ofte algebraisk-irrationelt. Her betyder
Hvert interval kan tydeligt repræsenteres som summen af de to grundlæggende intervaller i middeltonet femte system.
- Ok = oktav
- Q m = mellemtone femte.
Den største tredjedel T = (C) - (E) kan her repræsenteres som T = 4Q m - 2Ok. Den respektive beregning vises i 4. kolonne.
interval | fra C til | Frekvensforhold | i øre | beregning | Interval betegnelse |
---|---|---|---|---|---|
(Cis) - (Des *) | (Deses) | 128: 125 | 41.059 | −12Q m + 7Ok = −3T + Ok | (større) formindsket anden = lille Diësis |
(C) - (Cis) | (CIS) | (5:16) w 3 | 76.049 | 7Q m - 4Ok = 2T - Q m | kromatisk mellemton |
(E) - (F) | (Af) | (8:25) w 3 | 117.108 | −5Q m + 3Ok = −T - Q m + Ok | diatonisk mellemton |
(Des *) - (Dis *) | (Cisis) | (125: 256) w 2 | 152.098 | 14Q m - 8Ok = 4T - 2Q m | mellemtonet dobbelt overdreven prim |
(CD) | (D) | (1: 2) w 2 | 193.157 | 2Q m - Ok | mellemtone hel tone |
(Cis) - (Es) | (Eses) | (64: 125) w 2 | 234.216 | −10Q m + 6Ok = −3T + 2Q m | mellemtonen faldt tredje |
(Es) - (F skarp) | (Dis) | (25:32) v | 269.206 | 9Q m - 5Ok = 2T + Q m - Ok | middel-tone overdreven sekund |
(D) - (F) | (Det) | (4: 5) v | 310.265 | −3Q m + 2Ok = −T + Q m | mellemtonet mindre tredjedel |
(Ges *) - (Ais *) | (Disis) | 625: 512 | 345.255 | 16Q m - 9Ok = 4T - Ok | mellemtone dobbelt overdreven sekund |
(Dis *) - (Ges *) | (Feser) | (512: 625) m | 351.324 | −15Q m + 9Ok = −4T + Q m + Ok | mid-tone dobbelt reduceret fjerde |
(C) - (E) | (E) | 5: 4 | 386.314 | 4Q m - 2Ok = T | større tredjedel |
(Cis) - (F) | (Fes) | 32:25 | 427.373 | −8Q m + 5Ok = −2T + Ok | faldet fjerde |
(Es) - (G skarp) | (Flødeis) | (25:64) v 3 | 462.363 | 11Q m - 6Ok = 3T - Q m | medium tone overdreven tredje |
(C) - (F) | (F) | (2: 5) w 3 | 503.422 | −Q m + Ok | mellemtonet fjerde |
(Cis) - (Gb *) | (Geses) | (256: 625) w 3 | 544.480 | −13Q m + 8Ok = −3T - Q m + 2Ok | mellemton reduceret dobbelt femte |
(F) - (H) | (F skarp) | (5: 8) w 2 | 579.471 | 6Q m - 3Ok = T + 2Q m - Ok | medium-tone overdreven fjerde, medium-tone triton |
(Cis) - (G) | (Ges) | (16:25) v 2 | 620.529 | −6Q m + 4Ok = −2T + 2Q m | mellemton reduceret femte |
(Des *) - (G skarp) | (Fisis) | (125: 128) m | 655.520 | 13Q m - 7Ok = 3T + Q m - Ok | mellemtone dobbelt overdrevent fjerde |
(C) - (G) | (G) | w | 696.578 | Q m | betyder femte |
(G skarp) - (es) | (Asas) | (128: 125) m | 737.637 | −11Q m + 7Ok = −3T + Q m + Ok | mellemtonen faldt sjette |
(C) - (G skarp) | (G skarp) | 25:16 | 772.627 | 8Q m - 4Ok = 2T | lille overdreven femtedel, dobbelt tredjedel |
(E) - (c) | (Som) | 8: 5 | 813.686 | −4Q m + 3Ok = −T + Ok | lille sjette |
(Des *) - (Ais *) | (Gisis) | (125: 256) w 3 | 848.676 | 15Q m - 8Ok = 4T - Q m | mellemtone dobbelt overdreven femtedel |
(Ais *) - (ges *) | (Kost) | 1024: 625 | 854.745 | −16Q m + 10Ok = 4T + 2Ok | mid-tone dobbelt faldet syvende |
(C) - (A) | (EN) | (1: 2) w 3 | 889.735 | 3Q m - Ok = T - Q m + Ok | mellemtonet major sjette |
(Cis) - (B) | (Bes) | (64: 125) w 3 | 930.794 | −9Q m + 6Ok = −2T - Q m + 2Ok | mellemtonen faldt syvende |
(Es) - (cis) | (Ais) | (25:32) v 2 | 965.784 | 10Q m - 5Ok = 2T + 2Q m - Ok | mellemton overdreven sjette |
(D) - (c) | (B) | (4: 5) w 2 | 1006.843 | −2Q m + 2Ok | mellemtonet mindre syvende |
(G skarp) - (total *) | (ceses) | (512: 625) w 2 | 1047,902 | −14Q m + 9Ok = −4T + 2Q m + Ok | mellemtone dobbelt formindsket oktav |
