Forventet værdi

Den forventede værdi (sjældent og tvetydigt gennemsnit ), som ofte forkortes med, er et grundlæggende udtryk i stokastik . Den forventede værdi af en tilfældig variabel beskriver det tal, som den tilfældige variabel gennemsnitligt antager. For eksempel, hvis det underliggende eksperiment gentages på ubestemt tid, er det gennemsnittet af resultaterne. Den store tals lov beskriver den nøjagtige form, hvori gennemsnittene af resultaterne tendere mod den forventede værdi som antallet af forsøg stiger, eller med andre ord, hvordan prøvegennemsnit konvergerer hen imod den forventede værdi som de prøvestørrelse stiger . ${\ displaystyle \ mu}$

Det bestemmer lokaliseringen (positionen) af fordelingen af de tilfældige variabler og kan sammenlignes med det empiriske aritmetiske middel for en frekvensfordeling i beskrivende statistik. Det beregnes som det sandsynlighedsvægtede middel af de værdier, som den tilfældige variabel antager. Det behøver dog ikke at være en af ​​disse værdier i sig selv. Især kan den forventede værdi antage værdierne . ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

Fordi den forventede værdi kun afhænger af sandsynlighedsfordelingen , taler vi om den forventede værdi af en distribution uden henvisning til en tilfældig variabel. Forventningsværdien af ​​en tilfældig variabel kan ses som sandsynlighedsmassens tyngdepunkt og betegnes derfor som dets første øjeblik .

motivering

Tallene på terningerne kan ses som forskellige egenskaber ved en tilfældig variabel . Fordi de (faktisk observerede) relative frekvenser nærmer sig de teoretiske sandsynligheder for de enkelte tal i henhold til loven om store tal med stigende stikprøvestørrelse , skal middelværdien stræbe mod den forventede værdi af . For at beregne dette vægtes de mulige værdier med deres teoretiske sandsynlighed. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ operatorname {E} (X) & = & 1 \ cdot P (X = 1) +2 \ cdot P (X = 2) +3 \ cdot P (X = 3) +4 \ gange P (X = 4) +5 \ gange P (X = 5) +6 \ gange P (X = 6) \\ & = & (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \ cdot {\ tfrac {1} {6}} = 3 {,} 5. \ end {array}}}$

Ligesom resultaterne af matricevalserne er middelværdien tilfældig . I modsætning hertil er den forventede værdi en fast indikator for fordelingen af ​​de tilfældige variabler . ${\ displaystyle X}$

Definitionen af ​​den forventede værdi er analog med det vægtede middel af empirisk observerede tal. For eksempel, hvis en serie på ti terningforsøg returnerede resultaterne 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5, kan den tilsvarende middelværdi

${\ displaystyle {\ bar {x}} = (4 + 2 + 1 + 3 + 6 + 3 + 3 + 1 + 4 + 5) \ cdot {\ tfrac {1} {10}} = 3 {,} 2 }$

alternativt kan beregnes ved først at opsummere de samme værdier og veje dem i henhold til deres relative frekvens :

${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ tfrac {2} {10}} \ cdot 1 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 2 + {\ tfrac {3} {10}} \ cdot 3 + {\ tfrac {2} {10}} \ cdot 4 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 5 + {\ tfrac {1} {10}} \ cdot 6 = 3 {,} 2 }$.

Generelt kan gennemsnittet af tallene i kast være som ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle 1 \ cdot h_ {n} (1) +2 \ cdot h_ {n} (2) +3 \ cdot h_ {n} (3) +4 \ cdot h_ {n} (4) +5 \ cdot h_ {n} (5) +6 \ cdot h_ {n} (6),}$

skrive, som angiver den relative frekvens af antallet af punkter. ${\ displaystyle h_ {n} (k)}$${\ displaystyle k}$

Koncept og notation

udtryk

Begrebet den forventede værdi går tilbage til Christiaan Huygens . I en afhandling om hasardspil fra 1656, "Van rekeningh in play van geluck", beskriver Huygens den forventede gevinst i et spil som "het is my soo veel weerdt". Frans van Schooten brugte udtrykket expectatio i sin oversættelse af Huygens 'tekst til latin . Bernoulli vedtog udtrykket introduceret af van Schooten i hans Ars conjectandi i form valor expectationis .

notation

Symbolet E for forventet værdi eller forventning blev introduceret i den engelske litteratur indtil det 20. århundrede. I dag er engelsk og tysk matematisk litteratur ofte bruger den notation eller eller med kantede parenteser eller for den forventede værdi af den stokastiske variabel . Krøllede seler bruges også lejlighedsvis.${\ displaystyle \ operatorname {E} \ venstre (X \ højre)}$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ venstre (X \ højre)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} \ venstre [X \ højre]}$${\ displaystyle \ mathbb {E} \ venstre [X \ højre]}$${\ displaystyle X}$

