Tvungen vibration

Tre identiske pendler ved forskellige exciteringsfrekvenser

Den tvungne svingning er den bevægelse, som et oscillerende system ( oscillator ) udfører under en tidsafhængig ekstern excitation. Hvis excitationen er periodisk , ændres den tvungne svingning gradvist til den konstante, tvungne svingning efter en afregningsproces . I tilfælde af stabil, tvungen svingning udfører oscillatoren en periodisk svingning, hvis frekvens, uanset dens naturlige frekvens , kun er givet ved den eksterne excitation. Oscillatoren oscillerer med en amplitude, der er konstant over tid og har særlig store værdier, når oscillatoren kun er svagt dæmpet, og exciteringsfrekvensen er tæt på sin naturlige frekvens (se resonans ).

Tvungne vibrationer forekommer i mange områder af hverdagen. Især inden for fysik og teknologi anvendes især tvungne harmoniske svingninger som model for reaktion af et system til eksterne påvirkninger. I mekanik udføres excitationen typisk af en periodisk kraft på et legeme eller et periodisk skift af dets hvileposition i elektroteknik og elektronik ved en vekselspænding eller en vekselstrøm inden for optik og kvantefysik ved en elektromagnetisk bølge , i kvantefysik også ved en materiebølge .

En parameter-ophidset svingning er ikke en tvungen svingning, da excitationen ikke sker gennem eksterne påvirkninger, men snarere gennem ændringer i systemspecifikke parametre, såsom den naturlige frekvens eller positionen af tyngdepunktet .

Eksempler fra mekanik

De Tidevandet ophidse vandmasserne i havet bugter til tvungne svingninger. Med en passende samlet længde af bugten kan amplituden af ​​tidevandets strømning og strøm være særlig høj, som i Fundy-bugten .

Et luftaffjedret sæde dæmper vibrationerne i en gaffeltruck

Hvis roterende maskindele ikke er nøje afbalanceret , fører dette altid til en såkaldt kritisk hastighed, hvor kræfterne stimulerer det oscillerende samlede system (fjedermassesystem, der består af rotormasse og aksel eller total masse og ophæng / fundament) til resonans . Dette er ønskeligt med vibrationspladen , men skal undgås med bilmotoren eller den elektriske generator .

Chaufførerne af maskiner eller gaffeltrucks - bortset fra støj - udsættes for tvungne vibrationer i timevis , hvilket kan føre til erhvervssygdomme .

Hvis lydbølgerne ikke tvang trommehinden på det ene øre til at vibrere, ville der ikke være nogen hørelse. Det samme gælder for mange af dyrets sanseorganer .

Ujævnheder i kørebanen stimulerer affjedrede biler, der kører over dem, til at skabe tvungne vibrationer, som - hvis de ikke dæmpes af støddæmpere på kortest mulig tid - drastisk reducerer evnen til at styre og bremse.

Højhuse er begejstrede for at vibrere af jordskælvsbølger , som kan føre til sammenbrud uden en vibrationsabsorberende .

Eksempler fra elektroteknik

Excitation af harmoniske i en selektiv forstærker

I filterkredsløb exciteres en kombination af spoler og kondensatorer, undertiden også modstande og krystaller, til tvungne svingninger af en blanding af elektriske vekselspændinger, som f.eks. Genereres af en antenne . Den amplituden på udgangen af filteret er meget afhængig af frekvensen . Uden filtre ville radioer som fjernsyn eller radioer være umulige, fordi de individuelle programmer ellers ikke kunne adskilles fra hinanden.

Hvis indgangen (venstre på billedet) til det tilstødende kredsløb fødes med skiftevis spænding med en frekvens på 2 MHz og en tilstrækkelig høj amplitude, strømmer korte strømimpulser af denne frekvens gennem transistoren . Disse indeholder et stort antal harmoniske , hvis frekvenser i henhold til love i Fourier-serien altid er heltalsmultipler af den grundlæggende frekvens. I dette eksempel indeholder kollektorstrømmen komponenter på 4 MHz, 6 MHz, 8 MHz osv. Et oscillerende kredsløb , hvis resonansfrekvens matches med en af ​​disse frekvenser ved passende valg af L og C , stimuleres til tvungne svingninger. ved de aktuelle impulser. Kredsløbet er kendt som en frekvensmultiplikator og tillader, at de højeste frekvenser genereres i en spektrumanalysator .

