Papyrus Rhind

Venstre ende af forsiden af ​​det største fragment af Rhind Papyrus (nu i British Museum , pBM 10057)

Afspilning af tekstsegmentet, der er synligt i ovenstående figur til højre

Brug af forskelligt farvet blæk i manuskriptet skrevet i hieratisk script (fra højre til venstre) - her med det 41. problem (klik for at forstørre figuren)

Et par linjer under en skitse

Transskription af disse linjer under skitsen til det 48. problem

Den Papyrus Rhind er en gammel egyptisk afhandling skrevet på papyrus om forskellige matematiske emner, som vi nu kalder aritmetik , algebra , geometri , trigonometri og fraktioner . Sammen med den noget ældre, men mindre omfattende Papyrus Moskva 4676, anses den for at være en af ​​de vigtigste kilder til vores viden om matematik i det gamle Egypten og går tilbage til omkring 1550 f.Kr. Dateret.

opdagelse

Papyrus Rhind er opkaldt efter den skotske advokat og antikvarisk Alexander Henry Rhind , der købte den i Luxor , Øvre Egypten i 1858 . Dokumenterne blev sandsynligvis fundet lidt før under ulovlige udgravninger i Thebes- området overfor Luxor vest for Nilen i eller nær Ramesseum , mere præcise omstændigheder kendes ikke.

detaljer

Papyrus blev sandsynligvis lavet i det 16. århundrede f.Kr. Det blev lavet i anden mellemperiode - oprindeligt det 33. regeringsår for Apopi , en konge af det 15. Hyksos- dynasti , er angivet som datoen - og betragtes stort set som en kopi af en papyrus, der er mere end to århundreder ældre, hvilket sandsynligvis er fra regeringen for Amenemhet III. det 12. dynasti i Mellemriget . Kopiisten - en skriftlærer ved navn Ahmose , også Ahmes efter en tidligere transkription - brugte det hieratiske script og fremhævede nogle værdier og listede procedurer med rødt i stedet for sort blæk, såsom sæt skillevægge.

I dag er papyrus kun tilgængelig i form af fragmenter af en rulle over 5 meter lang og ca. 32 cm bred, som er skrevet på begge sider. I British Museum opbevares to stykker på 295,5 cm og 199,5 cm længde (1865 opgøres med nr. 10057 eller 10.058); afstanden mellem de to anslås til at være ca. 18 cm. Ud over nogle tabeller giver papyrus en række forskellige matematiske problemer med eksempler på løsninger; afhængigt af optællingsmetoden er der i alt 84 eller 87 eller 91 opgaver. Teksten kunne kun dechifreres og oversættes i slutningen af ​​det 19. århundrede e.Kr.; dens matematiske udsagn er blevet dechifreret og gjort tilgængelige siden begyndelsen af ​​det 20. århundrede.

Med hensyn til indhold kan manuskriptet opdeles i tre sektioner. Efter titlen er der i begyndelsen af ​​den første del en længere tabel, der viser brøkdel ² / _n som en sum af originale brøker for alle ulige tal  n fra 3 til 101 efterfulgt af en kort tabel for n fra 2 til 9 af fraktionen ⁿ / ₁₀ . Derefter dækkes 40 aritmetiske og algebraiske problemer. Den anden del introducerer 20 geometriske problemer og beskæftiger sig med volumen og areal af forskellige figurer samt forholdet mellem højde og side af kroppen af ​​en pyramide som dens hældning. To dusin andre problemer udgør den tredje del, ud over beregninger, der vedrører produktionen af ​​brød og øl samt fodring af fjerkræ og kvæg, gives der en gåde om katte og mus.

Omtrentlig værdi for området for en cirkel

En cirkel inden for en firkant, der er divideret med et gitter.
Cirkelens diameter er så lang som den ene side af den omgivende firkant - hvis den er 9, har en lille firkant en sidelængde på 3.