(C) - (H) | (H) | (5: 4) w | 1082.892 | 5Q m - 2Ok = T + Q m | mellemtonet major syvende |
(Cis) - (c) | (ces) | (32:25) v | 1123.951 | −7Q m + 5Ok = −2T + Q m + Ok | mellemton formindsket oktav |
(Es) - (dis *) | (hans) | 125: 64 | 1158.941 | 12Q m - 6Ok = 3T | overdreven syvende |
(C) - (c) | (c) | 2: 1 | 1200 | Okay | oktav |
Intervaller af rent humør
Følgende tabel giver et overblik over de intervaller, der kan forekomme med ren tuning. Fra den kromatiske skala C 'D' D 'E -flad , EF, F -skarp G' A -flad , A 'B, HC, beregnes hvert af intervallerne: C -, C skarp / C-' Des / CD /C-,, Dis /C- 'Es /C-, E /… / , Cis- ,, Dis /, Cis-'Es /, Cis-, E /, Cis-F /, Cis-, Fis / … / D- ,, Dis / D- 'Es / D-, E / ... (for udtryk se Eulers Tonnetz : " Lavpunkt x" med betegnelsen ", x" betyder ", x" er et syntonisk komma lavere end "x". "Citatpunkt x" med betegnelsen "'x" er et syntonisk komma højere end "x". Den rene C -durskala er skrevet som "CD, EFG, A, B c". Den rene C -moll skala er skrevet som "CD 'Es FG' A 'B c'). Intervallerne blev derefter ordnet efter størrelse (i cent). Kun én repræsentant blev valgt med samme intervaller.
Intervallreferencen er C-dur og C-moll med de rene akkorder C-, EG / C-'Es-G / F-, Ac / F-'As-c / G-, HD og G-'Bd / suppleret med flere Mellemtoner med diatoniske halvtonetrin (frekvensforhold 16/15) C-'Des /, C skarp-D / ,, D-skarp, E / F-'Ges /, F skarp-G / ,, G skarp, A og ,, En skarp, H.
Hvert interval kan tydeligt repræsenteres som summen af de tre grundlæggende intervaller i femte-tredjedel-systemet.
- Ok = oktav
- Q = femte og
- T = større tredjedel.
Den respektive beregning vises i 5. kolonne.
interval | fra C til | Frekvensforhold | i øre | beregning | Interval betegnelse |
---|---|---|---|---|---|
Des-, Cis | , Hans | 32805: 32768 | 1,954 | T + 8Q - 5Ok | mindre forstærket syvende - oktav, skisma |
, Cis-'Des | 'Deses | 2048: 2025 | 19.553 | −2T - 4Q + 3Ok | (mindre) formindsket for det andet, diaschisme |
,, Dis-'Es | '' 'Deses | 128: 125 | 41.059 | -3T + Ok | (større) reduceret anden, lille Diësis |
D - ,, Dis | ,, Cis | 25:24 | 70.672 | 2T - Q | (mindre) overdreven prim, mindre kromatisk halvtone , mindre krom |
C-, Cis | , Cis | 135: 128 | 92.179 | T + 3Q - 2Ok | (større) overdreven prim, stor kromatisk halvtone , stor chroma |
, EF | 'Af | 16:15 | 111.731 | −T - Q + Ok | små sekunder , diatonisk halvtone |
,VÆK | ''Af | 27:25 | 133.238 | −2T + 3Q - Ok | (større) små sekunder, store Limma, |
'Des - ,, Dis | ,,, Cisis | 1125: 1024 | 162,851 | 3T + 2Q - 2Ok | dobbelt overdreven prim |
D-, E. | , D. | 10: 9 | 182.404 | T - 2Q + Ok | lille hel tone (mindre major sekund) |
CD | D. | 9: 8 | 203.910 | 2Q - Ok | stor hel tone = Pythagoras hel tone (større major sekund) |
, E-total | 'Eses | 256: 225 | 223.463 | −2T - 2Q + 2Ok | (mindre) reduceret tredje |
,, G skarp-'B | '' 'Eses | 144: 125 | 244.969 | -3T + 2Q | (major) faldet tredje |
C - ,, Dis | ,, Dis | 75:64 | 274.582 | 2T + Q - Ok | overdreven sekund |
DF | Det | 32:27 | 294.135 | -3Q + 2Ok | Pythagoras mindre tredjedel (uren mindre tredjedel af 2. grad) |
C-'E'er | 'Det | 6: 5 | 315.641 | −T + Q | mindre tredjedel |
,, Dis-'Ges | '' 'Feser | 4096: 3375 | 335.194 | −3T - 3Q + 3Ok | dobbelt faldet fjerde |
'Ges - ,, Ais | ,,, Disis | 10125: 8192 | 366.761 | 3T + 4Q - 3Ok | dobbelt overdreven sekund |
C-, E. | , E. | 5: 4 | 386.314 | T | større tredjedel |