Den vekselstrøm, der genereres af et transmissionssystem , exciterer elektronerne i en transmissionsantennes ledninger til tvungne svingninger. Med et passende valg af antennelængde genereres resonans , og effekten udsendes særligt effektivt.

Ved afskærmning af elektrotekniske enheder er elektronerne i metalskallen begejstrede for at svinge og udsender til gengæld elektromagnetiske bølger med nøjagtig samme frekvens og amplitude, men ude af fase. I det indre kompenserer markerne hinanden.

I hver type højttaler er membranen begejstret for at skabe tvungne vibrationer ved vekselstrøm (til elektrodynamiske højttalere ) eller vekselspænding (til elektrostatiske højttalere ). Derved bør resonanser undgås, fordi de forværrer frekvensresponset .

Eksempler fra optik

Elektronerne på de bestrålede overflader stimuleres til at svinge af sollyset og til gengæld udsende lys. På grund af kroppens overfladeegenskaber foretrækkes frekvensen af ​​nogle farver . De klorofyl molekyler af planter foretrækker at reflektere grønt lys, fordi elektronerne kan ikke udføre tvangs- svingninger på andre frekvenser . Blåt og rødt lys absorberes af klorofyl med henblik på fotosyntese . Kvantemekanik har brug for en mere præcis beskrivelse .

Sollyset ophidser elektronerne fra molekylerne i jordens atmosfære til tvungne svingninger, som igen udsender lys. Her er det kortbølgede blå lysspektrum spredt omkring 16 gange mere end det røde lys. Derfor dominerer den blå farve i lyset af vores atmosfære.

I mikrobølgeovnen tvinges vandmolekyler til at vibrere (mere præcist: vende om) af højfrekvente bølger og varme op som et resultat af gensidig friktion. Dette fungerer ikke med frossent vand, fordi molekylerne ikke kan foldes sammen på grund af deres gensidige binding i krystalgitteret.

generation

Alle oscillerende systemer er udsat for dæmpning . Du har derfor altid brug for et eksternt drev til permanent vibration . Dette kompenserer for energitabet som følge af dæmpningen. Den kontinuerlige svingning kan være ønskelig, f.eks. B. til lydgenerering eller uønsket. Systemets amplitude skal derefter holdes lav ved hjælp af vibrationsisolering .

Ofte er der ingen permanent drev. Systemet stimuleres kun en gang (for eksempel når en tromme er ramt) eller i en begrænset periode (for eksempel når man spiller en violinbue). I dette tilfælde bevæger det oscillerende system sig først gennem den såkaldte forbigående proces for at falme væk som en dæmpet svingning efter drevets afslutning.

Tvungen svingning på den harmoniske oscillator

Den nemmeste måde at studere fænomenerne på er på den harmoniske oscillator , for eksempel et mekanisk massefjeder-spjældsystem som vist til højre.

Masse, fjeder, spjældsystem

I virkeligheden er de fleste af de systemer, der kan svinge, kun tilnærmelsesvis harmoniske, men de viser alle fænomenerne tvungen svingning på mindst en lignende måde (se anharmonisk oscillator ).

Bevægelsesligning

En ekstern kraft føjes til den homogene differentialligning for en lineært dæmpet harmonisk oscillator , der virker på massen. Dette gør ligningen inhomogen. ${\ displaystyle F (t)}$

${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} + kx = F (t).}$

Det betegner den øjeblikkelige udbøjning fra hvilestillingen, massen af legemet, den fjederkonstanten for tilbageføringskraften, og dæmpningen konstant (se fig.). ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle c}$

Uden ekstern kraft og dæmpning ville systemet svinge frit med sin naturlige vinkelfrekvens . I kompleks notation (med enhver reel amplitude og fase ): ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$

${\ displaystyle x_ {0} (t) = A_ {0} e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega _ {0} t- \ varphi _ {0})}.}$

