Stedsstørrelse

Den størrelse placering kan bestemmes ved forskellige egenskaber ( område , antal bygninger, etc.). Som regel skelnes der dog efter antallet af indbyggere, og i Tyskland skelnes der mellem byer og kommuner .

Matematisk modellering

For den matematiske modellering af stedets størrelse, lad os betegne befolkningen på det kth-sted som . Andelen af ​​befolkningen på stedet i den samlede befolkning i et land er givet af: ${\ displaystyle N_ {k}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ begin {align} m_ {k} & = {\ frac {N_ {k}} {N}} \ end {align}}}$

Størrelsen på et sted afhænger af, hvor meget andelen vokser over tid. Væksten af ​​et sted bestemmes i det væsentlige af to processer. På den ene side ændres stedets størrelse på grund af beboernes fødsel og død. På den anden side kan det variere på grund af begivenheder som beboernes ankomst og afrejse. Hvis disse begivenheder anses for at være tilfældige , jo større et sted, jo højere er antallet af fødsels- eller dødsbegivenheder pr. Tidsenhed. Det er også rigtigt, at antallet af hændelser af indvandring og udvandring til en placering som en første tilnærmelse er proportional med dens størrelse (fremkomsten af ​​en ny placering betragtes som en sjælden begivenhed og betragtes ikke eksplicit her). Væksten i befolkningen på det kth-sted kan derfor betragtes som ${\ displaystyle m_ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN_ {k}} {dt}} & = \ alpha _ {k} N_ {k} \ end {align}}}$

hvor er vækstraten for befolkningen på det kth sted. De samme processer, der fører til væksten af ​​et sted, bestemmer også væksten i den samlede befolkning i et land. Det samlede antal beboere vokser med det ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN} {dt}} & = \ alpha N \ end {align}}}$

hvor er den gennemsnitlige vækstrate for et lands befolkning. Det bestemmes af den proportionelle sum på tværs af alle placeringer: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = \ Sigma \ alpha _ {k} m_ {k} \ end {align}}}$

Hvis du nu beregner tidsafledningen af ​​andelen af ​​et sted i det samlede antal indbyggere (første ligning), er resultatet:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dm_ {k}} {dt}} & = {\ frac {1} {N}} {\ frac {dN_ {k}} {dt}} - {\ frac {N_ {k}} {N ^ {2}}} {\ frac {dN} {dt}} \ end {justeret}}}$

Ved udskiftning af de ovenstående ligninger for og vi får: ${\ displaystyle {\ tfrac {dN_ {k}} {dt}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {dN} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dm_ {k}} {dt}} & = (\ alpha _ {k} - \ alpha) m_ {k} \ end {align}}}$

Dette er det, der er kendt som en replikatorligning . Den bestemmer den tidsmæssige udvikling af stedets størrelse og siger, at steder konkurrerer om indbyggere. Væksthastigheden (såkaldt fitness) bestemmer vækstsuccesen. Et højt fitnessniveau er generelt knyttet til det faktum, at flere mennesker er født end dør, og flere mennesker flytter ind ét sted end væk fra det. ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$

Fordelingen af ​​stedets størrelse

Hastighedens vækst afhænger af mange faktorer, der kan ændre sig over tid. For eksempel for at opnå en høj vækstrate kan et sted sikre, at der skabes gode betingelser for opdragelse af børn. Økonomiske, kulturelle og sociale faktorer er væsentlige for indvandrernes tilstrømning (afgang) Ændringer over tid fører til udsving i vækstraten . Imidlertid siger replikatorligningen, at ulemper ved væksten af ​​et sted kan betyde fordele for andre steder. Selv om størrelsen på et sted kan variere over tid, forbliver fordelingen af ​​stedets størrelse relativt stabil. For at bestemme dette dannes forskellen fra byens replikatorligninger med den højeste gennemsnitlige vækstrate og andelen og ethvert sted med indekset : ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$${\ displaystyle f (m)}$${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} \ ln (m_ {k})} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ ln (m_ {0})} {\ mathrm {d} t}} & = (\ alpha _ {k} - \ alpha _ {0}) = - \ Delta \ alpha _ {k} \ end {aligned}}}$

med . For at tage hensyn til de tidsmæssige ændringer i vækstraterne kan man bruge en svingende størrelse på formen ${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k}> 0}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k}}$

${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k} = \ Delta \ alpha - \ chi _ {k}}$

skrive. I denne ligning er den gennemsnitlige forskel mellem lokalitetenes vækstrater i forhold til den største vækstrate i den betragtede periode og en svingende variabel, der gennemsnitligt forsvinder og bestemmes af tilfældige, uafhængige begivenheder. Med dette kan ovenstående ligning omdannes til: ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$${\ displaystyle \ chi _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ right) & = (- \ Delta \ alpha + \ chi) {\ frac {m} {m_ {0}}} \ end {justeret}}}$

