Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Felix Arnold (født 31. marts 1932 i Berlin ; † 20. februar 2006 i Mülheim an der Ruhr ) var en tysk matematiker og universitetsprofessor . Fokus for hans arbejde var forbindelsen mellem universel algebra og geometri , han grundlagde den geometriske relation algebra .

Liv

Arnold studerede ved universitetet i Hamborg fra 1952 til 1958 og modtog sin doktorgrad fra Emanuel Sperner i 1965 med en afhandling om fjerne rum med affine rum . I 1970 afsluttede han sin habilitering med Sperner med sin afhandling The Geometry of Rings in the Framework of General Affine Structures . I 1966 blev han assistent ved Ruhr Universitet i Bochum , og i 1973 blev han udnævnt til den grundlæggende senator for emnet matematik, da det daværende omfattende universitet i Duisburg blev oprettet . Arnold grundlagde tidsskriftet Results in Mathematics sammen med Heinrich Wefelscheid i 1977 .

plante

Arnold var i stand til endelig at løse et problem med algebraisering af unødvendige Desargue affine og projektive geometrier med den relationelle algebraiske beregning af slægtninge og multigrupper, som han introducerede . Konventionelle strukturer såsom groupoider , kvasi-moduler eller ternære kroppe algebraerer svagt affine geometrier , dvs. især også ikke-Desarguean affine planer , og kan igen også generere disse geometrier. I alle tilfælde overtrædes imidlertid synonymitetsbetingelsen på grund af manglende koordinatområder eller på grund af afhængighed af valget af et koordinatsystem, der kræves til overgangsprocessen. Kun med de affine slægtninge, der består af et sæt forhold, der fungerer på det sæt punkter i den præsenterede geometri, bliver overgangsprocesserne for algebraisering og geometriisering synonym, dvs. H. bortset fra isomorfisme omkring hinanden.

En anden fordel ved den relationelle algebraiske måde at tale på ligger i dens konstruktive udvidelsesmulighed: Sproget i geometrisk relationsalgebra er velegnet til at specificere enkle beregningsregler, der svarer til omfattende yderligere geometriske aksiomer (klausuler). Den to-trins (H2) homogenitetsregel udviklet af Arnold svarer til konstruktionsevnen af ​​parallellignende trekanter, dvs. til Tamaschke-aksiomet . Hans tre-niveau (H3) -homogenitetsregel finder sin ækvivalent på den geometriske side i gyldigheden af ​​Desargues 'store affine sætning i planet. Gennem en antisymmetri af operatørerne i de affine retningsbestemte slægtninge var Arnold i stand til at beskrive de affine geometrier arrangeret i betydningen David Hilbert synonymt. Hans doktorandstuderende Roland Soltysiak, Andreas Kopp og Chandrasekara Senevirathne lykkedes derefter i den synonyme korrespondance af næsten kropsgeometrier, linjegeometrier og - kort sagt: halvordnet - affine geometrier arrangeret i betydningen Emanuel Sperner gennem næsten affine slægtninge, linjefamilier og affine orienterings slægtninge.

I alle disse geometrier spiller tiden endnu ikke en rolle, men det lykkes også Arnold at dynamisere affine slægtninge ved at inkludere tidsstrukturer med slægtninge til reglen . Mens komplekse matematiske metoder til differentialligningssystemer , differentiel geometri eller differentiel algebra bruges til at analysere og modellere dynamiske systemer , giver han et nyt matematisk sprog til tidsdiskrete og kontinuerlige systemer med "regel-slægtninge" synonymt med det generelle systemudtryk for Eduardo D. Sontag. Med denne tilgang var hans doktorander Peter Stemper, Marc Schleuter og Dirk Wetscheck i stand til at fange eksempler på klasser af lineære, ikke-lineære og uklare systemer fra kontrolteori ved hjælp af den samme matematiske metode; Axel Sauerland viste isomorfismen af ​​styre-slægtninge defineret af stat-homogene og input-homogene bilineære systemer til Desargues affine slægtninge.

