Marshalls efterspørgsel funktion

Den Marshallianske efterspørgselsfunktion (også Walrasian efterspørgselsfunktion ), opkaldt efter økonomen Alfred Marshall (eller Léon Walras ), er en matematisk funktion i mikroøkonomi og især inden for husholdningsteori , der angiver mængden af varer til en given varepris og en given indkomst hvert eneste gode skal indtages, hvis man ønsker at realisere den størst mulige fordel .

Fig. 1. Eksempel på en Marshallian-efterspørgselfunktion i tovaresagen: den mængde, der kræves for vare 1, er afbildet på den vandrette akse og prisen for vare 1 på den lodrette akse. Prisen på ikke betragtes som god 2 holdes konstant i diagrammet, ligesom dit eget budget .

{\ displaystyle p_ {2}}

{\ displaystyle y}

Udgangspunktet for de overvejelser, der fører til den Marshallianske efterspørgselsfunktion, er princippet om brugsmaksimering: en forbruger (typisk en husstand) beslutter uafhængigt af fordelingen af sin formue til forbruget af forskellige varer, der tilbydes til bestemte priser. Afhængigt af hvordan han deler sin formue, er hans udgiftsplan forskellig. Grundideen med Marshalls krav er, at forbrugeren altid vælger nøjagtigt den udgiftsplan, som han foretrækker frem for alle andre overkommelige udgiftsplaner. Marshallian-efterspørgslen beskriver nøjagtigt denne - optimale - udgiftsplan ved at specificere, hvor meget af hver enkelt vare, der skal forbruges under dette. Fordi det er en funktion, beskriver Marshalls efterspørgsel denne udgiftsplan ikke kun for et bestemt ejendomsbeløb og en bestemt varepris, men for alle mulige ejendomsbeløb og priser for varer.

Begrebet Marshallian efterspørgsel funktionen kan generaliseres. Mere generelt taler man om en Marshallian forespørgselskorrespondance (også Walrasian forespørgselskorrespondance ). Funktionens matematiske begreb udveksles med en korrespondance , hvilket gør det muligt, at en forbruger med en vis formue og til bestemte varepriser i økonomien undertiden ikke kun kan have en, men flere optimale udgiftsplaner.

Ikke-teknisk introduktion

Idé om hjælpefunktion

Der er forskellige måder at modellere forbrugernes efterspørgsel efter en vare. Hvilken der er passende afhænger af den antagelse, der er truffet om beslutningen om forbrug. Man kunne for eksempel antage, at forbrugere tilfældigt ville vælge enhver kombination af bundter af varer, uanset hvor meget de pågældende varer er værd for dem; eller man kunne forestille sig, at en social planlægger ville tage alle forbrugernes aktiver og tildele dem visse indkøbsvogne i henhold til deres egne kriterier. Den grundlæggende idé med moderne brugsteori er imidlertid, at forbrugerne træffer deres beslutning om at forbruge mængden af et bestemt gods baseret på deres præferencer . Forbrugerne har individuelle præferenceordrer ; En sådan præferenceordre inkluderer informationen på tværs af alle mulige kombinationer af alle varer om, hvorvidt det ene bundt af varer opfattes som mindst som ønskeligt, lige så ønskeligt eller højst så ønskeligt som det andet bundt af varer (et eksempel på et bundt varer ville være omkring "1 æble, 1 banan, 0 appelsiner og 2 mangoer "og den individuelle præferencerækkefølge kan indeholde oplysningerne om, hvordan bundtet af varer" 2 æbler, 0 bananer, 1 appelsin og 2 mango "vedrører den pågældende forbruger).

En enklere måde at udtrykke disse oplysninger på er at se på en simpel funktion snarere end komplekse ordrer. Under visse omstændigheder kan der konstrueres en hjælpefunktion, der udsender et vilkårligt nummer for en given pakke varer. Dette tal er meningsløst i sig selv; deres betydning fremgår kun af en sammenligning med nytteværdierne for andre bundter af varer. Dette er nemlig åbenlyst, hvilket bundt af varer, forbrugeren foretrækker: Sammenligning af et hvilket som helst to bundter af varer, derefter nytteværdien af et bundt, hvis og strengt større end et bundt, hvis den forbruger, hvis nyttefunktion vi betragter bundtet frem for foretrukket. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Marshalls krav

Marshalls efterspørgsel forbinder denne tanke med en beslægtet: En fornuftig forbruger vil forbruge et "foretrukket" bundt af varer, der under ovenstående betragtning svarer til at give ham den størst mulige fordel. Det kan dog ikke forbruges i en ubegrænset skala. Enhver forbruger er underlagt en såkaldt budgetbegrænsning , hvilket betyder, at han ikke kan forbruge bundter af varer, som han ikke havde råd til de gældende varepriser. Blandt de bundter af varer, som han har råd til, vælger han som nævnt netop det, der giver ham den største fordel. Forestil dig nu, at der kun er to varer, som vi vil kalde "god 1" og "god 2" så enkelt som muligt, og som er tilgængelige til priser eller på markedet. Derefter beskriver følgende problem forbrugerens maksimeringsværktøj til hjælpeprogrammer: ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$

{\ displaystyle \ max \; u (x_ {1}, x_ {2})}

under begrænsningerne og

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ geq 0}

med den tilgængelige formue , den krævede mængde vare 1 eller 2 og forbrugerens nyttefunktion. For at gøre problemet mere håndterbart antager man, at hjælpefunktionen er kontinuerlig . Dette sikrer, at hvis der er en lille ændring i mængden af en eller flere varer i en bundt varer, er der intet pludseligt spring i den resulterende fordel. En bemærkning synes passende: fordi priser og indkomst er variabler i ovenstående maksimeringsproblem, vil løsningen på problemet ikke være et konkret bundt varer; Hvilket varepakke, der maksimerer udtrykket, afhænger specifikt af de nøjagtige varepriser og den tilgængelige formue, så løsningen afhænger af disse variabler (priserne og den tilgængelige formue). ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1,2}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2})}$

Den optimale efterspørgsel efter god er 1, og den afhænger af prisen på denne vare, den indkomst, der er tilgængelig for den enkelte, og prisen for den gode 2. Den sidstnævnte kan f.eks. Ses intuitivt af det faktum, at den anvendelsesmaksimerende efterspørgsel efter biler bestemt også er afhænger af, om en togbillet koster EUR 500 eller EUR 5 (dette udelukker ikke, at prisen kan være uafhængig af dette i individuelle tilfælde). Derfor giver optimeringsproblemet optimale værdier for de to varer: (Marshallian-efterspørgslen efter god 1) og analogt (den Marshallian-efterspørgsel efter god 2). ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$