Problemerne behandlet i anden del af Rhind Papyrus inkluderer også arealberegninger for en cirkel. I den 48. opgave beskriver Ahmes, hvordan han beregner arealet af en cirkel indskrevet i en firkant . Fra dagens perspektiv kan dette forstås som en tilnærmelse af antallet af cirkler . På baggrund af beregningsreglen i papyrus ved siden af ​​en skitse (se fjerde og femte illustration ovenfra) rekonstruerede Kurt Vogel de underliggende overvejelser i 1928.${\ displaystyle \ pi}$

Ahmes deler først siderne af firkanten i tredjedele og vinder således ni lige mindre firkanter med sidelængden på 3 enheder. Så afskærer han halvdelen af ​​de fire hjørneceller og støder på figuren af ​​en uregelmæssig ottekant. Denne ottekant består af fem fulde og fire halve firkanter for det samlede areal på 7 af de små firkanter, hver med 3 ² = 9 arealenheder og har således arealet på 7 • 9 = 63 kvadratiske enheder. Det er naturligvis kun lidt mindre end cirklen - for dets område antager Ahmes derfor indholdet af 64 = 8 • 8 kvadrat enheder, hvilket ikke er mindre.

Således indstilles arealet af en cirkel med diameteren 9 lig med arealet af en firkant med sidelængden 8. Dette resulterer i cirka indholdet af det cirkulære område med en radius på ⁹ ⁄ ₂${\ displaystyle A_ {K}}$${\ displaystyle r}$

over ${\ displaystyle A_ {K} = r ^ {2} \ cdot \ pi}$

så og dermed ca.${\ displaystyle (9/2) ^ {2} \ cdot \ pi \ ca. 8 ^ {2}}$${\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {8 ^ {2}} {(9/2) ^ {2}}} = \ left ({\ frac {16} {9}} \ right) ^ {2} \ ca. 3 {,} 16049 ..}$

Den på denne måde bestemte værdi savner antallet ( pi ) i absolutte tal med ca. 0,01890 og relativt med mindre end en procent (0,602%). I det gamle egyptiske nummersystem er denne værdi ikke repræsenteret som en decimal, men som en sum af forfædres brøker: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {16} {9}} \ right) ^ {2} = {\ frac {256} {81}} = 3 + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {27}} + {\ frac {1} {81}} \ approx \ pi}$

For den procedure, der er gengivet i Papyrus Rhind, kan tilnærmelsen til antallet af cirkler beregnes ud fra forholdet mellem arealet af en indskrevet cirkel og dens omkringliggende firkant, ${\ displaystyle \ pi}$

der , så dengang og dermed${\ displaystyle A_ {Q} = r ^ {2} \ cdot 4}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {K}} {A_ {Q}}} = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {(2r) ^ {2}}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$${\ displaystyle \ pi = 4 \ cdot {\ frac {A_ {K}} {A_ {Q}}} \ ca. 4 \ cdot {\ frac {64} {81}}}$

Cirklen indskrevet i en firkant med 81 arealenheder omfatter faktisk omkring 63.617 arealenheder. Som en tilnærmelse , der er beskrevet af Ahmes fremgangsmåde angår en cirkel til en firkant af 9 • 9, medierer det via en ottekantet figur og svarer dens område til et kvadrat på 8 • 8 - som sandsynligvis kan ses som et tidligt forsøg på at kvadrere cirkel . Overfladen ligestilling af et kvadrat med et cirkulært område blev derfor formodet når sidelængde på ⁸ / ₉ er deres diameter, så en niendedel er lavere.

En cirkel kan tegnes i et vinkelret gitter på en sådan måde, at den cirkulære cirkulære linje skærer otte gitterpunkter, som er kvartpunkterne på siderne af en firkant, der ser ud til at være næsten det samme område som det cirkulære område.
I tilfælde af en 8 × 8 firkant med 64 enheder areal måler cirkeldiameteren ca. 9 enheder.

Men forholdet mellem en figurs konturer i et ortogonalt netværk af linjer var allerede kendt for de gamle egyptiske stenhuggere for at overføre et design, der er proportionalt baseret på forholdet mellem skæringspunkter på stenoverfladen, der skal bearbejdes. På denne baggrund fremlagde Hermann Engels en anden antagelse i 1977, som kunne forklare det omtrentlige forhold, der er givet her, baseret på gitteret af kvadrater. Derefter ville man intuitivt tegne en cirkel C (med diameter d ) på en sådan måde, at dens centrum er på en omtrent lige kvadrat F (med sidelængde a ), der består af 4 × 4 delvise firkanter, som skæres otte gange af dette cirkel ved fjerdepunkterne på siderne. Ved overgangen til en endnu finere underopdeling af F (i 8 × 8 ensartede underkvadrater) er indholdet af kvadratet F derfor 64 sådanne arealeenheder, mens indholdet af cirklen faktisk er omkring 62,8 arealenheder - og at være skrevet nøjagtigt i en firkant U med 80 arealenheder er - fordi

