Tangent og cotangent

Graf af tangentfunktionen (argument x i radianer )

Diagram over den cotangente funktion (argument x i radianer)

Tangent og cotangent er trigonometriske funktioner og spiller en fremtrædende rolle i matematik og dens anvendelsesområder. Tangens til vinklen er angivet ved, cotangens til vinklen ved . Stavemåderne for tangenten og cotangenten findes også i ældre litteratur . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ tan x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ cot x}$${\ displaystyle \ operatorname {tg} x}$${\ displaystyle \ operatorname {ctg} x}$

definition

Historisk / geometrisk

Definition på enhedens cirkel :
${\ displaystyle {\ overline {DT}} = \ tan b \; \ {\ overline {EK}} = \ cot b}$

Udtrykket "tangent" kommer fra matematikeren Thomas Finck (1561–1656), der introducerede det i 1583. Udtrykket "cotangent" udviklede sig fra complementi tangens , dvs. tangenten til den komplementære vinkel .

Valget af navnet tangent forklares direkte af definitionen i enhedscirklen. Funktionsværdierne svarer til længden af ​​en tangentsektion:

${\ displaystyle {\ overline {DT}} = \ tan b \ qquad \ qquad {\ overline {EK}} = \ cot b}$

En ret trekant med navnene på de tre sider relateret til en variabel vinkel α ved punkt A og en ret vinkel ved punkt C.

I en retvinklet trekant er tangenten til en vinkel længdeforholdet mellem den modsatte katetus og den tilstødende katetus, og den cotangente er længdeforholdet mellem den tilstødende katet og den modsatte katetus : ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ alpha & = {\ frac {l _ {\ text {modsatte side}}} {l _ {\ text {tilstødende}}}} = {\ frac {a} { b}} = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} \\\ barneseng \ alpha & = {\ frac {l _ {\ text {tilstødende side}}} {l _ {\ text { modsatte side}}}} = {\ frac {b} {a}} = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} \ end {aligned}}}$

Det følger straks:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot \ alpha & = {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \\\ tan \ alpha & = {\ frac {1} {\ cot \ alpha}} \ slutning {align}}}$

som

${\ displaystyle \ tan \ alpha = \ cot \ beta = \ cot (90 ^ {\ circ} - \ alpha).}$

Formel - med en række definitioner og værdier

Formelt kan tangentfunktionen ved hjælp af sinus- og cosinusfunktionerne ved

${\ displaystyle \ tan \ colon D _ {\ tan} \ til W,}$ Med ${\ displaystyle \ tan x: = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}}}$

kan defineres, idet værdiområdet er det reelle eller det komplekse tal afhængigt af applikationen . For at forhindre, at nævneren fra at blive nul, de nuller af er cosinus funktion udeladt fra definitionen rækkevidde : ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ cos x}$${\ displaystyle D _ {\ tan}}$

${\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {R} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}$

i det virkelige eller

${\ displaystyle D _ {\ tan} = \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} k \ pi + {\ frac {\ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \}}}$

i komplekset.

Cotangenten kan analogt med dette

${\ displaystyle \ cot \ colon D _ {\ cot} \ to W,}$ Med ${\ displaystyle \ cot x: = {\ frac {\ cos x} {\ sin x}}}$

defineres, hvorved for dets definitionsdomæne

${\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {R} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}$

i det virkelige eller

${\ displaystyle D _ {\ cot} = \ mathbb {C} \ setminus \ {k \ pi \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}}$

i komplekse resultater, hvis det skal sikres, at nævneren ikke er lig med nul. ${\ displaystyle \ sin x}$

For det fælles domæne for og${\ displaystyle \ tan}$${\ displaystyle \ cot}$

${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus {\ Big \ {} {\ frac {k \ pi} {2}} \; {\ Big |} \; k \ in \ mathbb {Z} {\ Big \} }}$

gælder

${\ displaystyle \ cot x = {\ frac {1} {\ tan x}}.}$

ejendomme

Tangentfunktionens oprindelse fra vinkelbevægelsen i enhedens cirkel

periodicitet

Tangenten og cotangenten er periodiske funktioner med periode , så den holder . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ tan (x + \ pi) = \ tan (x)}$

monotoni

Tangent: Stiger strengt monotont i det respektive interval.