Formel definition

Betegn ved krævet af en vis mængde forbrugsgoder , og sammenføj vektoren for at respektere alle varer sammen. Prisen på alle varer er strengt positiv for alle , og man kan være enig som prisvektoren for økonomien. ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$

Forbrugerens fordel følger en kontinuerlig fordel-funktion . Forbrugeren har et budget på . Overvej nu forbrugerens fordelingsmaksimeringsproblem under hensyntagen til budgetbegrænsningen : ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle y> 0}$

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}} u (\ mathbf {x})}

under den sekundære tilstand

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + \ ldots + p_ {n} x_ {n} \ leq y}

Definition: Vær støt , og . Man angiver den korrespondance, der er defineret af ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}: \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \}}

,

som Marshallian kræver korrespondance (også Walrasian kræver korrespondance ).

Hvis maksimeringsproblemet har et ét-elementsløsningssæt for hver tupel ( dvs. en unik løsning), kaldes tildelingen en Marshallian-efterspørgselfunktion (også kendt som en Walrasian-efterspørgselfunktion ). ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

En korrespondance er en sæt værdiansat funktion . Mens en funktion i snævrere forstand tildeler et enkelt element fra målsættet til hvert element fra definitionsområdet (i dette tilfælde sæt varegrupper), tildeler en korrespondance en delmængde af målsættet til hvert element fra definitionsområdet . Den marshallianske efterspørgselsfunktion kan således forstås som et specielt tilfælde af efterspørgselskorrespondance, hvor hver tuple er tildelt en nøjagtigt et-elementundersæt af målsættet. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$

Andre stavemåder til definitionen af Marshallian efterspørgselskorrespondance bruges også. Det er trivielt

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) & \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} \\ & = \ left \ {\ mathbf {x} \ i B _ {\ mathbf {p}, y} \ left | \ left (\ forall \ mathbf {x} '\ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ right): u (\ mathbf {x}')> u (\ mathbf {x}) \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} '> y \ højre. \ højre \} \ ende {justeret}}}

Med

{\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y} \ equiv \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ left | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} \ leq y \ right. \}}

det tilladte beløb (budgetbeløb). Med ord: Marshallian-efterspørgslen med et givet prissystem og en given husstandsformue svarer nøjagtigt til mængden af de tilladte bundter af varer, der har den egenskab, at alle bundter af varer med en strengt større anvendelse ville være så dyre, at deres forbrug ville være i strid med budgetbegrænsningen.

Generelle egenskaber

Eksistens og kompakthed

Marshallianske efterspørgselskorrespondance er ikke tom og har en kompakt værdi.

For at se, at efterspørgslen ikke er tom, er det tilstrækkeligt at vise, at budgettet er kompakt . Fordi ifølge Weierstrass ekstreme værdi sætning har en kontinuerlig funktion over et kompakt sæt altid et minimum og en maksimum værdi, det vil sige, at ovennævnte værktøjsmaksimeringsproblem har mindst en løsning for alle . Som en delmængde af budgetsættet (ikke-tomt) er kompakt, hvis og kun hvis det er afgrænset og lukket ( Heine-Borel-sætning ). Det er tilfældet: det er begrænset, fordi det i betragtning af den strenge positivitet af priser altid er og på samme tid for alle og for alle ; og det er lukket, fordi det er defineret af svage uligheder. Begge egenskaber følger også direkte fra Berges maksimale sætning, som vil blive diskuteret mere detaljeret nedenfor under "Kontinuitetsegenskaber". ${\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ leq y / p_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ i B _ {\ mathbf {p}, y}}$

Konveksitet og ydeevne

1. Lad hjælpefunktionen være kvasi-konkav . Derefter er den Marshallianske efterspørgsel korrespondance.
2. Lad hjælpefunktionen være strengt kvasi-konkav . Derefter er den marshallianske korrespondance et element for alle , med andre ord: det er en funktion . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Med hensyn til disse to egenskaber skal det bemærkes, at rækkefølgen af præferencer, der ligger til grund for en kvasi-konkav hjælpefunktion, er konveks; til (2.), at rækkefølgen af præferencer, der ligger til grund for en strengt kvasi-konkav nyttefunktion, er strengt konveks. Bemærk, at for (1.) og (2.) er det ikke tilstrækkeligt at antage konveksitet (eller streng konveksitet) af rækkefølgen af præferencer. Omvendt indebærer den (strenge) konveksitet faktisk, at enhver repræsentativ nyttefunktion er (strengt) kvasi-konkav. Der er imidlertid ikke en reel værdi for hver (strengt) konveks rækkefølge. For eksempel for at tage det berømte eksempel på Debreu (1959) op, er leksikografiske præferenceordrer strengt konvekse, men kan ikke repræsenteres af en hjælpefunktion. Det er dog muligt at introducere de begreber, der introduceres her på basis af præferenceordrer, så en repræsentationsfunktion ikke længere er vigtig. Beviset for (1) er baseret på den betragtning af to bundt af varer , . Fra definitionen af Marshalls krav følger det . Udpeg dette niveau af fordel med . For en kvasi-konkav hjælpefunktion gælder den pr. Definition også for alle . Desuden fordi og ifølge definitionen af Marshalls efterspørgsel. Derfor er det . Ud fra dette og med det følger det endelig . Det er også konveks. Til (2): (modstrid :) Betragt igen to bundt af varer , . Igen, pr. Definition . Streng kvasi-konkavitet indebærer imidlertid for alle - en modsigelse. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ equiv \ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '\ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ i B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u (\ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} ')> u (\ mathbf {x}')}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$

homogenitet

Den marshallianske efterspørgselskorrespondance er homogen af grad nul i , det vil sige for alle og for alle . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y) = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Det betyder derfor ingen forskel for forbrugsbeslutningen, hvis både formue og alle varepriser stiger eller falder med den samme faktor. Dette udelukker også, at den valuta, som aktiver og priser faktureres i, ikke betyder noget. Ejendommen følger, fordi budgetbeløbet er det samme, når det ændres af . Naturligvis forbliver løsningen på maksimeringsproblemet upåvirket af den samtidige ændring i aktiver og priser. ${\ displaystyle B _ {\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ alpha \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq \ alpha y \} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} = B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Kontinuitetsegenskaber

1. Marshallianske henvendelseskorrespondance er øverst.
2. Hvis den marshallianske efterspørgselskorrespondance er et element for alle og følgelig en funktion, så er denne kontinuerlig . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$

Egenskaberne følger direkte fra den maksimale sætning (Berge-sætning), for hvilken der henvises til en fodnote. Den centrale forudsætning for dens anvendelse er kontinuiteten i den givne budgetkorrespondance, hvorved en korrespondance betegnes som kontinuerlig, hvis den er både øvre og nedre (se definitionen i fodnote). Disse to egenskaber kan til gengæld vises efter hinanden til budgetkorrespondance. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto B (\ mathbf {p}, y)}$

Isolationsegenskaber

Marshallianske efterspørgselskorrespondance er lukket og har også en lukket graf.