trekanten centrum punkt-halvering punkt-kvart punkt sæt cirkel radius og firkantet side i forholdet og${\ displaystyle r ^ {2} = ({\ frac {a} {2}}) ^ {2} + ({\ frac {a} {4}}) ^ {2} = 5 \, ({\ frac {a} {4}}) ^ {2}}$

med for diameterresultaterne${\ displaystyle d = 2r = 2 ({\ sqrt {5}} \ cdot {\ frac {a} {4}}) \ ca. 1 {,} 118 \; a}$

off derefter${\ displaystyle A_ {C} = \ pi r ^ {2} = \ pi ({\ sqrt {5}} \ cdot {\ frac {a} {4}}) ^ {2} = \ pi \ cdot {\ frac {5 \, a ^ {2}} {16}} \ ca. 0 {,} 982 \; a ^ {2}}$

for længdeenheder således for enheder af området,${\ displaystyle a = 8}$${\ displaystyle A_ {C} = 20 \, \ pi \ cirka 62 {,} 832 ..}$

samt for , så henholdsvis${\ displaystyle d ^ {2} = 4r ^ {2} = 4 \ cdot 5 \, ({\ frac {8} {4}}) ^ {2} = 80}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {C}} {A_ {U}}} = {\ frac {20 \, \ pi} {80}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {C}} {r ^ {2}}} = {\ frac {20 \, \ pi} {20}} = \ pi.}$

Men diameteren er mindre end 9 i tilfælde af en cirkel C, som skal indgives i en firkant U på 80 overfladenheder (lysegul).
En sammenligning af de (grå og gule) underområder kan antyde, at denne firkant er lig med arealet til summen af ​​firkanten F (64) plus en 4 × 4 firkant (16) - Pythagoras var bekendt med dette forhold.

I tilfælde af en fejlagtig antagelse om, at arealet af cirklen C ville have det samme areal som kvadratet F, er fejlen for indikationen af ​​cirkelarealet (“64 enheder”) næsten to procent ( 1,825%). På den anden side, hvis du overvejer det faktiske indhold af det konstruerede cirkulære område og derefter tager højde for forholdet mellem sidelængde og diameter,

i resultat , derfor , omtrent med estimatet for at være indhold, mistede vi så med ca. 1,234% - præcis ¹ / ₈₁ - fordi stedet for 20 area enheder.${\ displaystyle a = 8}$${\ displaystyle d = 4 \ cdot {\ sqrt {5}} \ ca. 8 {,} 944}$${\ displaystyle d \ ca. 9}$${\ displaystyle a \ approx {\ frac {8} {9}} \, d}$${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle (9/2) ^ {2} = 20.25}$

Hvis man derefter anvender den omtrentlige værdi som beskrevet ovenfor , estimeres det faktiske areal på (≈ 62.832) noget for højt med tilnærmelsen - men resultatet svarer nu til den forkerte antagelse: “64 enheder”. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle (16/9) ^ {2}}$${\ displaystyle A_ {C} = r ^ {2} \ cdot \ pi = 20 \, \ pi}$${\ displaystyle A \ approx (9/2) ^ {2} \ cdot (16/9) ^ {2}}$

Når man ser på en cirkel i et firkantet netværk, som det var almindeligt at overføre træk til overflader, der skulle bearbejdes, ville man få en meget enkel måde - med forkerte antagelser og grove dimensioner - en simpel beregningsregel for cirkelområdet : "Reducer cirkeldiameteren omkring en niende, så du får siden af ​​firkanten." - som ofte gælder overraskende godt.

Den anslåede forhold på ⁸ / ₉ anvendes også i problemet 41 (se tredje figur oppefra, forstørret) af Rhind papyrus, hvor beregningen af omfanget af en cylindrisk kornkammer er involveret. Det antages også i beregningsreglen for arealet af en buet overflade, der er gengivet i opgave 10 i den ældre Moskva Papyrus 4676 ; Her er der dog forskellige fortolkninger af, hvilket område der menes nøjagtigt.