Cotangent: falder strengt monotont i det respektive interval.

Symmetrier

Punkt symmetrisk til koordinaternes oprindelse:

${\ displaystyle \ tan (-x) = - \ tan x \ qquad \ qquad \ cot (-x) = - \ cot x}$

nulpunkt

Tangent:	${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$
Cotangent:	${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$

Polakker

Tangent:	${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$
Cotangent:	${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$

Vendepunkter

Tangent:	${\ displaystyle x = n \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$
Cotangent:	${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {1} {2}} + n \ right) \ cdot \ pi \ ,; \ quad n \ in \ mathbb {Z}}$

Både tangentfunktionen og cotangentfunktionen har asymptoter, men ingen spring eller ekstremer.

Vigtige funktionelle værdier

tangent	cotangent	Udtryk	antal værdi
${\ displaystyle \ tan 0 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 90 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 0}$	0
${\ displaystyle \ tan 15 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 75 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 2 - {\ sqrt {3}}}$	0.2679491 ...
${\ displaystyle \ tan 18 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 72 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ textstyle {\ frac {2} {5}} {\ sqrt {5}}}}}$	0,3249196 ...
${\ displaystyle \ tan 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 67 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}$	0.4142135 ...
${\ displaystyle \ tan 30 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 60 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {3}}}$	0,5773502 ...
${\ displaystyle \ tan 36 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 54 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {5-2 {\ sqrt {5}}}}}$	0,7265425 ...
${\ displaystyle \ tan 45 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 45 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 1}$	1
${\ displaystyle \ tan 60 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 30 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$	1.7320508 ...
${\ displaystyle \ tan 67 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + 1}$	2.4142135 ...
${\ displaystyle \ tan 75 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ cot 15 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}}}$	3.7320508 ...
${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ nearrow 90 ^ {\ circ}} \ tan \ alpha}$	${\ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ searrow 0 ^ {\ circ}} \ cot \ alpha}$	${\ displaystyle + \ infty \,}$	Førsteposition

Inverse funktioner

De bijections er opnået ved passende at begrænse domænerne definition :

tangent

${\ displaystyle \ tan \ colon \; \ left] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right [\ to \ mathbb {R}}$.

Din inverse funktion

${\ displaystyle \ operatorname {arctan} \ colon \ mathbb {R} \ to \, \ left] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right [}$

kaldes arctangent og er derfor også bijektiv.

cotangent

${\ displaystyle \ cot \ colon] 0, \, \ pi [\ to \ mathbb {R}}$.

Din inverse funktion

${\ displaystyle \ operatorname {arccot} \ colon \ mathbb {R} \ to \,] 0, \, \ pi [}$

kaldes arccotangent og er derfor også bijektiv.

Asymptoter

Fra de ensidige grænseværdier

${\ displaystyle \ lim _ {x \, \ uparrow \, \ pi / 2} \ tan x = + \ infty}$   og ${\ displaystyle \ lim _ {x \, \ downarrow \, - \ pi / 2} \ tan x = - \ infty}$

resp.

${\ displaystyle \ lim _ {x \ downarrow 0} \ cot x = + \ infty}$   og   ${\ displaystyle \ lim _ {x \ uparrow \ pi} \ cot x = - \ infty}$

udlede grænseværdierne

${\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = {\ tfrac {\ pi} {2}}}$   og ${\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arctan} (y) = - {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

resp.

${\ displaystyle \ lim _ {y \ to + \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = 0}$   og   ${\ displaystyle \ lim _ {y \ to - \ infty} \ operatorname {arccot} (y) = \ pi}$

her. Efter henholdsvis begrænsningen til intervallerne   .   definitionsområderne mindst henholdsvis omkring slutpunkterne . udvide intervallerne igen, og juster værdiområdet, som de to funktioner fortsat støder på ${\ displaystyle \ left] - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ right [}$${\ displaystyle] 0, \, \ pi [}$${\ displaystyle - {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle 0, \, \ pi}$

${\ displaystyle {\ widetilde {\ tan}} \ kolon \, \ venstre [- {\ tfrac {\ pi} {2}}, \, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ højre] \ til { \ overline {\ mathbb {R}}}}$

resp.