I princippet ville det være tilstrækkeligt at vise den lukkede værdi, fordi enhver korrespondance på topniveau og lukket værdi også har en lukket graf. Den endelige værdi resulterer (som allerede skitseret ovenfor) fra Berges sætning (se fodnote).

Nedenfor tegnes et "direkte" bevis for eksistensen af en lukket graf. Overvej en sekvens im med grænseværdien og en sekvens im med grænseværdien . Vær videre for alle . For at vise: . Ifølge definitionen af Marshallian er efterspørgsel for alle og på grund af for alle derfor også i grænseværdien . Det er det også . (Bevis ved modsigelse :) Antag det . Derefter ville der pr. Definition være en med hvilken . Så der ville være et passende miljø omkring såvel som et passende miljø omkring det for alle . Og på grund af det ville der også være et med (stabilitet og streng positivitet af priser). Det følger derefter for tilstrækkeligt store , så at . På samme tid følger det for tilstrækkeligt store . Sammenfattende: til tilstrækkelig stor . Men det modsiger antagelsen om, at . Så er det, der skulle vises. ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {k} \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ i B _ {\ mathbf {p}, y}}$
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ notin \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ i B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} ^ {\ text {alt}})> u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x}' ') \ i U_ {0} \ gange U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ i B _ {\ mathbf {p}, y} \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {\ text {old}} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ i U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ i B _ {\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}} \ cap U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ i U_ {0}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Walras lov

Lad rækkefølgen af præferencer, der ligger til grund for hjælpefunktionen, ikke være mættet lokalt. Derefter tilfredsstiller Marshallian-kravet Walras-loven , dvs. den holder . ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {m} = y}$

Ejendommen ved lokal umætning er et almindeligt krav, der stilles til præferenceordrer. For at sige det direkte betyder det, at hvert bundt af varer altid kan modificeres minimalt på en sådan måde, at det resulterende bundt af varer strengt foretrækkes frem for det originale bundt. For den formelle definition henvises der til en fodnote.

(Bevis ved modsigelse :) Hvis det er tilfældet , følger det af kravet om umættethed, at der skal være endnu et bundt varer i nærheden , med hvilket også og på samme tid . Men så kan der ikke være nogen løsning på maksimeringsproblemet i modsætning til antagelsen. ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '<y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$

Lokal umættethed er naturligvis et svagere krav til rækkefølgen af præference end streng monotoni . Fordi hver strengt monotont voksende nyttefunktion er baseret på en strengt monoton rækkefølge af præferencer, er ovennævnte krav til gyldigheden af Walras 'lov således trivielt opfyldt for en strengt monotont stigende nyttefunktion.

Analytisk bestemmelse

Nødvendige og tilstrækkelige optimale forhold

Antages det, at nyttefunktionen kontinuerligt kan differentieres , giver Karush-Kuhn-Tucker-metoden (KKT-metoden) de nødvendige betingelser for ovennævnte maksimeringsproblem for nytte. Udpege

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x}) + \ lambda (y- \ mathbf {p \ cdot x})}

.

som en langsigtet funktion af hjælpemaksimeringsproblemet.

KKT-sætning anvendt på værktøjet maksimeringsproblem:

1. Vær konstant differentierbar . Derefter gælder følgende: Hvis der er en mulig løsning på hjælpemaksimeringsproblemet, er der nødvendigvis også en sådan, at følgende betingelser (KKT-betingelser) er opfyldt: ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$

jeg)

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} \ leq y}

ii) for alle (fyldt med ligestilling når som helst )

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} \ right | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} \ leq \ lambda p_ {jeg}}

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}

iii)

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} - y) = 0}

2. Vær konstant differentierbar, kvasi-konkav og vær gradient for alle . Derefter: Tilfredsstill og betingelserne (1) (i) - (iii), så er en løsning på problemet med maksimeringsværktøjet. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x}) \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

3. Vær konstant differentierbar og konkav. Derefter: Tilfredsstillelse og betingelserne (1) (i) - (iii), så er en løsning på hjælpemaksimeringsproblemet. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

Bemærkninger:

Hvis man sammenligner (1) med den almindelige formulering af et ikke-lineært program, bemærkes det, at der ikke kræves nogen såkaldt begrænset kvalifikation (ofte kategoriseret under udtrykket "regelmæssighedstilstand" på tysk). Årsagen er, at dette altid opfyldes i problemet med maksimering af hjælpeprogrammet. Hvis vi konverterer det komplette nyttemaksimeringsproblem ind standardformular, læser under begrænsninger og til . Så alle begrænsninger er lineære. Ved anvendelse af en fælles følge af KKT-sætningen er kravene til anvendeligheden af KKT-betingelserne (1) (i) - (iii) således opfyldt. ${\ displaystyle \ max u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle g_ {1} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} -y \ leq 0}$ ${\ displaystyle g_ {1 + j} (\ mathbf {x}) = - x_ {j} \ leq 0}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$
Det er allerede vist ovenfor, at Marshallian-kravet ikke er tomt (se afsnittet Generelle egenskaber ). Således eksisterer der altid en, der opfylder KKT-betingelser (1) (i) - (iii). ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$
Gradienttilstanden under (2) har en meget lav tærskel; alt, hvad der kræves, er, at noget godt giver en strengt positiv marginal nytte.

Fortolkning af optimale betingelser

Fig. 2. Maksimering af nytte i to-godssagen, indre løsning. Det rødfarvede område er det budgetbeløb, der er begrænset af budgetposten. Det er her, hvor alle mængdekombinationer, der overholder budgetbegrænsningen med ligestilling, er placeret.

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Fig. 3. Maksimering af nytte i to-godssagen, marginal løsning.

Fig. 4. Opførelsen af Marshallian-efterspørgslen fungerer med fast indkomst i to-varesagen.