Arnold beskrev oprindeligt projektive geometrier som synonymt med såkaldte (tredimensionelle) projektive multigrupper. Med 2x2-relationer, der fungerer på dette punktsæt, som igen definerer en projektiv (2x2) -relativ synonymt, lykkes beskrivelsen af ​​den store projektive sætning af Desargues i planet gennem den konstruktive udvidelsesevne til en (H2x2) homogenitetsregel.

Arnolds affine eller projektive slægtninge i den konceptuelle verden af ​​algebra og affine eller projektive geometrier viser sig at være to forskellige måder at tale for en og samme situation. Derudover lykkes han med de pårørende også i en matematisk beskrivelse af kognitionsteorien . Handlingsteoribegreber og kognitive aspekter i reguleringen af ​​simple dynamiske systemer matematiseres også af ham ved hjælp af relationsteorimetoder.

Skrifttyper

  • Om fjerntliggende rum med svagt affine rum. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 30, Universität Berlin, Hamborg 1967, s. 75-105, doi: 10.1007 / BF02993993 .
  • Om en klasse af Sperners kvasi-moduler. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 31, Universität Berlin, Hamborg 1967, s. 206-212, doi: 10.1007 / BF02992400 .
  • Algebraisk og geometrisk karakterisering af de svagt affine vektorrum over næsten felter. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 32, Universität Berlin, Hamborg 1968, s. 73-88, doi: 10.1007 / BF02993915 .
  • Shell-operationer og transfinite Steinitzer-udvekslingssæt. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 33, Universität Berlin, Hamborg 1969, s. 32-42, doi: 10.1007 / BF02992802 .
  • Ringenes geometri i sammenhæng med generelle affine strukturer. I: Hamburg individuelle matematiske skrifter. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen New Series, udgave 4, 1971.
  • En vej til ringens geometri. I: Journal of Geometry. Bind 1, udgave 2, 1971, s. 155-167, doi: 10.1007 / BF02150269 .
  • Forbindelse af geometriske og algebraiske strukturer. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 37, Universität Berlin, Hamborg 1972, s. 1-5, doi: 10.1007 / BF02993894 .
  • Den projektive lukning af affin gemotria ved hjælp af relationsteoretiske metoder. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 40, Universität Berlin, Hamborg 1974, s. 197-214, doi: 10.1007 / BF02993598 .
  • En relationsteoretisk algebraisering af arrangerede affine og projektive geometrier. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 45, Universität Berlin, Hamborg 1976, s. 3-60, doi: 10.1007 / BF02992902 .
  • Relationelle grupperinger inden for rammerne af Piagets udviklingspsykologi. I: Bidrag til geometrisk algebra. 1977, s. 361-366, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_49 .
  • Til algebraisering af generel affin og tilknyttede projektive strukturer ved hjælp af en vektorberegning. I: Bidrag til geometrisk algebra. 1977, s. 25-29, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_2 .
  • At karakterisere Sperners rum, som er homogene i to punkter. I: Journal of Geometry. Bind 9, udgave 1-2, 1977, s. 9-17, doi: 10.1007 / BF01918053 .
  • Om strukturen i Sperners distributionsrum, der er homogene i to henseender, med særlig hensyntagen til deres fjerne rum. I: Matematikarkiv. Bind 30, udgave 1, 1978, s. 551-560, doi: 10.1007 / BF01226100 .
  • Retningsalgebraer. I: Bidrag til geometri. 1979, s. 379-382, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5765-9_22 .
  • Konstruktion af fordelende Sperner-planstjerner, der er homogene i to punkter. I: Journal of Geometry. Bind 16, udgave 1, 1981, s. 83-92, doi: 10.1007 / BF01917577 .
  • Affine slægtninge. I: Resultater i matematik. Bind 12, Birkhäuser, Basel 1987, s. 1–26, doi: 10.1007 / BF03322375 .
  • Om en relationel beregning til algebraisering af projektive niveauer. I: Resultater i matematik. Bind 19, Birkhäuser, Basel 1991, s. 211-233, doi: 10.1007 / BF03323282 .
  • Systembegrebet kontrolteori og slægtninge til reglen I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. 28, Universität Berlin, Hamburg 1995, s. 195-208, doi: 10.1007 / BF03322252 .