Hvis der tilføjes dæmpning, kan systemet udføre frie dæmpede svingninger med vinkelfrekvensen , hvis amplitude falder proportionalt med hvor er og er antaget: ${\ displaystyle \ omega _ {d} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$${\ displaystyle e ^ {- \ gamma t}}$${\ displaystyle \ gamma = c / (2m)}$${\ displaystyle 0 <\ gamma <\ omega _ {0}}$

${\ displaystyle x_ {d} (t) = A_ {0} e ^ {- \ gamma t} e ^ {- \ mathrm {i} (\ omega _ {d} t- \ varphi _ {0})}. }$

En statisk konstant kraft af excitatoren ville resultere i et skift i hvileposition ved . ${\ displaystyle F (t) = F_ {0}}$${\ displaystyle A _ {\ text {E}} = F_ {0} / k}$

Transient proces, stationær svingning, generel løsning

Et vilkårligt forløb for styrken gives, dvs. ikke nødvendigvis periodisk eller endda sinusformet. Afhængigt af de oprindelige forhold udfører systemet forskellige bevægelser. Lad og være to sådanne bevægelser, dvs. løsninger med samme bevægelsesligning: ${\ displaystyle F (t)}$${\ displaystyle x_ {1} (t)}$${\ displaystyle x_ {2} (t)}$

${\ displaystyle m {\ ddot {x_ {1}}} + c {\ dot {x_ {1}}} + kx_ {1} = F (t)}$

${\ displaystyle m {\ ddot {x_ {2}}} + c {\ dot {x_ {2}}} + kx_ {2} = F (t)}$.

Hvis du trækker disse ligninger fra hinanden på grund af lineariteten i og , resulterer forskellen mellem de to bevægelser i ligningen af bevægelse ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} (t) = x_ {2} (t) -x_ {1} (t)}$

${\ displaystyle m {\ ddot {\ tilde {x}}} + c {\ dot {\ tilde {x}}} + k {\ tilde {x}} = 0}$

Opfylder. beskriver en dæmpet harmonisk svingning af den kraftfri oscillator. Når de er dæmpet , nærmer deres amplitude sig nul. Derfor ændres (givet forløbet af ) alle forskellige tvungne svingninger i det dæmpede system til en enkelt i løbet af tiden. Denne proces kaldes den forbigående proces , dens resultat er den konstante, tvungne svingning (i det følgende benævnt). Den forbigående proces er en proces, der varierer afhængigt af de indledende betingelser , men som altid er irreversibel. Den stationære tvungne svingning har ingen “hukommelse” af de specifikke indledende forhold, som den opstod fra. ${\ displaystyle {\ tilde {x}} (t)}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle F (t)}$${\ displaystyle X (t)}$${\ displaystyle x (0), \ {\ dot {x}} (0)}$${\ displaystyle X (t)}$

Den mest generelle form for bevægelse er givet ved en overlejring af stationær opløsning og dæmpet naturlig svingning : ${\ displaystyle X (t)}$${\ displaystyle x_ {d} (t)}$

${\ displaystyle x (t) = X (t) + x_ {d} (t).}$

Periodisk stimulering

Systemet ophidses af en sinusformet periodisk kraft, der virker på massen. Hvis det tidligere var i ro, øges amplituden oprindeligt, og hvis exciteringsfrekvensen er tæt på dens naturlige frekvens, kan den nå højere værdier, end hvis den maksimale kraft konstant anvendes (se resonans ). Så længe svingningssystemet ikke er overbelastet ( resonanskatastrofe ), ændres svingningen gradvist til en harmonisk svingning med konstante værdier for amplitude, frekvens og faseforskydning sammenlignet med excitationsoscillationen. Denne adfærd er vist at være perfekt konsistent for hver type harmonisk oscillator . I virkeligheden er de fleste af de systemer, der kan udføre vibrationer, kun tilnærmelsesvis harmoniske oscillatorer, men de viser alle resonansfænomenerne på mindst en lignende måde.

Hvis kraften er sinusformet med amplituden og exciteringsfrekvensen , gælder den ${\ displaystyle F_ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle F (t) = F_ {0} \ cdot \ sin \ omega t}$.