Indre løsning

Hvis der er et indre optimum, dvs. for alle , gælder første ordens optimitetsbetingelse i dette i henhold til (1) (ii) ${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} \ right | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} = \ lambda p_ { jeg}}

for alle .

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

Hvis man overvejer sagen (to-godssag), betyder det ${\ displaystyle n = 2}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ højre | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})} = {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Venstre side af denne ligning er den marginale substitutionsrate (MRS) på god 1 i forhold til god 2 (på en ligegyldighedskurve ), den højre side er prisforholdet for de to varer. Fig. 2 illustrerer denne betingelse: Marshallian-efterspørgslen efter en given varepris og en given indkomst svarer nøjagtigt til det bundt varer, hvor den højest mulige ligegyldighedskurve (her :) stadig berører budgetposten. På dette tangentielle punkt svarer ligegyldighedskurvens hældning - dvs. den negative grænseværdi for substitutionen af god 1 i forhold til god 2 - nøjagtigt til budgetpostens hældning, hvilket er. Hvis denne betingelse ikke gjaldt, kunne forbrugeren have det bedre ved at ændre sit forbrug marginalt. Ville være for eksempel ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}$ ${\ displaystyle I ^ {1}}$ ${\ displaystyle -p_ {1} / p_ {2}}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

,

så ville det være muligt inden for budgetbegrænsningen at øge forbruget af god 1 med og samtidig reducere forbruget af god 2 med . Dette ville vende fordelen rundt ${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}}$ ${\ displaystyle (p_ {1} / p_ {2}) \ mathrm {d} x_ {1}}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ mathrm {d} x_ {1} - \ left. {\ Frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ mathrm {d} x_ { 1}> 0}

forstørre. Men så kan det bundt varer, der oprindeligt blev betragtet, ikke have maksimeret nytte.

Edge-løsning

Som illustreret i fig. 3 for to-godssagen kan det optimale også være en marginal løsning; her er du ved "kanten" af budgetbeløbet, i eksemplet på dette tidspunkt . Ovenstående ligestillingsbetingelse finder som regel ikke anvendelse der, som det fremgår af de nødvendige betingelser (1) (ii). Faktisk er dette også vist i fig. 3 : I det optimale fundne punkt gælder følgende ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0} = 0}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

I en marginal løsning er dette muligt, fordi forbrugeren ikke længere er i stand til at reducere sit forbrug af vare 2 for at bruge aktiver frigivet på vare 1.

konstruktion

Fig. 4 illustrerer den grafiske opbygning af Marshallian-efterspørgslen i to-godssagen og under antagelse om, at der er en indre løsning på problemet med maksimering af nytteværdien. For at gøre problemet grafisk håndterbart løser man først og . Derefter gennemgår du effekterne på efterspørgslen, der skyldes forskellige priser for godt 1. I eksemplet overvejes en prisnedsættelse fra og med . Dette ændrer oprindeligt budgetpostens hældning, så der opnås et nyt, optimalt bundt af varer. Dette kan derefter overføres til nedenstående diagram til den ændrede pris. Hvis vi introducerer dette for alle slags priser, giver Marshallian-efterspørgselfunktionen (for fast og ) . ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {0}}$ ${\ displaystyle p_ {1} '}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, {\ overline {p_ {2}}}, {\ overline {y}})}$

Eksempel i sagen om to varer

Vær . Overvej et marked for æbler (god 1) og bananer (god 2), hvis mængder er betegnet med eller . Lad prisen på et æble være prisen på en banan . Husstandens budget er, og han spiser kun æbler og bananer. Husstandens nytte følger en Cobb-Douglas-funktion . Problemet med maksimering af hjælpeprogrammet er ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 4}$ ${\ displaystyle y = 40}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {0 {,} 4} \ cdot x_ {2} ^ {0 {,} 6}}$

{\ displaystyle \ max _ {(x_ {1}, x_ {2}) \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}} u (x_ {1}, x_ {2})}

under den sekundære tilstand .

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Så det er Lagrangian

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}) = u (x_ {1}, x_ {2}) - \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2 } x_ {2} -y)}

.

Nødvendige betingelser for den optimale nytte er (se afsnittet "Nødvendige og tilstrækkelige optimeringsbetingelser"):

${\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} = {\ frac {\ partial u (x_ {1} , x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {, } 6} -p_ {1} \ lambda \ leq 0}$ (med ligestilling hvis ) ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} = {\ frac {\ partial u (x_ {1} , x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {, } 4} -p_ {2} \ lambda \ leq 0}$ (med ligestilling hvis ) ${\ displaystyle x_ {2}> 0}$
${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -y) = 0}$ og . ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Bemærk, at disse optimale forhold også er tilstrækkelige på grund af konkaviteten i hjælpefunktionen. Budgetbegrænsningen vil binde til det optimale, da hjælpefunktionen stiger strengt monotont, og Walras-loven følgelig finder anvendelse. Fra tilstand 1 og 2 følger den med opdeling

{\ displaystyle {\ frac {0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {,} 4}} {0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {,} 6}}} = {\ frac {p_ {2} \ lambda} {p_ {1} \ lambda}} \ Rightarrow {\ frac {3} {2 }} \ cdot {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ Rightarrow x_ {2} = 1 {,} 5x_ { 1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Hvis du sætter dette i den ændrede budgettilstand, er resultatet

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} = y-p_ {2} x_ {2} = y-p_ {2} \ cdot 1 {,} 5x_ {1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ Rightarrow {\ color {BrickRed} x_ {1} ^ {*} = {\ frac {y} {2 {,} 5p_ {1}}} = 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}}

,

med hvilket derefter igen

{\ displaystyle {\ color {BrickRed} x_ {2} ^ {*} = {\ frac {1 {,} 5} {2 {,} 5}} {\ frac {y} {p_ {2}}} = 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}}}

De sidste to udtryk for og er intet andet end de respektive Marshallian-krav fungerer for godt 1 og godt 2. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*}}$

Bemærkninger:

Eksemplet vedrører et specielt tilfælde, hvor efterspørgslen efter bananer og æbler kun afhænger af prisen for det respektive gode, men ikke af prisen for det andet gods; efterspørgslen efter bananer er for eksempel uafhængig af prisen på æbler. Dette er generelt ikke tilfældet. ${\ displaystyle p_ {1}}$
Det bemærkes, at de multiplikative udtryk i Marshalls forespørgsler nøjagtigt svarer til den respektive eksponent i hjælpefunktionen. Dette er ikke en tilfældighed, som det følgende afsnit viser.