D-Total | 'Fes | 512: 405 | 405.866 | −T - 4Q + 3Ok | (mindre) faldet fjerde |
, A-, cis | E. | 81:64 | 407.820 | 4Q - 2Ok | Pythagoras store tredjedel = Ditonos |
, E-'As | '' Fes | 32:25 | 427.373 | −2T + Ok | faldet fjerde |
'Es - ,, G skarp | ,,,Flødeis | 125: 96 | 456,986 | 3T - Q | (mindre) overdreven tredjedel |
F - ,, Ais | ,,Flødeis | 675: 512 | 478.492 | 2T + 3Q - 2Ok | (major) overdreven tredjedel |
CF | F. | 4: 3 | 498.045 | −Q + Ok | Fjerde |
, C skarp 'i alt | 'Geses | 8192: 6075 | 517.598 | −2T - 5Q + 4Ok | dobbelt reduceret femte |
, Annonce | 'F | 27:20 | 519.551 | −T + 3Q - Ok | uren fjerdedel (i C -dur, 2. graders annonce) |
,, Dis-'As | '' 'Geses | 512: 375 | 539,104 | −3T - Q + 2Ok | dobbelt reduceret femte |
D - ,, G skarp | ,, Fis | 25:18 | 568.717 | 2T - 2Q + Ok | (mindre) overdrevne fjerdedele |
'Ges-, cis | ,, Fisis | 6075: 4096 | 682.402 | 2T + 5Q - 3Ok | dobbelt faldet fjerde |
C-, Fis | , Fis | 45:32 | 590.224 | T + 2Q - Ok | Tritone , overdreven fjerde |
, F skarp c | 'Ges | 64:45 | 609.776 | −T - 2Q + 2Ok | (mindre) faldet femte |
, A-erne | '' Ges | 36:25 | 631,283 | −2T + 2Q | (major) faldet femte |
'Det - ,, Ais | ,,, Fisis | 375: 256 | 660.896 | 3T + Q - Ok | dobbelt overdreven fjerde |
DER | , G. | 40:27 | 680.449 | T - 3Q + 2Ok | uren femte (i C -dur på grund af andengradsakkorden) |
CG | G | 3: 2 | 701.955 | Q | Femte |
, H-'ges | 'Asas | 1024: 675 | 721.508 | −2T - 3Q + 3Ok | (mindre) faldt sjette |
,, Dis-'B | '' 'Asas | 192: 125 | 743.014 | −3T + Q + Ok | (større) faldt sjette |
C - ,, G skarp | ,, G skarp | 25:16 | 772.627 | 2T | lille overdreven femtedel, dobbelt tredjedel |
, C skarp, A | Som | 128: 81 | 792.180 | −4Q + 3Ok | Pythagoras mindre sjette |
F-, cis | , G skarp | 405: 256 | 794.134 | T + 4Q - 2Ok | (større) overdreven femtedel |
, Ec | 'Som | 8: 5 | 813.686 | −T + Ok | lille sjette |
,, Ais-'ges | '' 'Kost | 16384: 10125 | 833.239 | −3T - 4Q + 4Ok | dobbelt faldet syvende |
'Des - ,, Ais | ,,, Gisis | 3375: 2048 | 864.806 | 3T + 3Q - 2Ok | dobbelt overdreven femtedel |
C-, A. | , A. | 5: 3 | 884,359 | T - Q + Ok | major sjette |
Fd | EN. | 27:16 | 905.865 | 3Q - Ok | pyt. major sjette (i 2. akkord) |
, E-'des | '' Bes | 128: 75 | 925.418 | −2T - Q + 2Ok | (major) faldet syvende |
'B - ,, g skarp | ,,, Ais | 125: 72 | 955.031 | 3T - 2Q + Ok | (mindre) overdreven sjette |
C - ,, Ais | ,, Ais | 225: 128 | 976.537 | 2T + 2Q - Ok | (større) overdreven sjette |
Dc | B. | 16: 9 | 996.090 | −2Q + 2Ok | moll moll syvende (= oktav - hel hel tone) |
C-'B | 'B | 9: 5 | 1017.596 | −T + 2Q | major mindre syvende (= oktav - lille hel tone) |
,, Dis-'des | '' ceses | 2048: 1125 | 1037.149 | −3T - 2Q + 3Ok | dobbelt formindsket oktav |
'B - ,, ais | ,,, hans | 125: 64 | 1158.941 | 3T | overdreven syvende |
'B-, a | ,, H | 50:27 | 1066.762 | 2T - 3Q + 2Ok | (mindre) major syvende |
C-, H. | , H. | 15: 8 | 1088.269 | T + Q | major syvende |
, C skarp-c | 'ces | 256: 135 | 1107.821 | −T - 3Q + 3Ok | (mindre) sandsynligvis oktav |
,, Dis-d | '' ces | 48:25 | 1129.328 | −2T + Q + Ok | (større) formindsket oktav |
'Des-, cis | ,, hans | 2025: 1024 | 1180.447 | 2T + 4Q - 2Ok | (større) overm. Syvende |
Cc | c | 2: 1 | 1200 | Okay | oktav |
Intervaller sorteret efter størrelse
Betegnelser:
C-Cis-Des * -D-Dis * -Es-E… Pythagoras skala suppleret med halvtoner, baseret på perfekte femtedele.