Udtrykket findes i russisk-sproget litteratur .${\ displaystyle M (X)}$

Indimellem udelades parenteserne omkring den tilfældige variabel, hvilket svarer til notationen for operatorer : eller . Med den notation, der også forekommer , er der ingen fare for, at operatøren forveksles med en tilfældig variabel. Notationen med de firkantede parenteser fremhæver specifikt det faktum, at dette er en funktionel . ${\ displaystyle \ operatorname {\ it {E}} X}$${\ displaystyle \ operatorname {\ it {M}} X}$${\ displaystyle \ mathbb {E} X}$${\ displaystyle \ mathbb {E}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} \ venstre [X \ højre]}$

Betegnelsen af den forventede værdi af den tilfældige variabel understreger ejendommen som et første øjeblik, der ikke er afhængigt af tilfældigheder. Bra-Ket-notationen bruges i fysikken . Især i stedet for at skrive for den forventede værdi af en mængde . ${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ langle X \ rangle}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X)}$${\ displaystyle X}$

Definitioner

Hvis en tilfældig variabel er diskret eller har en densitet , eksisterer følgende formler for den forventede værdi.

Forventet værdi af en diskret reel tilfældig variabel

I den virkelige diskrete tilfælde er den forventede værdi beregnet som summen af de produkter af sandsynligheder for hver mulig resultat af forsøget og ”værdier” disse resultater.

Hvis en reel diskret tilfældig variabel, der accepterer værdierne med de respektive sandsynligheder (med som et tællbart indekssæt ), beregnes den forventede værdi i tilfælde af eksistens med: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle (p_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i \ i I} x_ {i} p_ {i} = \ sum _ {i \ i I} x_ {i} P (X = x_ {i })}$

Det skal bemærkes, at der ikke siges noget om rækkefølgen af ​​summeringen (se summable familie ).

Er , så har en endelig forventning, hvis og kun hvis konvergensbetingelsen${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X)}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ rightarrow \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {a} | x_ {i} | p_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | p_ {i} <\ infty}$er opfyldt, dvs. serien for forventningsværdien er absolut konvergent .

Den følgende egenskab er ofte nyttig til ikke -negative heltal tilfældige variabler

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X \ geq i).}$

Denne egenskab er bevist i afsnittet om forventning om en ikke-negativ tilfældig variabel.

Forventet værdi af en reel tilfældig variabel med densitetsfunktion

Hvis en reel tilfældig variabel har en sandsynlighedsdensitetsfunktion , dvs. hvis billedmålet har denne tæthed i forhold til Lebesgue -målet , beregnes den forventede værdi i tilfælde af eksistens som ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle P ^ {X}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

(1) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operatorname {E} (X) = \ int _ {\ mathbb {R}} xf (x) \, \ mathrm {d} \ lambda (x).}$

I mange applikationer er der (generelt forkert ) Riemann -integritet, og følgende gælder:

(2) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, \ mathrm {d} x.}$

Det svarer til denne ligning, hvis fordelingsfunktionen af er: ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle X}$

(3) ${\ displaystyle \ displaystyle \ quad \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-F (x)) \, \ mathrm {d} x- \ int _ {- \ infty} ^ {0} F (x) \, \ mathrm {d} x.}$

(2) og (3) er ækvivalente under den almindelige antagelse ( er en densitetsfunktion og er en fordelingsfunktion af ), hvilket kan bevises med skolebaserede midler.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$

For ikke -negative tilfældige variabler følger det vigtige forhold til pålidelighedsfunktionen heraf ${\ displaystyle R (t) = 1-F (t)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-F (t)) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {\ infty } R (t) \, \ mathrm {d} t.}$

generel definition

Den forventede værdi at svare til Lebesgue integral i forhold til sandsynlighedsmål defineret: Er et mål for den relative integrerede eller kvasi integrerbare stokastisk variabel på et sandsynlighedsrum med værdier i , hvor den Borel σ algebra løbet , er det defineret som ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle ({\ overline {\ mathbb {R}}}, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, \ infty \}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {\ Omega} X \, \ mathrm {d} P = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) \ mathrm {d} P (\ omega ) \,}$.

Den tilfældige variabel har en forventet værdi præcis, når den er kvasi-integrerbar , dvs. integralerne ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} X ^ {+} (\ omega) \, \ mathrm {d} P (\ omega)}$ og ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} X ^ {-} (\ omega) \, \ mathrm {d} P (\ omega)}$

er ikke begge uendelige, hvor og betegner den positive såvel som den negative del af . I dette tilfælde, eller kan ansøge. ${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle X ^ {-}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ infty}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = - \ infty}$

Forventningsværdien er endelig, hvis og kun hvis den er integrerbar, dvs. ovenstående integraler er over og begge er begrænsede. Dette svarer til ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X ^ {+}}$${\ displaystyle X ^ {-}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | X (\ omega) | \, \ mathrm {d} P (\ omega) <\ infty.}$

I dette tilfælde skriver mange forfattere, at den forventede værdi eksisterer eller er en tilfældig variabel med en eksisterende forventet værdi , og udelukker således sagen eller . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Forventet værdi af to tilfældige variabler med en fælles densitetsfunktion

Har de integrerbare tilfældige variabler og en fælles sandsynlighedstæthedsfunktion , derefter forventningsværdien for en funktion beregnet ud fra og i henhold til Fubinisættet til ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle g (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (g (X, Y)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x, y) f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

Forventningen til er kun endelig, hvis integralet ${\ displaystyle g (X, Y)}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | g (x, y) \ højre | f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$

er begrænset.

