Radon transformation

Den Radon transformation er en integrerende transformation af en funktion i to variabler. Den linje integralet af funktionen langs alle linjer i den - plan bestemmes. For hver af disse lige linjer kan Radon-transformationen forestilles som en projektion af funktionen på en lige linje vinkelret på den. Radon-transformation er relateret til Fourier-transformation og repræsenterer i to dimensioner en generalisering af Abel-transformationen og et specielt tilfælde af Hough-transformationen . Varianten udvidet til komplekse tal kaldes Penrose-transformation . ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Rf}$${\ displaystyle f (x, y)}$

Radon-transformationen er opkaldt efter den østrigske matematiker Johann Radon . Han introducerede det i 1917 i publikationen Om bestemmelse af funktioner ved hjælp af deres integrerede værdier langs visse manifolder . En vigtig praktisk anvendelse af denne transformation, mere præcist den inverse transformation, er i computertomografi til billedoptagelse.

definition

Lad være kontinuerlig og nul identisk uden for en cirkel med begrænset radius og lad være en lige linje, der er defineret af vinklen til x-aksen og dens afstand fra oprindelsen. Derefter gives Radon-transformationen ved hjælp af linjens integral af langs . ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle Rf (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} f (x, y) \, \ mathrm {d} s}$

Den lige linje kan parametriseres som . Dette betyder, at linieintegralet også kan skrives som ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle (x (t), y (t)) = (r \ cos \ alpha + t \ sin \ alpha, r \ sin \ alpha -t \ cos \ alpha)}$

${\ displaystyle Rf (r, \ alpha) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (r \ cos \ alpha + t \ sin \ alpha, r \ sin \ alpha -t \ cos \ alpha) \, \ mathrm {d} t.}$

Omvendt transformation

Rygtransformationen kan finde sted ved hjælp af den filtrerede rygprojektion eller via omvejen til Fourier-transformation under hensyntagen til centralsektionssætningen .

Det omvendte transformationsproblem er et dårligt stillet problem, fordi løsningen ikke er en kontinuerlig funktion af inputdataene. For at løse problemet med tilstrækkelig nøjagtighed kan reguleringsteknikker eller iterative metoder anvendes.

Anvendelse af Radon Transformation

I tomografi bestemmes integralerne af en funktion ved hjælp af lige linjer, og billeder beregnes ud fra dem ved hjælp af omvendt Radon-projektion. For eksempel bestemmes absorptionen af ​​stråling i computertomografi med røntgenstråler langs en lige linje fra røntgenkilden til en detektor, det vil sige integralet over absorptionen. I stedet for røntgenstråler kan andre stråler såsom gammastråling, som i positronemissionstomografi, også anvendes. I alle disse varianter udføres målingen for et stort antal sådanne lige linjer i et plan, hvori mange detektorer og mange positioner af strålingskilden bevæges rundt om det objekt, der skal omlyses. Radontransformationen af ​​strålingsabsorptionen bestemmes, omend kun for et endeligt antal værdier af de to parametre. Det to-dimensionelle billede kan opnås ud fra disse værdier ved hjælp af den omvendte transformation. Opstilling af flere sådanne todimensionale "sektionsbilleder" resulterer i et tredimensionelt billede.

Testbilleder bruges til at evaluere billeddannelsesalgoritmerne, som vist nedenfor på Shepp-Logan-testbilledet. Shepp-Logan-testbilledet repræsenterer en grafik svarende til den, der findes i medicinsk diagnostik, et forenklet snit gennem det menneskelige hoved:

• Shepp-Logan billedsekvens
• 

  Oprindeligt billede (Shepp-Logan testbillede)

• 

  Radon-transformation af det originale billede.
  Beregnet over 180 ° i trin på 2 °.

• 

  Det omvendte transformerede billede med artefakter forårsaget af den endelige opløsning

Weblinks

• Anvendelse af Radon-transformation til CT-billeder (PDF-fil; 4,07 MB)
• MathWorld-side
• Yderligere forklaringer

Individuelle beviser

1. ↑ Johann Radon: Om bestemmelse af funktioner langs bestemte manifolder . I: Rapporter om forhandlingerne fra Royal Saxon Society of Sciences i Leipzig. Matematisk-fysisk klasse . bånd 69 , 1917, s. 262-277 . 
2. ^ AK Louis: Inverse og dårligt stillede problemer. Teubner, 1989 (kapitel 6.1 og 6.2)