En kraft med et andet forløb, selvom det ikke er periodisk, kan repræsenteres ved at tilføje sinus (eller cosinus) formede kræfter med forskellige exciteringsfrekvenser (se Fourier-transformation ). På grund af ligningens bevægelsesligning er den resulterende bevægelse den tilsvarende sum af de tvungne vibrationer for hver af de forekommende frekvenser. Metoden til Green's funktion er matematisk ækvivalent , hvor systemets reaktion på en impuls af enhver kort varighed (i form af en delta-funktion ) bestemmes, så at sige, til et hammerslag. Svarene på kraftimpulserne tilføjes eller integreres derefter med en tilsvarende tidsforsinkelse . ${\ displaystyle F (t) \, dt}$

Stabil tilstand med sinusformet excitation

Amplitudeforhold som en funktion af Lehrs dæmpning, afbildet mod frekvensforholdet . Skæringspunkterne for den stiplede linje med resonanskurverne viser resonansfrekvensernes position ved .${\ displaystyle A (\ omega) / A _ {\ text {E}}}$${\ displaystyle \ omega / \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {R}}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {R}} / \ omega _ {0} = {\ sqrt {1-2D ^ {2}}}}$

Ved periodisk excitation skal steady state vise en konstant amplitude . Derfor er den eksponentielle tilgang til beregning med komplekse tal tilstrækkelig , hvorfra og bestemmes. For kraften skal bruges i stedet for , så her har den imaginære del den fysiske betydning. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X (t) = Ae ^ {\ lambda t}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle F (t) = F_ {0} \ cdot e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$${\ displaystyle F (t) = F_ {0} \ cdot \ sin \ omega t}$

Det følger

${\ displaystyle X (t) = {\ frac {\ frac {F_ {0}} {m}} {- \ omega ^ {2} +2 \ mathrm {i} \ gamma \ omega + \ omega _ {0} ^ {2}}} \, e ^ {\ mathrm {i} \ omega t}}$

eller omformet

${\ displaystyle X (t) = {\ frac {\ frac {F_ {0}} {m}} {\ left | - \ omega ^ {2} +2 \ mathrm {i} \ gamma \ omega + \ omega _ {0} ^ {2} \ right |}} \, e ^ {\ mathrm {i} (\ omega t- \ varphi)}.}$

Som med formlen for den komplekse kraft har kun den imaginære del direkte fysisk betydning her (den reelle del hører til kraftkurven svarende til den reelle del af den komplekse kraft):

${\ displaystyle X (t) = {\ frac {\ frac {F_ {0}} {m}} {\ left | - \ omega ^ {2} +2 \ mathrm {i} \ gamma \ omega + \ omega _ {0} ^ {2} \ right |}} \, \ sin (\ omega t- \ varphi).}$

Dette er en harmonisk svingning omkring hvilepositionen med vinkelfrekvensen (den ægte) amplitude ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle A (\ omega) = {\ frac {\ frac {F_ {0}} {m}} {\ sqrt {(\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}) ^ { 2} + (2 \ gamma \ omega) ^ {2}}}} \ equiv {\ frac {1} {\ sqrt {(1- \ eta ^ {2}) ^ {2} + (2 \ eta D) ^ {2}}}} \ cdot A _ {\ text {E}}}$

og det konstante faseskift med hensyn til den spændende kraft

${\ displaystyle \ varphi (\ omega) = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ omega \ gamma} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ højre) \ equiv \ arctan \ left ({\ frac {2 \ eta D} {1- \ eta ^ {2}}} \ højre).}$

I det er:

• ${\ displaystyle A _ {\ text {E}} = {\ tfrac {F_ {0}} {k}}}$: amplituden af ​​excitereren eller afbøjningen, når kraften er statisk .${\ displaystyle F_ {0}}$
• ${\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ omega} {\ omega _ {0}}}}$: exciteringsfrekvensen relateret til den naturlige frekvens
• ${\ displaystyle D = {\ frac {\ gamma} {\ omega _ {0}}}}$: den relaterede, dimensionsløse Lehrs dæmpning , som ofte også udtrykkes af kvalitetsfaktoren . Kvalitetsfaktoren betyder, at den angiver antallet af svingninger, hvorefter amplituden er henfaldet til den oprindelige værdi ( i fravær af en ekstern kraft) (efter svingninger op ).${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle Q = {\ tfrac {1} {2D}}}$${\ displaystyle e ^ {- \ pi} \! \ cirka 4 \, \%}$${\ displaystyle {\ tfrac {Q} {\ pi}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {e}} \ ca. 37 \, \%}$