Indsættelse af priser og indkomst i disse funktioner viser, at der i husholdningen er optimale 8 æbler og 6 bananer efterspurgt.

Marshalls efterspørgsel fungerer efter fælles brugsfunktioner

Funktion	Marshalls krav
Cobb-Douglas nyttefunktion (konstant vender tilbage til skalaen ): ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdot x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}}}$ , Med ${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} = 1}$	Til : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {i} y / p_ {i}}$
CES-hjælpefunktion: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ left (x_ {1} ^ {\ rho} + x_ {2} ^ {\ rho} \ right) ^ {1 / \ rho}}$ Med ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ , ${\ displaystyle \ rho <1}$	Til : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {p_ {i} ^ {r-1} y} {p_ {1} ^ {r} + p_ {2} ^ {r}}}}$ Med ${\ displaystyle r = {\ frac {\ rho} {\ rho -1}}}$
Lineær hjælpefunktion: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ begin {cases} y / p_ {1} & {\ text {if}} \ quad p_ {1 } <p_ {2} \\\ xi \ i [0, y / p_ {1}] \ quad \ mathrm {any} & \ mathrm {if} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ 0 & { \ text {falls}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {falls}} \ quad p_ {1} <p_ {2} \\\ xi \ i [0, y / p_ {1}] \ quad {\ text {any}} og {\ text {if}} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ y / p_ { 2} og {\ text {falls}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {cases}}}$
Leontief-hjælpefunktion: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ min \ {x_ {1}, x_ {2} \}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {y} {p_ {1} + p_ {2}}}}$
Stone Geary hjælpefunktion: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} - \ alpha _ {1}) ^ {\ beta _ {1}} \ cdot (x_ {2} - \ alpha _ { 2}) ^ {\ beta _ {2}}}$ Med ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ beta _ {2} \ geq 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {1} + {\ frac {\ beta _ {1}} {p_ {1}}} (y- \ alpha _ {2} p_ {2})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {2} + {\ frac {\ beta _ {2}} {p_ {2}}} (y- \ alpha _ {1} p_ {1})}$

Forhold til relaterede begreber

Indirekte hjælpefunktion

Hvis den opnåede Marshallian-efterspørgsel sættes tilbage i den oprindelige nyttefunktion , opnås en nyttefunktion, der er afhængig af priserne på varer og indkomst . Det kaldes en indirekte hjælpefunktion . For en given prisindkomstkonfiguration angiver den indirekte nyttefunktion det specifikke hjælpeniveau, som den husstand, der maksimerer forsyningsselskabet, opnår gennem sit behov. ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {p}, y) \ equiv u [\ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)]}$

Hicks efterspørgsel funktion

Fig. 5. Korrelation mellem det her anvendte maksimeringsproblem med udgifterne og problemet med minimering af udgifter.

Mens Marshallian-efterspørgslen, som vist, skyldes husstandens maksimeringsværktøjsproblem og angiver mængden af varer - afhængigt af varepriserne - der kræves for at opnå det højest mulige niveau af nytte med en given indkomst , skyldes Hicksiansk efterspørgsel fra udgiftsminimeringsproblemet i Husholdning og angiver mængden af varer - afhængigt af varepriserne - der kræves for at opnå et givet niveau af nytte så billigt som muligt . ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}}}$

På trods af den konceptuelle forskel er der imidlertid en tæt funktionel sammenhæng mellem Marshalls og Hicks 'krav, som der henvises til den ovennævnte hovedartikel.

Eksempel i to-godssagen (fortsættelse)

(Fortsættelse af eksemplet ovenfor.)

Indirekte hjælpefunktion

Den indirekte hjælpefunktion er

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) \ equiv u \ left [x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y), x_ {2} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y) \ højre] = \ venstre (x_ {1} ^ {*} \ højre) {} ^ {0 {,} 4} \ cdot \ venstre (x_ {2} ^ {*} \ right) {} ^ {0 {,} 6}}

Indsættelse af de modtagne Marshallian-forespørgselister

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}} \ right) ^ {0 {,} 6} = \ venstre ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ højre) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2} }} \ højre) ^ {0 {,} 6} \ cdot y}

I betragtning af priserne på varer og indkomst angiver den indirekte nyttefunktion det maksimalt mulige nytteniveau. Man kan kontrollere overensstemmelse hermed som resulterer det leverer med værdierne for , og aftalt ovenfor . Dette giver ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle v \ approx 6 {,} 73}

.

Og faktisk med de optimale mængder varer opnået ovenfor og : ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = 8}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = 6}$

{\ displaystyle u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = 8 ^ {0 {,} 4} \ cdot 6 ^ {0 {,} 6} \ ca. 6 {,} 73}

.

Hicks efterspørgsel funktion

For at komme fra Marshalls efterspørgselfunktioner og de respektive Hicks 'efterspørgselfunktioner indstiller man den indirekte nyttefunktion på ethvert forsyningsniveau og konverterer derefter funktionerne i henhold til indkomsten: ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 4 (y / p_ {1})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 6 (y / p_ {2})}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} { p_ {2}}} \ right) ^ {0 {,} 6} \ cdot y = {\ overline {u}} \ Rightarrow y = {\ frac {\ overline {u}} {\ left ({\ frac { 0 {,} 4} {p_ {1}}} \ højre) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2}}} \ højre) ^ {0 {,} 6}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {0 {,} 6}}

Dette er udgiftsfunktionen . Ved hjælp af Shephards lemma følger det straks ${\ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}})}$

{\ displaystyle x_ {1} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ partial e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ partial p_ {1}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {- 0 {,} 6} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {0 {,} 6}}

eller.

{\ displaystyle x_ {2} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ partial e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ partial p_ {2}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {- 0 {,} 4}}

.