${\ displaystyle {\ widetilde {\ cot}} \ colon \, [0, \, \ pi] \ til {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

med som de udvidede reelle tal . ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$

De udvidede funktioner på denne måde er også kontinuerligt reversible.

Serieudvikling

Tangent for | x | <½π (i radianer )

tangent

Den Taylor serie med udviklingen punkt ( Maclaurin serien ) læser til${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle | x | <{\ frac {\ pi} {2}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan x & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot \ left (2 ^ {2n} -1 \ right) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!}} x ^ {2n-1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n + 1}} {\ pi ^ {2n}}} \ cdot \ lambda (2n) \ cdot x ^ {2n-1} \\ & = x + {\ frac {1} {3} } x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + {\ frac {62} {2835}} x ^ {9} + {\ frac {1382} {155925}} x ^ {11} + \ dotsb \ end {aligned}}}$

Her, med den Bernoulli numre og λ (x) er den Dirichlet lambda funktionen nævnt. ${\ displaystyle B_ {n}}$

cotangent

Den Laurent interval er for${\ displaystyle 0 <| x | <\ pi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cot x & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n}} { (2n)!}} X ^ {2n-1} \\ & = {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {3}} x - {\ frac {1} {45}} x ^ {3} - {\ frac {2} {945}} x ^ {5} - {\ frac {1} {4725}} x ^ {7} - {\ frac {2} {93555}} x ^ {9} - \ dotsb \ end {justeret}}}$

Den delvise fraktionsnedbrydning af cotangenen læser for${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi \ cot \ pi x & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1 } {x + k}} + {\ frac {1} {xk}} \ højre) \\ & = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} { \ frac {2x} {x ^ {2} -k ^ {2}}}. \ slut {justeret}}}$

Afledning

Når tangenten og cotangenten er afledt, vises de ellers mindre almindelige trigonometriske funktioner secant og cotangent :

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ tan x = 1 + \ tan ^ {2} x = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x }} = \ sek ^ {2} x}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ cot x = -1- \ cot ^ {2} x = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } x}} = - \ csc ^ {2} x}$

De- derivater kan udtrykkes med polygamma-funktionen : ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ tan x = {\ frac {\ psi _ {n} ({\ tfrac {1 } {2}} + {\ tfrac {x} {\ pi}}) - (- 1) ^ {n} \, \ psi _ {n} ({\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {x} {\ pi}})} {\ pi ^ {n + 1}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ cot x = {\ frac {(-1) ^ {n} \, \ psi _ {n} (1 - {\ tfrac {x} {\ pi}}) - \ psi _ {n} ({\ tfrac {x} {\ pi}})} {\ pi ^ {n + 1}} }}$

Antiderivativer

tangent

${\ displaystyle \ int \ tan x \, \ mathrm {d} x = - \ ln | {\ cos x} | + C}$    med   .${\ displaystyle x \ neq (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}}$   ${\ displaystyle (k \ in \ mathbb {Z})}$

Ved hjælp af de logaritmiske love kan det antiderivative repræsenteres som følger:${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} |}$

${\ displaystyle - \ ln | {\ cos x} | = \ ln | (\ cos x) ^ {- 1} | = \ ln \ left | {\ frac {1} {\ cos x}} \ right | = \ ln | \ sek x |}$

Det betegner den sekant.${\ displaystyle \ sec x}$

cotangent

${\ displaystyle \ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = \ ln | {\ sin x} | + C}$    med   .${\ displaystyle x \ neq k \ pi}$   ${\ displaystyle (k \ in \ mathbb {Z})}$

Kompleks argument

${\ displaystyle \ tan (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = {\ frac {\ sin (2x)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}} + \ mathrm { i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) + \ cosh (2y)}}$   Med ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ cot (x + \ mathrm {i} \! \ cdot \! y) = {\ frac {- \ sin (2x)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)}} + \ mathrm {i} \; {\ frac {\ sinh (2y)} {\ cos (2x) - \ cosh (2y)}}$   Med ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$

Tillægssætninger

Tilføjelsessætningerne for tangent og cotangent er

${\ displaystyle \ tan (x \ pm y) = {\ frac {\ tan x \ pm \ tan y} {1 \ mp \ tan x \ tan y}} \ ,, \ qquad \ cot (x \ pm y) = {\ frac {\ cot x \ cot y \ mp 1} {\ cot y \ pm \ cot x}}}$

