Varignon sæt

Den sæt Varignon (også fastsat af centerfirkanten i) beskriver geometri en egenskab af fire hjørner . Det er opkaldt efter Pierre de Varignon (1654–1722).

formulering

Hvis du forbinder centrene for tilstødende sider af en firkant, får du et parallelogram .

bevis

forudsætning

${\ displaystyle {\ overline {AE}} = {\ overline {EB}}, {\ overline {BF}} = {\ overline {FC}}, {\ overline {CG}} = {\ overline {GD}} , {\ overline {DH}} = {\ overline {HA}}}$

påstand

Kvadraten EFGH er et parallelogram.

Bevisforløb

1. Se på trekanten ABC. Hvis du tager B som center for forlængelse af en centrisk forlængelse , er A kortlagt til E og C til F med en strækningsfaktor på ½. I henhold til billedegenskaberne ved centrisk strækning - billedet er lige og den originale lige linje er parallel - følger det, at AC ∥ EF.
2. På samme måde viser man, at AC ∥ GH, BD ∥ FG og BD∥ HE.
3. Parallelismen er transitiv . Så EF, HG og FG, HE.

De modsatte sider af firkantet EFGH er parallelle, hvilket svarer til definitionen af ​​et parallelogram.

Konklusioner

Omkreds af Varignon -parallelogrammet

Omkredsen af ​​Varignon -parallelogrammet er nøjagtig lige så stor som summen af ​​diagonaler på kvadratet af oprindelsen.

Areal af Varignon -parallelogrammet

Arealet af Varignon -parallelogrammet er halvt så stort som arealet på oprindelsespladsen.

Trivia

Det såkaldte Varignon-apparat er en profanisk anvendelse af de matematiske sætninger og kan bruges til webstedoptimering. Flere placeringer er tegnet i målestok på en bordplade. På disse steder bores der huller igennem hvilke tråde trækkes. Enderne på alle tråde knyttes sammen på toppen af ​​bordet. De relevante vægte hænger på trådene under bordpladen. For eksempel bruges antallet af mennesker eller antallet af indbyggere som vægten til at udtrykke vægtningen af ​​stedet. De kræfter, der nu virker, trækker knuden på pladens overflade til den optimale placering.

Se også

• Commandinos sætning
• Diagonal sæt

litteratur

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Elementary Geometry Experience: En arbejdsbog til selvstændig og aktiv opdagelse . Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0 , s. 76-77
• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Washington 1967, s. 52-54
• Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF) In: Mathematics Teacher , Volume 94, No. 4, April 2001, pp. 316-319
• Peter N. Oliver: Konsekvenser af Varignon Parallelogram Theorem (PDF) I: Mathematics Teacher , bind 94, nr. 5, maj 2001, s. 406-408

Weblinks

• Eric W. Weisstein : Varignons sætning . I: MathWorld (engelsk).
• Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (engelsk)
• Sætning fra Varignon på Matroids Matheplanet
• Varignon parallelogram på cut-the-knot-org

Individuelle beviser

1. ↑ Matematisk prisme. Hentet 17. august 2020 .