Differentierbarhed

Matrixligning af forbrugernes efterspørgsel

Fordi det er vigtigt for følgende overvejelse, opgives den forkortede repræsentation af (matrix) vektorprodukter i kort tid og formuleres eksplicit, om det er en søjle eller en rækkevektor. og lad begge være søjlevektorer. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Overvej de første ordrebetingelser

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} = 0 \ Rightarrow {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x} )} {\ partial x_ {i}}} = \ lambda p_ {i}}

for alle

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ Leftrightarrow \ nabla u (\ mathbf {x}) = \ lambda \ mathbf {p}}

(med den gradient af hjælpeprogrammet funktion) og den sekundære tilstand ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x})}$

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathbf {x} = y}

Den samlede forskel dannes ud fra disse betingelser :

{\ displaystyle U \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ mathbf {p} \ mathrm {d} \ lambda + \ lambda \ mathrm {d} \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} y}

med den - Hessian matrix af hjælpeprogrammet funktion, th element er som givet ved , og omdanner dette system i matrix notation: ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle (n \ gange n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ partial ^ {2} u (\ mathbf {x}) / \ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ højre) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \ \\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ right)}

Efter Barten (1966) kaldes denne ligning undertiden som den " grundlæggende matrixligning af forbrugernes efterspørgsel". Navngiv dette udtryk (a). Overvej også efterspørgselssystemet

{\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (\ mathbf {p}, y)}

for alle

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ lambda = \ lambda (\ mathbf {p}, y)}

.

Danner også den samlede forskel på dette:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begynde {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ ende {array}} \ højre) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ højre)}

med , , og en matrix med 'te element . Navngiv dette udtryk (b). ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {p}} = (\ partial \ lambda / \ partial p_ {1}, \ ldots, \ partial \ lambda / \ partial p_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {y} = \ partial \ lambda / \ partial y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {y} = (\ delvis x_ {1} / \ delvis y, \ ldots, \ delvis x_ {n} / \ delvis y) ^ {T}}$ ${\ displaystyle X _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle (n \ gange n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ partial x_ {i} / \ partial p_ {j}}$

(b) i (a) udbytter

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ højre) \ left ({\ begin {array } {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array }} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right)}

eller - regelmæssighed af forudsatte - formuleret anderledes ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array}} \ right) & = \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ { T} \ end {array}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ left ({\ begin {array} {cc} (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) U ^ {- 1} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} (U ^ { -1} \ mathbf {p}) ^ {T} & U ^ {- 1} \ mathbf {p} \\ (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} & - 1 \ end {array }} \ højre) \ venstre ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ højre) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ venstre ({\ begin {array} {cc} U ^ {- 1} \ mathbf {p} & (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) \ lambda U ^ {- 1} - \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p} ) (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} \ mathbf {x} ^ {T} \\ - 1 & \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} + \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ højre) \ end {aligned}}}

Differentierbarhed

1. Sætning (Katzner 1968): Systemet med Marshalls forespørgsler kan kontinuerligt differentieres, hvis og kun hvis følgende gælder: ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right)}

er regelmæssigt på det punkt . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

2. Lemma: Betingelsen under (1.) er opfyldt, hvis og kun hvis følgende gælder:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ nabla u (\ mathbf {x}) \\\ left [\ nabla u (\ mathbf {x}) \ right] ^ {T} & 0 \ slut {array}} \ højre)}

er regelmæssig. Denne matrix er den modificerede hessiske matrix for hjælpefunktionen.

Klassificering af idéhistorien

Det ordinære nyttebegreb, som den Marshallianske efterspørgsel er baseret på, går tilbage til den ”moderne” økonomiske opfattelse af nytte i efterfølgeren til Vilfredo Pareto . Pareto (1906) konstruerede, tog op og fortsatte et koncept af Edgeworth (1881), ligegyldighedskurver for forskellige varer, hvorved - hvilket faktisk ikke længere ville være nødvendigt - undertiden stadig forudsætter en kardinal bestemmelighed af fordelen; ikke desto mindre gør det klart den strenge sondring mellem (grundlæggende) præferencer og (blot repræsentative) fordele. I modsætning til Edgeworth ønsker han ikke, at ligegyldighedskurverne skal konstrueres som en grafisk repræsentation af en kardinal nyttefunktion, men tværtimod kun udvikler sin brugsteori på basis af ligegyldighedskurver (baseret på observerbarhed). Pareto (1896) viser allerede - såvel som uafhængigt Fisher (1892) - at målbarheden af hjælpeprogrammet til konstruktion af efterspørgselfunktioner ikke er nødvendig.

Den anden konceptuelle byggesten i Marshalls efterspørgsel - konstruktionen af efterspørgselsfunktionen på grundlag af brugsteori - kan spores tilbage til Léon Walras . Walras udviklede en model så tidligt som i 1872, hvor detailhandlere forsøger at maksimere deres nytteværdi, hvorved de enkelte hjælpefunktioner er uafhængige og additive til hinanden. På hans anmodning tilvejebragte Antoine Paul Piccard (1844–1920), der ligesom Walras var professor ved universitetet i Lausanne , endelig en måde at konstruere en ligevægtsfunktion på ved hjælp af et begrænset maksimeringsproblem. Med udgangspunkt i to marginale nyttekurver for to varer og en vis positiv indledende tildeling til givne priser, konstruerer Piccard en optimalitetsbetingelse for forbruget af og som kan udtrykkes i en slags efterspørgselskurve, som endnu ikke følger den moderne opfattelse af en efterspørgselskurve, med den betragtes to-varer sag er relateret. Denne udvidede model opstod også især af Walras 'kendskab til proportionaliteten af marginal nytte (i Walras' terminologi: rereté ) og varepriser, som gennemsyrer det moderne begreb efterspørgsel. Marshall (1890) giver en meget enklere og mere direkte måde at opnå en efterspørgselskurve fra efterspørgselsfunktionen. Som med Walras antages hjælpefunktionens uafhængighed og additivitet og en faldende marginal nytteværdi. Baseret på dette kan Marshall faktisk konstruere den moderne formulering af efterspørgselskurven som en funktion af varepriser og indkomst; Men det lykkes ham kun at gøre dette under antagelse af en "konstant" marginal nytteværdi af indkomst. Denne antagelse mødtes med kritik, herunder fra Pareto , da principperne blev offentliggjort . Marshall delte også med Walras grundlaget for et hovedfordelskoncept, hvis dispenserbarhed Pareto senere kunne vise. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Yevgeny Slutsky spillede en nøglerolle i at sætte de metodologiske komponenter sammen . Han (1915) skitserer allerede stort set det moderne koncept for Marshallian-efterspørgselsfunktionen. En lidt mere generel version leveres (uvidende om Slutsky's bidrag) af John Hicks og RGD Allen (1934a, 1934b).