Afhængigheden af ​​amplituden på exciteringsfrekvensen er vist i figuren. Det kaldes resonanskurven for systemets amplitude eller amplitude respons . Det har et maksimum ved resonansfrekvensen , hvis (stiplet linje i figuren). For en mere detaljeret beskrivelse af fænomenerne nær det maksimale af amplituderesponsen, se artikelresonans . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {R}} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} -2 \ gamma ^ {2}}} = {\ sqrt {1-2D ^ {2} }} \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}> {\ sqrt {2}} \ gamma}$

Faseskiftet er (med tegnkonventionen brugt her) til lave exciteringsfrekvenser mellem 0 og 90 °. I det kvasistatiske tilfælde , dvs. H. Hvis excitationen varierer meget langsomt, følger svingningen af ​​systemet svingningen af ​​den spændende kraft med en let forsinkelse. Udtrykket for stationær svingning kan transformeres her (for ) til ${\ displaystyle \ omega <\ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}}$

${\ displaystyle X (t) \ approx {\ frac {1} {k}} \, F (t- \ Delta t)}$,

hvor angiver forsinkelsestiden. Derfor er afbøjningen med en langsomt varierende kraft nøjagtigt så stor i hvert øjeblik som den ville være med den kraft, der virkede kort før, hvis den virkede konstant. ${\ displaystyle \ Delta t \ approx {\ frac {2 \ gamma} {\ omega _ {0} ^ {2}}}}$${\ displaystyle X (t)}$${\ displaystyle F (t- \ Delta t)}$

Ved decelerationen når nøjagtigt 90 °, så kraft og hastighed altid ændrer deres tegn på samme tid og således strømmer energi konstant ind i det oscillerende system. Ved denne exciteringsfrekvens er den energi, der er lagret i svingningen, på sit maksimale. ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {0}}$

Forsinkelsen øges yderligere ved en højere exciteringsfrekvens. Når systemet er ophidset langt over resonansfrekvensen, svinger systemet næsten i fase modstand mod den spændende kraft.

Sving ind fra hvileposition

For at finde den bevægelse, der matcher den oprindelige tilstand "hvileposition" , i den generelle formel ${\ displaystyle x (0) = 0 \ ;; \ {\ dot {x}} (0) = 0}$

${\ displaystyle x (t) = X (t) + x_ {d} (t)}$

de relevante værdier bruges til parametrene og den dæmpede frie svingning . I det enkleste tilfælde er nulpunktet baseret på den stationære svingning og indstillet til en nulkrysning af . Derefter: ${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$${\ displaystyle x_ {d} (t)}$${\ displaystyle X (t)}$

${\ displaystyle X (t) = A (\ omega) \; \ sin \ omega t}$.

Den spændende kraft gives derefter af. Den oprindelige tilstand "hvileposition" er lige fra ${\ displaystyle F (t) = F_ {0} \ sin (\ omega t + \ varphi (\ omega))}$

${\ displaystyle x (t) = A (\ omega) \ left (\ sin \ omega t - {\ frac {\ omega} {\ omega _ {d}}} e ^ {- \ gamma t} \ sin \ omega _ {d} t \ right)}$

Opfylder. Dette afspejler den komplette rækkefølge af bevægelser. Det andet udtryk i parentes repræsenterer den forbigående proces.I tilfælde af langsom excitation er dens bidrag lille eller endog ubetydelig. Det bliver dog mere og mere vigtigt med stigende exciteringsfrekvens . I tilfælde af højfrekvent excitation tegner det sig for den største del af bevægelsen i en vis periode, indtil præfaktoren deri opfylder betingelsen på grund af dæmpningen . ${\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {d}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {d}}$${\ displaystyle {\ frac {\ omega} {\ omega _ {d}}} e ^ {- \ gamma t} <1}$