(C) - (Cis) - (Des *) - (D) - (Dis *) - (Es) - (E) - (F) - ... ¼ -decimalpunkt middel -tone -skala suppleret med halvtoner, baseret på middelværdi -tone femtedele (696,6 øre).
C-, Cis-'Des-D-,, D-'Es-, E ... Ren skala suppleret med halvtoner (for navne se Eulers Tonnetz : " Lavpunkt x" med navnet ", x" betyder ", x "er en syntonisk Komma lavere end" x "." Citat x "med betegnelsen" 'x "er et syntonisk komma højere end" x ").
- Ok = oktav (frekvensforhold 2)
- Q = femte (frekvensforhold 3: 2)
- Q m = mellemtone femte (frekvensforhold )
- T = større tredjedel (frekvensforhold 5: 4).
Intervaller | fra C til |
Frekvensforhold | i øre | beregning | Interval betegnelse |
---|---|---|---|---|---|
CC | C. | 1: 1 | 0 | Prim | |
, Hans | 32805: 32768 | 1,954 | 8Q + T - 5Ok | Skisme = forskel mellem pythagoraske og syntoniske kommaer | |
'' 'Fes - ,,, is | ,,,,,, Hans er | 15625: 15552 | 8.107 | 6T-5Q + Ok | Kleisma |
, Cis-'Des | 'Deses | 2048: 2025 | 19.553 | −2T - 4Q + 3Ok | (mindre) formindsket for det andet, diaschisme |
'C | 81:80 | 21.506 | 4Q - T - 2Ok | syntonisk komma : forskel d (C -dur) og, d (F -dur) | |
Des * -Cis | Hans | 531441: 524288 | 23.460 | 12Q - 7Ok | Pythagoras komma |
(Dis) - (Es) = ,, Dis -'Es |
(Deses) = '' 'Deses |
128: 125 | 41.059 | −12Q m + 7Ok = −3T + Ok | (i den rene tuning: større) formindsket anden = mindre diësis (forskel fra oktav til 3 større tredjedele). |
'' '' Deses | 648: 625 | 62,565 | 4Q - 4T - Ok | major Diësis = forskel på fire mindre tredjedele til oktaven | |
D - ,, Dis | ,, Cis | 25:24 | 70.672 | 2T - Q | (mindre) overdreven prim, mindre kromatisk halvtone , mindre krom |
(C) - (Cis) | (CIS) | (5:16) w 3 | 76.049 | 7Q m - 4Ok | kromatisk mellemton |
EF | Af | 256: 243 | 90,225 | −5Q + 3Ok | Pythagorean Limma = Pythagoras lille sekund |
C-, Cis | , Cis | 135: 128 | 92.179 | T + 3Q - 2Ok | (større) overdreven prim, stor kromatisk halvtone , stor chroma |
100 | (1:12) Ok | lille lige sekund | |||
, EF | 'Af | 16:15 | 111.731 | −T - Q + Ok | små sekunder, diatonisk halvtone |
C-Cis | Cis | 2187: 2048 | 113.685 | 7Q - 4Ok | Pythagorean apotome = Pythagoras overdreven prim |
(E) - (F) | (Af) | (8:25) w 3 | 117.108 | −5Q m + 3OK | diatonisk mellemton |
,VÆK | ''Af | 27:25 | 133.238 | −2T + 3Q - Ok | (større) små sekunder, store Limma, |
(Des *) - (Dis *) | (Cisis) | (125: 256) w 2 | 152.098 | 14Q m - 8Ok | mellemtonet dobbelt overdreven prim |
'Des - ,, Dis | ,,, Cisis | 1125: 1024 | 162,851 | 3T + 2Q - 2Ok | dobbelt overdreven prim |
C # Eb | Eses | 65536: 59049 | 180.450 | −10Q + 6Ok | Pythagoras faldt på tredjepladsen |
D-, E. | , D. | 10: 9 | 182.404 | T - 2Q + Ok | lille hel tone |
(CD) | (D) | (1: 2) w 2 | 193.157 | 2Q m - Ok | mellemtone hel tone |
200 | (2:12) Ok | stort lig sekund | |||
CD | D. | 9: 8 | 203.910 | 2Q - Ok | stor hel tone = Pythagoras sekund |
, E-total | 'Eses | 256: 225 | 223.463 | −2T - 2Q + 2Ok | (mindre) reduceret tredje |
Des * -Dis * | Cisis | 4782969: 4194304 | 227.370 | 14Q - 8Ok | Pythagoras dobbelt overdreven prim |
(Cis) - (Es) | (Eses) | (64: 125) w 2 | 234.216 | −10Q m + 6Ok | mellemtonen faldt tredje |
,, G skarp-'B | '' 'Eses | 144: 125 | 244.969 | -3T + 2Q | (major) faldet tredje |
(Es) - (F skarp) | (Dis) | (25:32) v | 269.206 | 9Q m - 5Ok | middel-tone overdreven sekund |
Dis * -Ges * | Feser | 16777216: 14348907 | 270.675 | −15Q + 9Ok | Pythagoras dobbelt faldt fjerde |
C - ,, Dis | ,, Dis | 75:64 | 274.582 | 2T + Q - Ok | overdreven sekund |