Fra tilføjelsessætningerne følger det især for dobbelte vinkler

${\ displaystyle \ tan (2x) = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}} \ ,, \ qquad \ cot (2x) = {\ frac {\ cot ^ {2 } x-1} {2 \ cot x}}}$

Repræsentation af sinus og cosinus ved hjælp af (co) tangenten

Opløsning af identiteter, der allerede er kendt fra afledningsafsnittet ovenfor

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sin ^ {2} x}} = 1+ \ barneseng ^ {2} x}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = 1+ \ tan ^ {2} x}$

efter eller når den er begrænset til den første kvadrant resulterer i en enkel: ${\ displaystyle \ sin x}$${\ displaystyle \ cos x}$

${\ displaystyle \ sin x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}}}$ Til ${\ displaystyle 0 <x \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}}$ Til ${\ displaystyle 0 \ leq x <{\ tfrac {\ pi} {2}}}$

De noget mere komplicerede udvidelser til helheden kan enten repræsenteres kompakt som en grænseværdi ved hjælp af gulvfunktionen eller mere elementær ved hjælp af funktioner defineret i sektioner: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor}$

${\ displaystyle \ sin x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}} \; = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} x}}}, & {\ text { hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ kolon \; 2k \ pi <x <(2k + 1) \ pi \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } x}}}, og {\ text {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ kolon \; (2k-1) \ pi <x <2k \ pi \\ 0, & {\ text { hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ kolon \; x = k \ pi \ ende {tilfælde}}}$

${\ displaystyle \ cos x = \ lim _ {t \ to x} {\ frac {(-1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {\ pi}} + {\ frac {1} {2 }} \ right \ rfloor}} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} t}}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x }}}, og {\ tekst {hvis}} \ findes k \ i \ mathbb {Z} \ kolon \; (4k-1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \\ {\ frac {-1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} x}}}, og {\ text {if}} \ findes k \ in \ mathbb {Z} \ colon \; (4k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} <x <(4k + 3) {\ frac {\ pi} {2}} \\ 0, & { \ text {if}} \ eksisterer k \ i \ mathbb {Z} \ colon \; x = (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}} \ end {cases}}}$

Rationel parametrering

Halvvinklets tangens kan bruges til at beskrive forskellige trigonometriske funktioner gennem rationelle udtryk: er , så er det ${\ displaystyle t = \ tan {\ frac {\ alpha} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, \ quad \ cos \ alpha = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ { 2}}}, \ quad \ tan \ alpha = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}$

Især er

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto \ left ({\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} , {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ højre)}$

en parametrering af enhedens cirkel med undtagelse af punktet (som svarer til parameteren ). En parameterværdi svarer til det andet skæringspunkt mellem den lige forbindelseslinie fra og til enhedscirklen (s. A. Enhedscirklen # Rational parametrization ). ${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle t = \ infty}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle (1,2 t)}$

Anvendelse: tangens og hældningsvinkel

Eksempel på en hældning

Tangenten giver en vigtig figur for lineære funktioner : Enhver lineær funktion

${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; x \ mapsto mx + c}$

har en lige linje som en graf . Tangenten for den (orienterede) vinkel mellem den positive x-retning og den lige linje er hældningen af den lige linje, dvs. H. . Det betyder ikke noget, hvilken af ​​de to halvlinjer du vælger som det andet ben. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m = \ tan \, \ alpha}$

Den skråning af en vej skal også forstås at være tangenten til hældningsvinklen. Eksemplet på billedet til højre viser en hældning på 10% svarende til en hældningsvinkel på ca. 5,7 ° med en tangens på 0,1.