litteratur

Anton Barten og Volker Böhm: Forbrugerteori. I: Kenneth J. Arrow og Michael D. Intrilligator (red.): Håndbog i matematisk økonomi. Bind 2. Nordholland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , s. 382-429 (også online: doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02004-9 ).
Friedrich Breyer: Mikroøkonomi. En introduktion. 5. udgave Springer, Heidelberg et al. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7 (også online: doi : 10.1007 / 978-3-642-22150-7 ). [Kapitel 4]
Arthur S. Goldberger: Funktionel form og nytte. En gennemgang af forbrugernes efterspørgselsteori. Westview Press, Boulder 1987, ISBN 0-8133-7489-8 .
Donald W. Katzner: Statisk efterspørgselsteori. Macmillan, New York 1970.
David M. Kreps: Mikroøkonomiske fundamenter I. Valg og konkurrencedygtige markeder. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8 .
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston og Jerry Green: Mikroøkonomisk teori. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 . [Kapitel 3]
Efe A. Ok: Real analyse med økonomiske applikationer. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3 .
Eugene Silberberg: Hicksian og Marshallian krav. I: Steven N. Durlauf og Lawrence E. Blume (red.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. udgave. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.0731 (online udgave).
Mark Voorneveld: Matematiske fundamenter for mikroøkonomisk teori: Præference, nytte og valg. Script, Stockholm School of Economics, 2009, Internet https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf , adgang til 5. maj 2014.