Indekset er udeladt for at forenkle notationen. Det skal bemærkes, at forskellen normalt er meget lille, dvs. med . Den karakteristiske vækst af et sted afhænger i høj grad af dets størrelse. For små placeringer med en andel kan den første periode i ovenstående ligning overses, fordi den er meget lille med hensyn til størrelsen . Replikatorligningen er reduceret til for små steder ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha \ sim \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon \ ll 1}$${\ displaystyle {\ tfrac {m} {m_ {0}}} <\ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ right) & = \ chi {\ frac {m} {m_ {0}}} \ end {justeret}}}$

Dette er en såkaldt Langevin-ligning , der beskriver en multiplikativ stigning i antallet af indbyggere (Gibrats lov). Antages det, at det kan beskrives med hvid støj, er størrelsesfordelingen af ​​små steder givet af en log-normalfordeling på grund af den centrale grænsesætning : ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle f (m) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma {\ frac {m} {m_ {0}}}}} \ , \ exp {\ Big (} - {\ frac {(\ ln ({\ frac {m} {m_ {0}}}) - \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} {\ Big)} & m> 0 \\ 0 & m \ leq 0 \ end {cases}}}$

med de gratis parametre og . For store steder er du dog nødt til at tage udtrykket i betragtning. For at bestemme den resulterende ændring i størrelsesfordelingen introduceres nye variabler. Lad det være: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x = \ ln \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ right) \ end {align}}}$

og

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x}} & = \ Delta \ alpha \ end {align}}}$

Ved at indsætte det får du:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x }} + \ chi \ end {justeret}}}$

Denne form for en Langevin- ligning er kendt fra diffusionen af browniske partikler . Det beskriver en svingende mængde i et potentiale . Fordelingsfunktionen er beskrevet over en længere periode af en Maxwell-Boltzmann distribution : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x) \ sim \ exp \ left (- {\ frac {V (x)} {D}} \ right) \ end {align}}}$

Det er støjamplituden for den stokastiske funktion og ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V (x) = \ int \ Delta \ alpha \ mathrm {d} x. \ end {align}}}$

Udskiftning i den oprindelige variabel giver:

${\ displaystyle {\ begin {justeret} f (x) \ mathrm {d} x = f (m) dm \ sim \ exp \ left (- {\ frac {1} {D}} \ int \ Delta \ alpha d \ ln \ venstre ({\ frac {\ mathrm {m}} {m_ {0}}} \ højre) \ højre) d \ ln \ venstre ({\ frac {\ mathrm {m}} {m_ {0}} } \ højre) \ ende {justeret}}}$

Endelig giver integrationen en Pareto (power-law) distribution af formularen

${\ displaystyle {\ begin {align} f (m) \ sim {\ frac {1} {{\ frac {m} {m_ {0}}} ^ {1 + a}}} end {align}}}$

med Pareto-eksponenten . Fordelingen af ​​store steder med er således beskrevet af en magtelov efter længe nok tid . For store byer er det kendt at være i en Zipf-distribution med pas. ${\ displaystyle a = {\ tfrac {\ Delta \ alpha} {D}}}$${\ displaystyle m> \ epsilon}$${\ displaystyle a = 1}$

Fordelingen af ​​stedets størrelse er derfor en lognormal fordeling for små steder og en Pareto-fordeling for store steder (byer), som det også findes i empiriske studier. Teorien er, at store steder har en vækstfordel simpelthen på grund af deres størrelse. Denne såkaldte stordriftsfordele kommer, fordi store byer kan drage større fordel af et lands befolkningstilvækst end små byer. Små byer risikerer derimod at forsvinde helt på grund af minimale udsving (på grund af lave fødselsrater og dårlige økonomiske forhold).

Steder efter størrelse

Se også listen over store og mellemstore byer i Tyskland .

litteratur

• X. Gabaix, Y. Ioannides: Udviklingen af bystørrelsesfordelinger i: Handbook of Regional and Urban Economics , V. Henderson and J. Thisse, Eds., Vol. 4, Nordholland, Amsterdam 2004.
• Empirisk fordeling af lokale størrelser. J. Eeckhout, "Gibrats lov for (alle) byer," The American Economic Review, bind. 94, nr. 5, s. 1429-1451, 2004. Online
• Joachim Kaldasch: Evolutionær model for bystørrelsesfordeling, ISRN-økonomi, artikel-ID 498125, 2014 online.

Individuelle beviser

1. ^ Edwin L. Crow, Kunio Shimizu: Lognormale fordelinger: teori og anvendelser . M. Dekker, New York 1988, ISBN 0-8247-7803-0 .