Anvendelse i fysik

Tangent og cotangent kan bruges til at beskrive tidsafhængigheden af hastigheden, når et legeme kastes opad, hvis der antages en turbulent strømning for luftens strømningsmodstand ( Newton-friktion ). Koordinatsystemet er placeret på en sådan måde, at placeringsaksen peger opad. En hastighedsdifferentialeligning af formen med tyngdeacceleration g og en konstant k > 0 gælder derefter. ${\ displaystyle {\ dot {v}} = - g-kv ^ {2}}$

${\ displaystyle v (t) = v_ {g} \ cdot \ cot ({\ sqrt {gk}} t + c) \ quad {\ text {with}} \ quad c = \ operatorname {arccot} \ left ({ \ frac {v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0}$,

hvor er grænsehastigheden, der er nået i tilfælde af luftmodstand . På grund af de nære forhold mellem cotangens og tangens, der er givet ovenfor, kan denne tidsafhængighed lige så let udtrykkes ved hjælp af tangenten: ${\ displaystyle v_ {g} = {\ sqrt {\ frac {g} {k}}}}$

${\ displaystyle v (t) = - v_ {g} \ cdot \ tan \ left ({\ sqrt {gk}} t-c '\ right) \ quad {\ text {with}} \ quad c' = \ arctan \ left ({\ frac {v (0)} {v_ {g}}} \ højre)> 0}$.

Denne løsning gælder, indtil kroppen har nået det højeste punkt i sin bane (dvs. når v = 0, det er til ), hvorefter den hyperbolske tangens skal bruges til at beskrive følgende tilfælde med luftmodstand . ${\ displaystyle t = {\ frac {\ pi / 2-c} {\ sqrt {gk}}} = {\ frac {c '} {\ sqrt {gk}}}}$

Differentialligning

Tangenten er en løsning på Riccati-ligningen

${\ displaystyle w '= 1 + w ^ {2}}$.

Faktorering af højre side giver

${\ displaystyle w '= 1 + w ^ {2} = (w + \ mathrm {i}) (w- \ mathrm {i})}$

med den imaginære enhed . Tangenten (som en kompleks funktion) har de ekstraordinære værdier , : Disse værdier er ikke accepteret, fordi de konstant funktion og opløsninger af differentialligningen og eksistensen og Entydighedssætningen udelukker, at to forskellige løsninger har den samme værdi på det samme sted. ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle - \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle - \ mathrm {i}}$

Se også

• Sinus og cosinus
• Secans og coscans
• Samling af trigonometriformler

Weblinks

Wiktionary: tan  - forklaringer på betydninger, ordets oprindelse, synonymer, oversættelser

Individuelle beviser

1. ↑ Josef Laub (red.) Lærebog i matematik til det øvre niveau i de almindelige gymnasier. 2. bind . 2. udgave. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6 , s. 223.
2. ↑ Brug af reglen om tre er sin / cos = tan / 1.
3. ↑ For den største fælles faktor er denne vinkel ${\ displaystyle 1 {,} 5 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {120}}}$

   ${\ displaystyle {\ begin {align} \ textstyle \ tan \ left (1 {,} 5 ^ {\ circ} \ right) & = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {120}} \ right) = -2 + 3 {\ sqrt {2}} / 2-3 {\ sqrt {3}} / 2 - {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} + { \ sqrt {2}} {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {3}} {\ sqrt {5}} / 2 + {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} {\ sqrt {5 }} / 2 \\ & \ quad + \ left (-15 / 2 + 5 {\ sqrt {2}} - 5 {\ sqrt {3}} - 7 {\ sqrt {5}} / 2 + 5 {\ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} / 2 + 5 {\ sqrt {2}} {\ sqrt {5}} / 2-2 {\ sqrt {3}} {\ sqrt {5}} + { \ sqrt {2}} {\ sqrt {3}} {\ sqrt {5}} \ right) {\ sqrt {1-2 {\ sqrt {5}} / 5}} \\ & = 0 {,} 0261859 \ ldots \ end {align}}}$

4. ↑ ^{a b} De lige linjer og er lodrette asymptoter for tangentfunktionen såvel som vandrette asymptoter for den inverse funktion${\ displaystyle x = - \ pi / 2}$${\ displaystyle x = \ pi / 2}$${\ displaystyle y = \ tan (x)}$${\ displaystyle x = \ operatorname {arctan} (y).}$
5. ↑ ^{a b} De lige linjer og er lodrette asymptoter for den cotangente funktion såvel som vandrette asymptoter for den inverse funktion${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = \ pi}$${\ displaystyle y = \ cot (x)}$${\ displaystyle x = \ operatorname {arccot} (y).}$
6. ↑ Milton Abramowitz , Irene Stegun : Håndbog om matematiske funktioner . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.67
7. ↑ Milton Abramowitz , Irene Stegun : Håndbog om matematiske funktioner . Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4 , 4.3.70