Bemærkninger

↑ er sættet med alle tupler af reelle tal med ; sættet med alle dobbelte reelle tal med . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$
↑ angiver argumentet for det maksimale . ${\ displaystyle \ arg \ max (\ cdot)}$
↑ Se James C. Moore: Generel ligevægt og velfærdsøkonomi. En introduktion. Springer, Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (også online: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), s.88 .
↑ Vær og to metriske mellemrum. En korrespondance kaldes kompakt-værdsat , hvis der er en kompakt delmængde af for alle . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ i X}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ På det følgende, for eksempel Kreps 2012, s. 53; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 50 f.
↑ Se fx Kreps 2012, s. 34.
↑ Kreps 2012, s. 34.
^ Gerard Debreu : Værditeori. En aksiomatisk analyse af økonomisk ligevægt. Yale University Press, New Haven og London 1959, her s. 72 f.
↑ Se for eksempel James C. Moore: Generel ligevægt og velfærdsøkonomi. En introduktion. Springer, Berlin et al. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (også online: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), kapitel 4; Ariel Rubinstein : Forelæsningsnotater i mikroøkonomisk teori. Foredrag 5. Internet http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture5.pdf , adgang til 6. maj 2014.
↑ ^a^b Korrespondance benævnes øvre halvkugle, hvis følgende gælder på hvert punkt : For hvert åbent sæt, der indeholder, er der et miljø på en sådan måde, at det for alle . En korrespondance kaldes subhemistig, hvis følgende gælder på hvert punkt : Hver gang og gennem en modsatrettende konvergerende sekvens i, er der et naturligt tal og en sekvens , hvor konvergerer til, hvor for alle . Se Knut Sydsæter et al.: Yderligere matematik til økonomisk analyse. 2. udgave Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s. 504 f. Bemærk, at terminologien i litteraturen undertiden adskiller sig fra denne. Lejlighedsvis bruges udtrykket (nedre / øvre) semikontinuitet i stedet for (nedre / øvre) semikontinuitet (f.eks. Kreps 2012; Gerard Debreu: Teorien om værdi. En aksiomatisk analyse af økonomisk ligevægt. Yale University Press, New Haven og London 1959 ), der kolliderer med en beslægtet, men alligevel anden definition af udtrykket for reelle værdifunktioner (jf. for dette i stedet for mange Forster: Analyse. Del 3. 5. udgave. Springer, Berlin et al. 2009, ISBN 978-3-8348- 0704-5 , s. 39 f.; Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe og Juraj Zeman: En introduktion til matematisk analyse for økonomisk teori og økonometri. Princeton University Press, Princeton og Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867- 3 , s. 349). ${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x}) \ subseteq U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ i N _ {\ epsilon} \ cap X}$
${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \} _ {k = k_ {o}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ geq k_ {0}}$
↑ ^a^b Vær og to metriske mellemrum . Definer en kontinuerlig, kompakt-værdsat og ikke-tom korrespondance på og være en kontinuert funktion. Derefter ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle u: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) \ equiv \ sup \ {u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ mathbf {y} \ in \ Gamma (\ mathbf {x}) \ }}$
en kontinuerlig funktion og
${\ displaystyle \ mu (\ mathbf {x}) \ equiv \ {\ mathbf {y} \ in \ Gamma (\ mathbf {x}) | u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ varphi (\ mathbf {x}) \}}$
definerer en ikke-tom, kompakt og topniveau korrespondance. Se, også for bevis, Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe og Juraj Zeman: En introduktion til matematisk analyse for økonomisk teori og økonometri. Princeton University Press, Princeton og Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3 , s. 268 f.; Ok 2007, s. 306 ff.; James C. Moore: Matematiske metoder til økonomisk teori. Bind 2. Springer, Berlin et al. 1999, ISBN 3-540-66242-1 , s. 280.
↑ For bevis for den øvre halvkugle se Ok 2007, s. 292 og Kreps 2012, s. 55 f .; for at bevise, at det er subhæmostatisk, se Ok 2007, s. 299 og Kreps 2012, s. 56.
↑ Vær og to metriske mellemrum. Korrespondancen kaldes lukket, hvis der er en lukket delmængde af for alle . Se Ok 2007, s. 289. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ i X}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ Korrespondancen har en lukket graf, hvis følgende implikationer gælder på hvert punkt : Vær og med og vilkårlige konsekvenser og gælder for alle . Så er . Se fx Ok 2007, s.294. ${\ displaystyle \ Gamma: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$
↑ Jf. Også til bevis, Ok 2007, s. 295 f.
↑ Baseret på Voorneveld 2009, s. 24; Charalambos D. Aliprantis: Problemer i ligevægtsteori. Springer, Berlin et al. 1996, ISBN 3-540-60753-6 , s. 39 f.
↑ En præferencebestilling kaldes ikke-mættet lokalt, hvis der findes et og for hvert miljø til et , med . Se artikelpræferencebestemmelserne . ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ i X}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ i N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ succ \ mathbf {x} ^ {0}}$
↑ Se Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 53 f .; Kreps 2012, s. 57 f., 480 ff. (Til bevis); på det generelle bevis for sætningen også Knut Sydsæter et al.: Yderligere matematik til økonomisk analyse. 2. udgave Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s. 143 f.
↑ Se også bevis for Michael Carter: Fundament for matematisk økonomi. MIT Press, Cambridge 2001, ISBN 0-262-03289-9 , s. 577 ff. (Argumentet der for gyldigheden af regelmæssighedstilstanden ved hjælp af eksemplet på hjælpemaksimeringsproblemet er dog forkert.); Peter Kall: Analyse for økonomer. BG Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02355-5 , s. 178 (Lemma 5.20).
Om dette f.eks. Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 54.
↑ Om dette og det følgende Goldberger 1987, s. 3 ff. William A. Barnett og Apostolos Serletis: Den differentierede tilgang til efterspørgselsanalyse og Rotterdam-modellen. I: Daniel J. Slottje (red.): Kvantificering af forbrugerpræferencer. Emerald, Bingley 2009, ISBN 978-1-84855-312-5 , s. 61–81, her s. 63 ff.
^ Anton Barten: Theory en Empirie van een Volledig Stelsel van Vraagvergelijkingen. Afhandling, Holland School of Economics, Rotterdam.
↑ Se Goldberger 1987, s. 6; Barten / Böhm 1982, s. 410.
↑ Donald W. Katzner: En note om differentierbarheden af forbrugernes efterspørgselsfunktioner. I: Econometrica. 36, nr. 2, 1968, s. 415-418 ( JSTOR 1907498 ).
↑ Se Barten / Böhm 1982, s. 411.
↑ Se Barten / Böhm 1982, s. 411; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s.95.
^ Vilfredo Pareto: Manuale di economia politica. Con una introduzione alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milano 1906. Der henvises her til den engelske oversættelse af Manual of Political Economy. Oversat af Ann S. Schwier. Augustus M. Kelley, New York 1971.
^ Francis Y. Edgeworth : Matematisk psykik. Et essay om anvendelse af matematik til moralvidenskab. CK Paul & Co, 1881.
↑ Se Christian E. Weber: Pareto and the 53% Ordinal Theory of Utility. I: Historie om den politiske økonomi. 33, nr. 3, 2001, s. 541-576; George J. Stigler : Udviklingen af brugsteori. II. I: Journal of Political Economy. 58, nr. 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ), her s. 380 f.
↑ ”Begreberne nytteværdien, bryggers, ophelimity, indekser af ophelimity, etc, i høj grad lette eksponeringen af teorien om økonomisk ligevægt, men de er ikke nødvendigt at konstruere denne teori. Takket være brugen af matematik hviler hele denne teori kun på et erfaringsfaktor, det vil sige på bestemmelsen af de mængder varer, der udgør kombinationer, mellem hvilke individet er ligegyldigt. " (Vilfredo Pareto: Manuale di economia politica. Con una introduzione alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milano 1906, citeret fra den engelske oversættelse af Manual of Political Economy. Oversat af Ann S. Schwier. Augustus M. Kelley, New York 1971. ) Se også Kerrie L. Mitchener: Præference og nytte i økonomisk teori og historien om økonomisk tankegang. Afhandling, University of Queensland, 2007, kapitel 6; Ghanshyam B. Mehta: Præference og nytte. I: Salvador Barberà, Peter J. Hammond og Christian Seidl (red.): Handbook of Utility Theory. Bind 1. Kluwer, Dordrecht et al. 1998, ISBN 0-7923-8174-2 , s. 1-47, s. 2 f.
^ Vilfredo Pareto: Cours d'économie politique. Rouge, Lausanne 1896.
^ Irving Fisher: Matematiske undersøgelser i teorien om værdi og priser. I: Transaktioner fra Connecticut Academy of Arts and Sciences. 9, 1892.
↑ Jf. George J. Stigler : Udviklingen af brugsteori. II. I: Journal of Political Economy. 58, nr. 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ); Roberto Marchionatti og Enrico Gambino: Pareto og politisk økonomi som videnskab: metodologisk revolution og analytiske fremskridt inden for økonomisk teori i 1890'erne. I: Journal of Political Economy. 105, nr. 6, 1997, s. 1322-1348 ( JSTOR ), her s. 1335 f.
↑ Se Katzner 1970, s. 8.
↑ Om denne Donald A. Walker: Walras, Léon (1834-1910). I: Steven N. Durlauf og Lawrence E. Blume (red.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. udgave. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.1814 (online udgave); Donald A. Walker: Walras markedsmodeller. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 9780521022958 , s.41 .
↑ Om denne mere detaljerede William Jaffé: Léon Walras rolle i "Marginal Revolution" i 1870'erne. I: Historie om den politiske økonomi. 4, nr. 2, 1972, doi : 10.1215 / 00182702-4-2-379 , s. 379-405, her s. 397 f.
^ Alfred Marshall: Principper for økonomi. 1. udgave Macmillan, 1890 (også online: https://archive.org/details/principlesecono00marsgoog ).
↑ Se også Peter C. Dooley: Forbrugerens overskud: Marshall og hans kritikere. I: The Canadian Journal of Economics / Revue canadienne d'Economique. 16, nr. 1, 1983, s. 26-38 ( JSTOR 134973 ), s. 28 ff. specifikt om kontroversen med Pareto: EB Wilson: Pareto Versus Marshall. I: The Quarterly Journal of Economics. 53, nr. 4, 1939, s. 645-650 ( JSTOR 1883289 ).
^ Yevgeny Slutsky: Sulla teoria del bilancio del consumatore. I: Giornale degli economisti. 1915, s. 1-26. Her henvises der til den engelske oversættelse om forbrugernes budget. I: George J. Stigler og KE Boalding (red.): Readings in Price Theory. Irwin, Homewood 1952, s. 27-56.
↑ Se Katzner 1970, s.7.
↑ John R. Hicks og RGD Allen: En genovervejelse af teorien om værdi. Del I. I: Economica. 1, nr. 1, 1934, s. 52-76 ( JSTOR 2548574 ).
↑ John R. Hicks og RGD Allen: En genovervejelse af teorien om værdi. Del II En matematisk teori om individuelle behovsfunktioner i: Economica. 1, nr. 2, 1934, s. 196-219 ( JSTOR 2548749 ).
↑ Om forholdet mellem disse artikler og Slutsky (1915) se RGD Allen: Professor Slutsky's Theory of Consumers 'Choice. I: Gennemgang af økonomiske studier. 3, nr. 2, 1936, s. 120-129, doi : 10.2307 / 2967502 . Om oprindelses- og modtagelseshistorien til Slutsky (1915) se John S. Chipman og Jean-Sébastien Lenfant: Slutsky's artikel fra 1915: Hvordan det kom til at blive fundet og fortolket. I: Historie om den politiske økonomi. 34, nr. 3, 2002, s. 553-597, doi : 10.1215 / 00182702-34-3-553 .