DF | Det | 32:27 | 294.135 | -3Q + 2Ok | Pythagoras mindre tredjedel (uren mindre tredjedel af 2. grad) |
300 | (3:12) Ok | mindre lige tredjedel | |||
(D) - (F) | (Det) | (4: 5) v | 310.265 | −3Q m + 2Ok | mellemtonet mindre tredjedel |
C-'E'er | 'Det | 6: 5 | 315.641 | −T + Q | mindre tredjedel |
Eb-F skarp | Dis | 19683: 16384 | 317.595 | 9Q - 5Ok | Pythagoras overdrevent sekund |
,, Dis-'Ges | '' 'Feser | 4096: 3375 | 335.194 | −3T - 3Q + 3Ok | dobbelt faldet fjerde |
(Ges *) - (Ais *) | (Disis) | 625: 512 | 345.255 | 16Q m - 9Ok = 4T - Ok | mellemtone dobbelt overdreven sekund. (Disis) = ,,,, Disis. |
(Dis *) - (Ges *) | (Feser) | (512: 625) m | 351.324 | −15Q m + 9Ok | mid-tone dobbelt reduceret fjerde |
'Ges - ,, Ais | ,,, Disis | 10125: 8192 | 366.761 | 3T + 4Q - 3Ok | dobbelt overdreven sekund |
C skarp-F | Fes | 8192: 6561 | 384.360 | −8Q + 5Ok | Pythagoras faldt fjerde |
(C) - (E) = C-, E |
(E) =, E. |
5: 4 | 386.314 | 4Q m - 2Ok = T | større tredjedel |
400 | (4:12) Ok | større lige tredjedel | |||
D-Total | 'Fes | 512: 405 | 405.866 | −T - 4Q + 3Ok | (mindre) faldet fjerde |
, A-, cis | E. | 81:64 | 407.820 | 4Q - 2Ok | Pythagoras store tredjedel = Ditonos |
(Cis) - (F) =, E -'As |
(Fes) = '' Fes |
32:25 | 427.373 | −8Q m + 5Ok = Ok - 2T | faldet fjerde |
Ges * -Ais * | Disis | 43046721: 33554432 | 431.280 | 16Q - 9Ok | Pythagoras dobbelt overdreven sekund |
'Es - ,, G skarp | ,,,Flødeis | 125: 96 | 456,986 | 3T - Q | (mindre) overdreven tredjedel |
(Es) - (G skarp) | (Flødeis) | (25:64) v 3 | 462.363 | 11Q m - 6Ok | medium tone overdreven tredje |
C skarp Ges * | Geses | 2097152: 1594323 | 474.585 | −13Q + 8Ok | Pythagoras dobbelt faldt femte |
F - ,, Ais | ,,Flødeis | 675: 512 | 478.492 | 2T + 3Q - 2Ok | (major) overdreven tredjedel |
CF | F. | 4: 3 | 498.045 | −Q + Ok | Fjerde |
500 | (5:12) Ok | lige fjerdedele | |||
(C) - (F) | (F) | (2: 5) w 3 | 503.422 | −Q m + Ok | mellemtonet fjerde |
, C skarp 'i alt | 'Geses | 8192: 6075 | 517.598 | −2T - 5Q + 4Ok | dobbelt reduceret femte |
, Annonce | 'F | 27:20 | 519.551 | −T + 3Q - Ok | uren fjerdedel (i C -dur, 2. graders annonce) |
Eb-G skarp | flødeis | 177147: 131072 | 521.505 | 11Q - 6Ok | Pythagoras overdreven tredjedel |
,, Dis-'As | '' 'Geses | 512: 375 | 539,104 | −3T - Q + 2Ok | dobbelt reduceret femte |
(Cis) - (Gb *) | (Geses) | (256: 625) w 3 | 544.480 | −13Q m + 8Ok | mellemton reduceret dobbelt femte |
11: 8 | 551.318 | Bare som et supplement: Alphorn Fa (den 11. naturlige tone) | |||
D - ,, G skarp | ,, Fis | 25:18 | 568.717 | 2T - 2Q + Ok | (mindre) overdrevne fjerdedele |
(F) - (H) | (F skarp) | (5: 8) w 2 | 579.471 | 6Q m - 3Ok | medium-tone overdreven fjerde, medium-tone triton |
EB | Ges | 1024: 729 | 588.270 | −6Q + 4Ok | Pythagorean faldt femte |
C-, Fis | , Fis | 45:32 | 590.224 | T + 2Q - Ok | Tritone, overdreven fjerde |
600 | (6:12) Ok | lige triton, overdreven lig fjerde, formindsket lige femte | |||
, F skarp c | 'Ges | 64:45 | 609.776 | −T - 2Q + 2Ok | (mindre) faldet femte |
C-F skarp | F skarp | 729: 512 | 611.730 | 6Q - 3Ok | Pythagorean overdreven fjerde = Pythagoras triton |
(Cis) - (G) | (Ges) | (16:25) v 2 | 620.529 | −6Q m + 4Ok | mellemton reduceret femte |
, A-erne | '' Ges | 36:25 | 631,283 | −2T + 2Q | (major) faldet femte |
(Des *) - (G skarp) | (Fisis) | (125: 128) m | 655.520 | 13Q m - 7Ok | mellemtone dobbelt overdrevent fjerde |