I tilfælde af lav dæmpning ( eller ) er der en udtalt beatadfærd ved exciteringsfrekvenser i resonansområdet : Oscillatoren oscillerer ved centerfrekvensen , hvor amplituden moduleres. Det starter ved nul og varierer med halv forskelfrekvensen, stigende og faldende sinusformet. Først og fremmest "svinger" svingningen, indtil den første amplitudemaksimum nås omkring tiden . Med svag dæmpning ( ) kan dobbelt resonansamplitude for steady state nås. ${\ displaystyle \ gamma \ ll \ omega _ {d}}$${\ displaystyle D \ ll 1}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ omega + \ omega _ {d})}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ omega - \ omega _ {d})}$${\ displaystyle t_ {A _ {\ text {max}}} = {\ frac {\ pi} {| \ omega - \ omega _ {d} |}}}$${\ displaystyle A _ {\ text {max}} = A (\ omega) \ left (1 + {\ frac {\ omega} {\ omega _ {d}}} e ^ {- \ gamma t_ {A _ { \ tekst {max}}}} \ højre)}$${\ displaystyle \ gamma \ ll | \ omega - \ omega _ {d} |}$${\ displaystyle A _ {\ text {max}}}$${\ displaystyle A _ {\ text {res}} \ approx A (\ omega _ {0})}$

Jo tættere exciteringsfrekvensen kommer til den naturlige frekvens , jo længere tid tager opbygningen ( ). I tilfælde af den nøjagtige amplituderesonans har den forbigående proces den særligt enkle form ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {d}}$${\ displaystyle t_ {A _ {\ text {max}}} \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle (\ omega = \ omega _ {d})}$

${\ displaystyle x (t) = A (\ omega _ {d}) \ left (1-e ^ {- \ gamma t} \ right) \ sin \ omega _ {d} t}$.

Her nærmer amplituden sig steady-state resonansamplitude asymptotisk uden overskydning.

Grænsetilfælde af forsvindende dæmpning

I det teoretiske ideelle tilfælde forsvinder dæmpningen . Det er derfor ikke længere muligt at tale om en kortvarig proces, da den stammer i dæmpet tilfælde fra den henfaldende naturlige svingning af den frie oscillator. ${\ displaystyle \ gamma = 0}$

Stationær og generel løsning uden for resonans

For sinusformet periodisk excitation er der imidlertid også en veldefineret stationær svingning omkring hvilepositionen med vinkelfrekvensen som følger af den generelle formel (se ovenfor) for øjeblikkeligt: ${\ displaystyle \ omega \ neq \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$

${\ displaystyle X (t) = \ left ({\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}}} A _ {\ tekst {E}} \ højre) \ cdot \ sin \ omega t.}$

Med langsom excitation er amplituden af ​​denne stationære svingning lige så stor som afbøjningen i det statiske tilfælde . Når resonansen nærmer sig , vokser den ud over alle grænser og falder igen mod en højere frekvens, nedenfra er den mindre end . Under den naturlige frekvens er den stationære svingning i fase med kraften (faseforskydning ) ved en exciteringsfrekvens over den naturlige frekvens, den er i antifase ( ). ${\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}}$${\ displaystyle A _ {\ text {E}}}$${\ displaystyle \ omega \ rightarrow \ omega _ {0}}$${\ displaystyle \ omega> {\ sqrt {2}} \, \ omega _ {0}}$${\ displaystyle A _ {\ text {E}}}$${\ displaystyle \ varphi (\ omega) = 0 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ varphi (\ omega) = 180 ^ {\ circ}}$

Den generelle løsning af bevægelsesligningen kaldes (altid under antagelse ) ${\ displaystyle \ omega \ neq \ omega _ {0}}$

${\ displaystyle {x (t) = X (t) + x_ {0} (t) = \ left ({\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2 } - \ omega ^ {2}}} A _ {\ text {E}} \ højre) \ cdot \ sin \ omega t + A_ {0} \ cdot \ sin (\ omega _ {0} t- \ varphi _ {0})}}$.