litteratur

Weblinks

Individuelle beviser

  1. ↑ H.-J. Arnold: Affine slægtninge. I: Resultater i matematik. Bind 12, Birkhäuser, Basel 1987, s. 1-26.
  2. ↑ H.-J. Arnold: En relationsteoretisk algebraisering af arrangerede affine og projektive geometrier. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 45, Universität Berlin, Hamborg 1976, s. 3-60.
  3. ↑ R. Soltysiak: Projektionen af affine konstruktioner over næsten organer ved hjælp af relations- teoretiske metoder . Afhandling. Omfattende universitet i Duisburg, 1980.
  4. ↑ A. Kopp: Udvikling af relation-teoretiske værktøjer til algebraization og konstruktion af generelle affine strukturer . Afhandling. University of Duisburg, 1986.
  5. Sen CM Senevirathne: Relationel karakterisering af halvordnede affine og projektive geometrier . Afhandling. Omfattende universitet i Duisburg, 1990.
  6. ↑ H.-J. Arnold: Systemkonceptet kontrolteori og regel-slægtninge. I: Afhandlinger fra det matematiske seminar ved universitetet i Hamborg. Bind 28, Universitetet i Berlin, Hamborg 1995, s. 195-208.
  7. ^ ED Sontag: Matematisk kontrolteori. Deterministiske endelige dimensionelle systemer. 2. udgave, Springer-Verlag, 1998.
  8. St P. Stemper: Relationskonstruktion af svagt affine geometrier fra lineære kontrolsystemer . Afhandling. Omfattende universitet i Duisburg, 1997.
  9. ↑ M. Schleuter: Relational algebraisk analyse af homogenitetsegenskaber hos slægtninge etableret af kontrolsystemer . Afhandling. Omfattende universitet i Duisburg, 1997.
  10. ↑ D. Wetscheck: Forvirring af kontrolsystemer ved hjælp af relationelle algebraiske og grafteoretiske metoder . Afhandling. Omfattende universitet i Duisburg, 1999.
  11. ↑ A. Sauerland: Relative differentialligninger af klasserne for lineære og ikke-lineære kontrolsystemer . Afhandling. University of Duisburg, 1994.
  12. ↑ H.-J. Arnold: Om en relationel beregning til algebraisering af projektive niveauer. I: Resultater i matematik. Bind 19, Birkhäuser, Basel 1991, s. 211-233.
  13. ↑ H.-J. Arnold: En bemærkning om homogenitetsreglen (H 2 × 2). (= Serie af publikationer fra Institut for Matematik / Gerhard Mercator University, Duisburg General School. Bind 370). 1997.
  14. ↑ H.-J. Arnold: Relationsgrupper i sammenhæng med Piagets udviklingspsykologi. I: Bidrag til geometrisk algebra. 1977, s. 361-366.
  15. ↑ E. Heineken, H.-J. Arnold, A. Kopp, R. Soltysiak: Strategier for tænkning i reguleringen af ​​et simpelt dynamisk system under forskellige dødtidsforhold. I: Sprog & kognition. 11/1986, s. 136-148.
  16. ↑ H.-J. Arnold: Til den matematiske beskrivelse af målrettede menneskelige handlinger på tekniske systemer. (= Publikationsserie fra Institut for Matematik / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg. Bind 173). 1990.
  17. ↑ H.-J. Arnold: Om matematikens oprindelse i egnede funktionsfelter. (= Publikationsserie fra Institut for Matematik / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg. Bind 196). 1991.
personlig data
EFTERNAVN Arnold, Hans-Joachim
ALTERNATIVE NAVNE Arnold, Hans-Joachim Felix (fuldt navn)
KORT BESKRIVELSE Tysk matematiker og universitetsprofessor
FØDSELSDATO 31. marts 1932
FØDSELSSTED Berlin
DØDSDATO 20. februar 2006
Dødssted Mülheim an der Ruhr