Uendeligt minimum

I matematik er et positivt uendeligt stort tal et objekt, der med hensyn til rækkefølgen af ​​de reelle tal er større end nul , men mindre end ethvert positivt reelt tal, uanset hvor lille.

egenskaber

Der er åbenbart ingen uendelige størrelser blandt de reelle tal, der opfylder dette krav, fordi en sådan uendelig ville skulle opfylde betingelsen , da der også er et positivt reelt tal. For stadig at være i stand til at definere sådanne uendelige størrelser skal enten ovenstående krav svækkes, eller de reelle tal skal indlejres i et større, ordnet felt , hvor der derefter er plads til sådanne yderligere elementer. Sidstnævnte er den måde, hvorpå algebraiske uendelige dyr defineres (Coste, Roy, Pollack), og også vejen for ikke-standard analyse (NSA) (Robinson, Nelson). ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Et uendeligt stort antal har den egenskab, at en hvilken som helst sum af endeligt mange (i NSA: standard endeligt mange) vilkår for mængden af ​​dette tal er mindre end 1: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ for ethvert endeligt antal sommerer.

I dette tilfælde er det større end noget positivt reelt (i NSA: standard reelt) tal. For de algebraiske uendelige størrelser betyder det, at den tilknyttede feltudvidelse ikke er arkimedisk . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

beregning

Den første matematiker, der brugte sådanne tal, var uden tvivl Archimedes , skønt han ikke troede på deres eksistens .

Newton og Leibniz bruger de uendelige tal til at udvikle deres calcin af infinitesimal calculus (differentiel og integral calculus).

Typisk argumenterede de (faktisk kun Newton, Leibniz bruger monader , i dag omtrent: afbrudt eller formel magtserie ):

For at finde afledningen af funktionen antager vi, at den er uendelig. Derefter ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

fordi er uendeligt lille. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Selvom dette argument er intuitivt og giver korrekte resultater, er det ikke matematisk nøjagtigt: Det grundlæggende problem er, at det oprindeligt betragtes som ikke-nul (man deler med ), men i det sidste trin betragtes det som lig med nul. Brugen af ​​uendelige tal blev kritiseret af George Berkeley i sit arbejde: Analyst: eller en diskurs rettet til en vantro matematiker (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Historisk fremskridt

Siden da har spørgsmålet om de uendelige størrelser været tæt knyttet til spørgsmålet om arten af ​​de reelle tal. Det var først i det nittende århundrede, at Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind og andre gav reel analyse en matematisk streng formel form. De indførte grænseværdiovervejelser , der gjorde brugen af ​​uendelige størrelser overflødig.

Alligevel blev brugen af ​​uendelige tal stadig anset for nyttig til at forenkle repræsentationer og beregninger. Således, hvis egenskaben angiver at være uendelig, og følgelig egenskaben at være uendelig , kan defineres: ${\ displaystyle x \ approx 0}$${\ displaystyle N \ approx \ infty}$

• A (standard) resultat er en null sekvens, hvis for alle gælder: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ approx \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ approx 0}$
• A (standard) funktion på et begrænset interval er ensartet kontinuert hvis og kun hvis for alle , der gælder fra følgende: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ i I}$${\ displaystyle xy \ approx 0}$${\ displaystyle f (x) -f (y) \ approx 0}$

I det 20. århundrede blev der vist rækkeviddeudvidelser af reelle tal, der indeholder uendelige tal i en formelt korrekt form. De bedst kendte er de hyperreale tal og de surrealistiske tal .

I den ikke-standardanalyse af Abraham Robinson (1960), som indeholder de hyperrealistiske tal som et specielt tilfælde, er uendelige tal legitime størrelser. I denne analyse kan den ovennævnte afledning retfærdiggøres ved en lille ændring: Vi taler om standarddelen af differentialkvotienten og standarddelen af er (hvis er et standardnummer; flere detaljer i den linkede artikel). ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

svulme

1. ↑ Den komplette tekst kan findes (nyindstillet) som download [1]