Opbevaringssted

De to hovedstykker af Rhind Papyrus (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)), et næsten 3 m og et næsten 2 m langt fragment, har været i besiddelse af British Museum i London siden 1865 , registreret under varenumrene pBM 10057 og pBM 10058. Nogle mindre fragmenter af det manglende mellemstykke (næsten 0,2 m) er bevaret, som ikke blev erhvervet af Rhind på det tidspunkt og nu opbevares i Brooklyn Museum i New York .

Se også

• Papyri Lahun / Kahun
• Matematikhistorie
• Matematik i det gamle Egypten
• Liste over papyri i det gamle Egypten

udgifter

• August Eisenlohr : En matematisk manual for de gamle egyptere (Papyrus Rhind fra British Museum). 2 bind, Hinrichs, Leipzig 1877 ( online ).
• Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 og 10058. Hodder & Stoughton for University Press of Liverpool, London 1923.
• Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 og 10058. 2 bind, Mathematical Association of America, Oberlin [OH], 1927/1929 . (Forkortet ny udgave: National Council of Teachers of Mathematics, Reston [OH] 1979, ISBN 0-87353-133-7 ).
• Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus. En gammel egyptisk tekst . British Museum, London 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (med fotos af papyrus).

litteratur

• Marshall Clagett : Ancient Egyptian Science. En kildebog. Bind 3: Ancient Egyptian Mathematics (= Memoirs of the American Philosophical Society. 232). American Philosophical Society, Philadelphia PA 1999, ISBN 0-87169-232-5 .
• Milo Gardner: Et gammelt egyptisk problem og dets innovative aritmetiske løsning. I: Gaṇita-Bhāratī. Bulletin of the Indian Society for the History of Mathematics. Bind 28, 2006, ISSN  0970-0307 , s. 157-173.
• Richard J. Gillings: Matematik i faraoernes tid. Uforkortet, let korrigeret republikation. Dover Publications, New York NY 1982, ISBN 0-486-24315-X .
• Annette Imhausen : Egyptiske algoritmer. En undersøgelse af de centrale egyptiske matematiske øvelsestekster (= egyptologiske afhandlinger. 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9 .
• Franz von Krbek : Captured Infinity. Forpligtelse til matematikens historie. 2. udgave. Geest & Portig, Leipzig 1954, s. 79 ff.
• Neil MacGregor : A History of the World in 100 Objects . (Oversat fra engelsk af Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck et al., München 2011, ISBN 978-3-406-62147-5 , s. 141-149.

Weblinks

• Rhind Mathematical Papyrus - Artikel med illustrationer af papyrusfragmenterne på British Museums websted.
• Eric W. Weisstein : Rhind Papyrus . MathWorld - En Wolfram-webressource. Hentet 29. januar 2011.
• O'Connor og Robertson: Matematik i egyptisk Papyri .
• Scott W. Williams: Egyptisk matematik Papyri .
• RMP 2 / n-tabel fra den engelske Wikipedia

Individuelle beviser

1. ↑ ^{a b c d} The Rhind Papyrus . i samlingen af den British Museum . Hentet 6. juli 2021 . 
2. ^ ^{A b} Annette Imhausen: Matematik i det gamle Egypten. En kontekstuel historie. Princeton University Press, Princeton NJ et al. 2020, ISBN 978-0-691-20907-4 , s. 65 f., ( Google-bog ).
3. ↑ Sammenlign den fotografiske gengivelse af denne del af Rhind matematiske papyrus på British Museums websted.
4. ↑ se Kurt Vogel : Vorgiechische Mathematik. Del 1: Forhistorie og Egypten (= matematiske studiebøger til matematikundervisning i gymnasier. 1, ZDB -ID 255205-X ). Schroedel et al., Hannover 1958, s. 66.
5. ^ ^{A b} Hermann Engels: Quadraturen i cirklen i det gamle Egypten. I: Historia Mathematica . Bind 4, nr. 2, 1977, s. 137-140, doi : 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5 .
6. ^ Hans Wußing : 6000 års matematik. En kulturel og historisk rejse gennem tiden. Volumen 1: Fra begyndelsen til Leibniz og Newton. Springer, Berlin et al., 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , s. 120 f., ( Begrænset onlineversion (Google Books) ).
7. ^ Fragmenter af Rhind Matematisk Papyrus . online i samlingen af Brooklyn Museum . Hentet 29. august 2016 .