Hyperexponentiel fordeling

Den faste blå linje viser sandsynlighedstætheden for en hyperexponentiel fordeling ved hjælp af eksemplet p ₁ = 0,9, p ₂ = 0,1, λ ₁ = 1 og λ ₂ = 20.

Den hypereksponentielle fordeling er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling . I klare vendinger er det en superposition af flere eksponentielle distributioner .

definition

Lad være ( delvist ) uafhængige , eksponentielt fordelte tilfældige variabler med satser og lad være sandsynligheder, hvis sum er lig med 1. Derefter kaldes den tilfældige variabel hyperexponentielt fordelt, hvis den har følgende sandsynlighedstæthed :${\ displaystyle Y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, N}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} f_ {Y_ {i}} (x) = {\ begin {cases} \ sum \ limits _ { i = 1} ^ {N} p_ {i} \ lambda _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} \, x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end {cases}}}$

Klassificering og bemærkninger

I tilfælde af en eksponentiel fordeling er variationskoefficienten (standardafvigelse divideret med den forventede værdi) lig med 1. Udtrykket “hyper” -eksponentiel kommer fra det faktum, at variationskoefficienten her er større end 1 (hvis forskelligt forekommer). I modsætning til dette er det mindre end 1 for den hypoeksponentielle fordeling . Mens den eksponentielle fordeling er den kontinuerlige analog til den geometriske fordeling , er den hypereksponentielle fordeling ikke en analog til den hypergeometriske fordeling . Den hypereksponentielle fordeling er et eksempel på en blandet fordeling . ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Udnyttelsen af ​​en internetforbindelse kan tjene som et applikationseksempel, via hvilket enten (med sandsynlighed og hastighed ) internettelefoni eller (med sandsynlighed og hastighed ) filoverførsler kører, hvorved . Den samlede udnyttelse fordeles derefter hypereksponentielt. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle p + q = 1}$

En given sandsynlighedsfordeling, inklusive slutbelastningsfordelinger , kan tilnærmes med en hypereksponentiel fordeling ved rekursivt at tilpasse forskellige tidsskalaer ( ) ved hjælp af den såkaldte Prony-metode.${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

egenskaber

Integralets linearitet resulterer i:

${\ displaystyle \ operatorname {E} [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx = \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} \ int _ {0} ^ {\ infty} x \ lambda _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \, dx = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {i}} {\ lambda _ {i}}}}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X ^ {2} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} f (x) \, dx = \ sum _ { i = 1} ^ {N} p_ {i} \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2} \ lambda _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \, dx = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {2} {\ lambda _ {i} ^ {2}}} p_ {i} \;.}$

Ved hjælp af forskydningssætningen giver dette variansen:

${\ displaystyle \ operatorname {Var} [X] = \ operatorname {E} \ left [X ^ {2} \ right] - \ operatorname {E} \ left [X \ right] ^ {2} = \ sum _ { i = 1} ^ {N} {\ frac {2} {\ lambda _ {i} ^ {2}}} p_ {i} - \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {i}} {\ lambda _ {i}}} \ højre] ^ {2} = \ venstre [\ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {i}} {\ lambda _ {i}}} \ højre] ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} p_ {i} p_ {j} \ venstre ({ \ frac {1} {\ lambda _ {i}}} - {\ frac {1} {\ lambda _ {j}}} \ højre) ^ {2} \;.}$

Medmindre de alle har samme størrelse, er standardafvigelsen større end den forventede værdi. ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

Det øjeblik frembringende funktion er

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {tX} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} f (x) \, dx = \ sum _ { i = 1} ^ {N} p_ {i} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {tx} \ lambda _ {i} e ^ {- \ lambda _ {i} x} \, dx = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ lambda _ {i}} {\ lambda _ {i} -t}} p_ {i} \;.}$

Se også

• Fasefordeling

Fodnoter og individuelle referencer

1. ↑ LN Singh, GR Dattatreya: Estimering af den hypereksponentielle tæthed med applikationer i sensornetværk . I: International Journal of Distributed Sensor Networks . 3, nr. 3, 2007, s. 311. doi : 10.1080 / 15501320701259925 .
2. ^ A. Feldmann , W. Whitt: Montering af blandinger af eksponentielle til langhale distributioner for at analysere netværkspræstationsmodeller . I: Performance Evaluation . 31, nr. 3-4, 1998, s. 245. doi : 10.1016 / S0166-5316 (97) 00003-5 .
3. ^ HT Papadopolous, C. Heavey, J. Browne: Køteori i fremstillingssystemanalyse og design . Springer, 1993, ISBN 9780412387203 , s.35 .