'Det - ,, Ais | ,,, Fisis | 375: 256 | 660.896 | 3T + Q - Ok | dobbelt overdreven fjerde |
G skarpe es | Asas | 262144: 177147 | 678.495 | −11Q + 7Ok | Pythagorean faldt sjette |
DER | , G. | 40:27 | 680.449 | T - 3Q + 2Ok | uren femte (i C -dur på grund af andengradsakkorden) |
'Ges-, cis | ,, Fisis | 6075: 4096 | 682.402 | 2T + 5Q - 3Ok | dobbelt faldet fjerde |
(C) - (G) | (G) | w | 696.578 | Q m | betyder femte |
700 | (7:12) Ok | lig femte | |||
CG | G | 3: 2 | 701.955 | Q | Femte |
, H-'ges | 'Asas | 1024: 675 | 721.508 | −2T - 3Q + 3Ok | (mindre) faldt sjette |
Eb-Ais * | Fisis | 1594323: 1048576 | 725.415 | 13Q - 7Ok | Pythagoras dobbelt forstørret fjerde |
(G skarp) - (es) | (Asas) | (128: 125) m | 737.637 | −11Q m + 7Ok | mellemtonen faldt sjette |
,, Dis-'B | '' 'Asas | 192: 125 | 743.014 | −3T + Q + Ok | (større) faldt sjette |
En skarp * -total * | Kost | 67108864: 43046721 | 768.720 | −16Q + 10Ok | Pythagoras dobbelt faldt syvende |
(C) - (G skarp) = C - ,, G skarp |
(G skarp) = ,, G skarp |
25:16 | 772.627 | 8Q m - 4Ok = 2T | (I den rene tuning mindre) overdreven femtedel, dobbelt tredjedel |
Ec | Som | 128: 81 | 792.180 | −4Q + 3Ok | Pythagoras mindre sjette |
F-, cis | , G skarp | 405: 256 | 794.134 | T + 4Q - 2Ok | (større) overdreven femtedel |
800 | (8:12) Ok | lille lige sjette | |||
, Ec | 'Som | 8: 5 | 813.686 | −T + Ok | lille sjette |
C G skarp | G skarp | 6561: 4096 | 815.640 | 8Q - 4Ok | Pythagoras overdrevne femtedel |
,, Ais-'ges | '' 'Kost | 16384: 10125 | 833.239 | −3T - 4Q + 4Ok | dobbelt faldet syvende |
(Des *) - (Ais *) | (Gisis) | (125: 256) w 3 | 848.676 | 15Q m - 8Ok | mellemfarvet dobbelt overdreven femtedel |
(Ais *) - (ges *) | (Kost) | 1024: 625 | 854.745 | −16Q m + 10Ok = −4T + 2Ok | mid-tone dobbelt faldet syvende. (Kost) = '' '' kost. |
'Des - ,, Ais | ,,, Gisis | 3375: 2048 | 864.806 | 3T + 3Q - 2Ok | dobbelt overdreven femtedel |
C skarp B | Bes | 32768: 19683 | 882.405 | −9Q + 6Ok | Pythagoras faldt syvende |
C-, A. | , A. | 5: 3 | 884,359 | T - Q + Ok | major sjette |
(C) - (A) | (EN) | (1: 2) w 3 | 889.735 | 3Q m - Ok | mellemtonet major sjette |
900 | (9:12) Ok | store lige sjette | |||
CA | EN. | 27:16 | 905.865 | 3Q - Ok | Pythagoras store sjette |
, E-'des | '' Bes | 128: 75 | 925.418 | −2T - Q + 2Ok | (major) faldet syvende |
Des * -Ais * | Gisis | 14348907: 8388608 | 929.325 | 15Q - 8Ok | Pythagoras dobbelte overfladiske femtedel |
(Cis) - (B) | (Bes) | (64: 125) w 3 | 930.794 | −9Q m + 6Ok | mellemtonen faldt syvende |
'B - ,, g skarp | ,,, Ais | 125: 72 | 955.031 | 3T - 2Q + Ok | (mindre) overdreven sjette |
(Es) - (cis) | (Ais) | (25:32) v 2 | 965.784 | 10Q m - 5Ok | mellemton overdreven sjette |
7: 4 | 968.826 | jeg | Bare for at supplere: Den naturlige septime , den 7. naturlige tone, undertiden omtalt som i. | ||
Dis * -des * | Ceses | 8388608: 4782969 | 972.630 | −14Q + 9Ok | Pythagoras dobbelt formindskede oktav |
C - ,, Ais | ,, Ais | 225: 128 | 976.537 | 2T + 2Q - Ok | (større) overdreven sjette |
Dc | B. | 16: 9 | 996.090 | −2Q + 2Ok | Pythagoras mindreårige syvende |
1000 | (10:12) Ok | lille lige syvende | |||
(D) - (c) | (B) | (4: 5) w 2 | 1006.843 | −2Q m + 2Ok | mellemtonet mindre syvende |
C-'B | 'B | 9: 5 | 1017.596 | −T + 2Q | mindre syvende |
Es-cis | Ais | 59049: 32768 | 1019.550 | 10Q - 5Ok | Pythagoras overdrevne sjette |
,, Dis-'des | '' ceses | 2048: 1125 | 1037.149 | −3T - 2Q + 3Ok | dobbelt formindsket oktav |