De to frie parametre skal bestemmes i henhold til de oprindelige betingelser . Bortset fra i dette tilfælde er der en overlejring af to harmoniske svingninger, i tilfælde af et slag, der (teoretisk) varer i nogen tid. ${\ displaystyle A_ {0} \, \ varphi _ {0}}$${\ displaystyle x (0), \ {\ dot {x}} (0)}$${\ displaystyle A_ {0} = 0}$${\ displaystyle \ omega \ approx \ omega _ {0}}$

Speciel og generel løsning som svar

En særlig opløsning, der er egnet til den oprindelige tilstand , opnås som følger: I ovenstående formel for den forbigående proces fra hvilepositionen ${\ displaystyle x (0) = 0, \ {\ dot {x}} (0) = 0}$

${\ displaystyle x (t) = A (\ omega _ {d}) \ left (1-e ^ {- \ gamma t} \ right) \ sin \ omega _ {d} t}$.

kan erstattes af grænsesagen : ${\ displaystyle \ gamma \ rightarrow 0}$

${\ displaystyle \ omega _ {d} \ rightarrow \ omega _ {0} \ ;; \ quad A (\ omega _ {d}) \ rightarrow {\ frac {F_ {0}} {2m \ omega _ {0} \ gamma}} \ ;; \ quad 1-e ^ {- \ gamma t} \ rightarrow \ gamma t}$.

Det følger:

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {F_ {0}} {2m \ omega _ {0}}} \ cdot t \ cdot \ sin \ omega _ {0} t}$.

Følgelig stiger amplituden med resonans excitation fra hvilepositionen proportionalt med tiden, teoretisk over alle grænser. For den generelle opløsning til eventuelle indledende betingelser skal der tilføjes en fri svingning med passende parametre til denne formel som ovenfor . ${\ displaystyle x_ {0} (t) = A_ {0} \ cdot \ sin (\ omega _ {0} t- \ varphi _ {0})}$${\ displaystyle A_ {0} \, \ varphi _ {0}}$

Begræns sagsfri partikel

Selv uden en genoprettende kraft kan en krop udføre en periodisk bevægelse, hvis en ekstern kraft virker på den i overensstemmelse hermed. Eksempler på sådanne "vibrationer" er glidning eller rulning af en genstand på en overflade, når friktionen er lav, og overfladen ikke forbliver vandret med tilstrækkelig nøjagtighed. Specifikt: når en kop glider på bakken, og du vil bringe den til hvile ved at vippe den i den modsatte retning, eller når dækgodset er revet løs på et svajende skib, eller når du i et tålmodighedsspil dirigerer kugler ind i en depression ved at vippe spillerfladen er. Bevægelsens ligning (i en dimension, notation som ovenfor) er

${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} = F (t)}$.

Det svarer til den harmoniske oscillator med en naturlig frekvens . ${\ displaystyle \ omega _ {0} = 0}$

En periodisk excitation kan f.eks. B. kan realiseres ved skiftevis at hælde overfladen. I tilfælde af sinusformet excitation gælder ovenstående udsagn for tvungen svingning, hvorved dette skal indstilles og derfor altid gælder for exciteringsfrekvensen . Formlen for amplituden bliver som følger: ${\ displaystyle \ omega _ {0} = 0}$${\ displaystyle \ omega> \ omega _ {0}}$

${\ displaystyle A (\ omega) = {\ frac {\ frac {F_ {0}} {m}} {\ omega {\ sqrt {\ omega ^ {2} + (2 \ gamma) ^ {2}}} }}}$.

Jo lavere exciteringsfrekvensen er, jo større afbøjninger. "Resonanskatastrofen" vil helt sikkert forekomme, hvis . Det kan ikke forhindres ved dæmpning . Bevægelsen er forsinket i forhold til kraften. Faseskiftet er givet ved ${\ displaystyle A \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ gamma> 0}$

${\ displaystyle \ varphi (\ omega) = \ arctan \ left (- {\ frac {2 \ gamma} {\ omega}} \ right)}$.

Derfor er det næsten 180 ° med svag dæmpning ( ) og falder til 90 ° for stærk dæmpning ( ). ${\ displaystyle \ gamma \ ll \ omega}$${\ displaystyle \ gamma \ gg \ omega}$

litteratur

• Horst Stöcker: Pocket book of physics. 4. udgave, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4

Individuelle beviser

1. ↑ University College London: Kvantemekanik forklarer effektiviteten af ​​fotosyntese , phys.org, artikel 9. januar 2014, adgang til 18. april 2021.