(G skarp) - (total *) | (ceses) | (512: 625) w 2 | 1047,902 | −14Q m + 9Ok | mellemtone dobbelt formindsket oktav |
'B-, a | ,, H | 50:27 | 1066.762 | 2T - 3Q + 2Ok | (mindre) major syvende |
(C) - (H) | (H) | (5: 4) w | 1082.892 | 5Q m - 2Ok | mellemtonet major syvende |
C skarp c | Ces | 4096: 2187 | 1086.315 | −7Q + 5Ok | Pythagoras formindskede oktav |
C-, H. | , H. | 15: 8 | 1088.269 | T + Q | major syvende |
1100 | (11:12) Ok | større syvende i samme rækkefølge | |||
, C skarp-c | 'ces | 256: 135 | 1107.821 | −T - 3Q + 3Ok | (mindre) formindsket oktav |
CH | H | 243: 128 | 1109.775 | 5Q - 2Ok | Pythagoras major syvende |
(Cis) - (c) | (ces) | (32:25) v | 1123.951 | −7Q m + 5Ok | mellemton formindsket oktav |
,, Dis-d | '' ces | 48:25 | 1129.328 | −2T + Q + Ok | (større) formindsket oktav |
(Es) - (dis *) = 'B - ,, ais |
(hans) = ,,, hans |
125: 64 | 1158.941 | 12Q m - 6Ok = 3T | overdreven syvende |
Cis-des * | deses | 1048576: 531441 | 1176.540 | −12Q + 8Ok | Pythagorean formindsket niende (= Ok - Pythagorean formindsket sek.) |
'Des-, cis | ,, hans | 2025: 1024 | 1180.447 | 2T + 4Q - 2Ok | (major) overdreven syvende |
Cc | 2: 1 | 1200 | Okay | oktav |
Weblinks
Bemærkninger
- ↑ Kilder: Rudolf Wille : Matematik og musikteori. I: Musik og numre. Bonn / Bad Godesberg 1976, s. 233-264; Matematisk sprog i musikteori. I: Årbogsoversigter over matematik. 1980, s. 167-184; Wilfried Neumaier: Hvad er et lydsystem? En historisk-systematisk teori om de hændelige lydsystemer, baseret på de gamle teoretikere Aristoxenus, Eucleides og Ptolemaios, repræsenteret ved hjælp af moderne algebra. Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main ISBN 3-8204-9492-8 .
- ↑ Oplysningerne vedrører den rene tuning , hvor intervaller kan tildeles heltal-relationer.
- ↑ Euclid beregnet med proportioner, nemlig med strengforhold, der svarer til det reciprokke af frekvensforholdene.
- ↑ Afledning: Fra følger og fra følger .
- ↑ Pythagorean Archytas of Taranto (ca. 400 f.Kr.) beviste allerede , at oktaven, den femte og fjerde osv., Ikke kan halveres, hvis der anvendes grundlag for rimelige størrelser.
- ↑ eclass.uoa.gr
- ↑ Bemærk: 700-11p har frekvensforholdet: (2/3) 11 • 2 7 (11 femtedele oktaveret nedad, se asas) ⇒ 2 (700-11p + 3K)/1200 = (2/3) 11 • 2 7 • (81/80) 3 = 192 / 125
- ↑ I Eulers notation - en notation for ren tuning , betyder lavpunktet et fald med det syntoniske punkt = 21,5 cent. Her betyder lavpunktet et fald på 1200/53 øre = 22,6 øre. En afvigelse på 1 cent kan ikke skelnes ved at høre.
- ↑ Oktavens tilnærmelse med femtedele (12 femtedele svarer til cirka 7 oktaver) førte til lige temperering ved at dele oktaven i 12 lige store intervaller. Det har ulempen med meget grove større tredjedele. Den nærmeste tilnærmelse (41 femtedele svarer til cirka 24 oktaver) er bedre for en ligelig opdeling af oktaven i 41 dele, men ikke tilfredsstillende med hensyn til den store tredjedel og forskydningerne omkring et syntonisk komma. Den følgende tilnærmelse af oktaven (53 femtedele svarer til næsten præcist 31 oktaver) har en overbevisende fordel: Hvis du deler oktaven i 53 lige store intervaller, svarer den 31. grad (701.887 cent) meget præcist til den perfekte femtedel (701.955 cent) og - det er særligt vigtigt og ikke til at forvente - det 17. trin (384.906 cent) i den store tredjedel (386.314 cent) og skiftet med et syntonisk komma (21.506 cent) med næsten nøjagtigt et trin (22.642 cent) i denne temperering.
- ^ Hermann von Helmholtz : Teorien om lydfornemmelserne som et fysiologisk grundlag for teorien om musik . Vieweg, Braunschweig 1863, s. 531 (genoptryk: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981), ISBN 3-8102-0715-2 , ( uddrag ). Helmholtz fortsætter: ”Hr. Bosanquet har for nylig brugt en sådan tuning til et harmonium med et symmetrisk arrangeret tastatur. [En elementær traktease om musikalske intervaller og temperament af. RHM Bosanquet, London. Macmillan 1875] ”.
- ↑ Tanaka -bemærkninger: Rameau beregnede Kleisma -intervallet i tabellen på s. 26 i sin bog "Nouveau Système des Musique théorique, Paris 1726.
-
↑ a b c Winfried Neumaier s. 64ff. viser: Allerede Aristoxenus beregnet i det 3. århundrede f.Kr. som beskrevet i dette afsnit. Han beregnede med oktav, femte, fjerde = oktav - femte, hel tone = femte - fjerde og ved hjælp af aksiomet, at hele tonen stadig kan deles, med halvtoner og endda med kvarttoner (men ikke med rene større tredjedele) . Som empirisk værdi "hørte" han: fjerde = 2½ hele toner og baseret på dette en sammenhængende teori. (Euklid genkendt: 2½ hele toner er lidt mindre end den fjerde.)
Ifølge Neumaier kan man f.eks. Stadig kontrollere på spinetten: 53 femtedele = 31 oktaver (ikke mere høreforskel), og dette resulterer derefter i: femte = 31 ⁄ 53 oktav = 702 cent . Så du kan bestemme meget præcise værdier for intervalstørrelser uden akustik. - ↑ Ud over klarhed er dette vigtigt for fortolkningen af historiske beskrivelser af tonesystemet. Ifølge Wilfried Neumaier Hvad er et lydsystem. En historisk-systematisk teori om occidentale tonalsystemer, baseret på de gamle teoretikere Aristoxenus, Eukleides og Ptolemaios, præsenteret med midlerne til moderne algebra (= kilder og undersøgelser af musikhistorien fra antikken til i dag. Bind 9). Peter Lang, Frankfurt am Main m.fl 1986, ISBN 3-8204-9492-8 .
- ↑ Den næste bedre tilnærmelse ville være: 28 større tredjedele = 9 oktaver (næsten ikke forståelige for øret), dvs. større tredjedel = 9 ⁄ 28 oktaver = 386 øre .
-
↑ De nøjagtige værdier for intervallerne i den rene tuning , som beregnes ved hjælp af frekvensforholdene, afviger kun lidt fra de værdier, der er bestemt her:
- større tredjedel (pæn) = 1200 • log 2 ( 5 / 4 ) = 386 øre
- mindre tredjedel (pæn) = 1200 • log 2 ( 6 / 5 ) = 316 øre
- Femte (ren) = 1200 • log 2 ( 3 / 2 ) = 702 cent
-
↑ Afvigelsen fra det rene humør er mindre end et skisma (2 øre ).
- Ok = 1200 cent (Så k = 1.200 / 53 cent = 22.642 cent)
- Q = 1200 * log 2 ( 3 / 2 ) = 701.955 cent cent. 31k = 701.887 øre
- gT = 1200 * log 2 ( 5 / 4 )) = 386,3137 cent. 17k = 384,906 øre
-
↑ Hvis der ikke antages en skalær multiplikation i intervalrummet , gælder definitionen . Denne mindste øvre grænse behøver ikke altid at eksistere. Systemet med femtedele og tredjedele (intervalrummet for alle multipler af Ok, Q og gT) indeholder f.eks. Ikke kun vilkårlige tilnærmelser, fordi det
ikke findes. For eksempel
- 2Q + gt-Ok = 590 cent (triton)
- 6Ok-5Q-8gT = 599,7 øre
- 706Q-285Ok-396gT = 599,999992 øre
- ↑ I modsætning til den rene eller mellemtonede tuning er tonen C sharp i Pythagoras tuning højere end Des eller - bedre kendt - His højere end c. Derfor er noten Deses lavere end C, og intervallet Cis-Deses * eller C-Deses noteres her negativt. Intervallet Cis-des * eller C-deses, der er blevet forøget med en oktav, er her noteret som en pythagoreansk reduceret niende. For at komme fra C skarp til D flad, eller fra His til C, skal du gå tolv femtedele ned og syv oktaver op. Som bekendt opnås det pythagoranske komma som et interval = tolv femtedele op og syv oktaver ned.