I særdeleshed:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x, y) \, \ mathrm {d } x \, \ mathrm {d} y}$

Forventningsværdien beregnes ud fra kantdensiteten som i tilfælde af univariate fordelinger:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}$

Kanttætheden er givet ved ${\ displaystyle f_ {X} (x)}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x, y) \, \ mathrm {d} y}$

Elementære egenskaber

Linearitet

Forventningsværdien er lineær , så for enhver tilfældig variabel , der ikke nødvendigvis er uafhængig , det ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (aX_ {1} + bX_ {2}) = a \ operatorname {E} (X_ {1}) + b \ operatorname {E} (X_ {2})}}$

er. Der er særlige tilfælde

${\ displaystyle \ operatorname {E} (cX + d) = c \ operatorname {E} (X) + d}$,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (cX) = c \ operatorname {E} (X)}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {E} (d) = d}$.

Lineariteten kan også udvides til begrænsede summer:

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {E} (X_ {jeg})}$

Lineariteten af ​​den forventede værdi følger af integralets linearitet.

ensformighed

Er næsten sikker , og eksisterer , så ${\ displaystyle X \ leq Y}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X), \ operatorname {E} (Y)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) \ leq \ operatorname {E} (Y)}$.

Sandsynligheder som forventede værdier

Sandsynlighederne for hændelser kan også udtrykkes ved hjælp af den forventede værdi. For hvert arrangement gælder ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (A) = \ operatorname {E} (\ chi _ {A}) \,}$,

hvor er den indikatorfunktion af . ${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

Denne forbindelse er ofte nyttig, for eksempel for at bevise Chebyshev -uligheden .

Triangel ulighed

Det gælder

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {E} (X) \ right | \ leq \ operatorname {E} (| X |)}$

og

${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X + Y |) \ leq \ operatorname {E} (| X |) + \ operatorname {E} (| Y |)}$

Eksempler

kaste terningerne

Eksperimentet er et terningekast . Vi betragter antallet af rullede punkter som en tilfældig variabel , hvor hvert af tallene 1 til 6 rulles med en sandsynlighed på 1/6. ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i = 1} ^ {6} i \ cdot {\ frac {1} {6}} = 3 {,} 5}$

For eksempel, hvis du kaster terningerne 1000 gange, dvs. du gentager det tilfældige eksperiment 1000 gange og lægger de rullede tal sammen og dividerer med 1000, er resultatet en værdi tæt på 3,5 med stor sandsynlighed. Det er imidlertid umuligt at få denne værdi med et enkelt terningkast.

Sankt Petersborgs paradoks

Den Sankt Petersborg Paradox beskriver et hasardspil, hvis tilfældig sejr har en uendelig forventet værdi. Ifølge klassisk beslutningsteori, som er baseret på reglen om forventet værdi , bør man derfor risikere en vilkårligt høj indsats. Da sandsynligheden for at miste indsatsen er 50%, synes denne anbefaling imidlertid ikke at være rationel. En løsning på paradokset er at bruge en logaritmisk hjælpefunktion . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X \ succcurlyeq Y \ Venstrehøjre pil \ operatorname {E} (X) \ geq \ operatorname {E} (Y)}$

Tilfældig variabel med tæthed

Den virkelige tilfældige variabel er givet med densitetsfunktionen ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {x}} & 3 \ leq x \ leq 3 \ mathrm {e}, \\ & \\ 0 og {\ text {ellers}} \ slut {cases}}}$

hvor betegner Eulers konstant. ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$

Den forventede værdi af er beregnet som ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (X) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- \ infty} ^ {3} x \ cdot 0 \, \ mathrm {d} x + \ int _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} x \ cdot {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x + \ int _ {3 \ mathrm {e}} ^ {\ infty} x \ cdot 0 \, \ mathrm {d} x \\ & = 0+ \ int _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} 1 \, \ mathrm {d} x + 0 = [x] _ {3} ^ {3 \ mathrm {e}} = 3 \ mathrm {e} -3 = 3 (\ mathrm {e } - 1). \ Slut {justeret}}}$

generel definition

Givet er sandsynligheden plads med , at magt sæt af og til . Den forventede værdi af tilfældig variabel med og er ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle \ Omega = \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3} \}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle P (\ {\ omega _ {i} \}) = {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X (\ omega _ {1}) = X (\ omega _ {2}) = 1}$${\ displaystyle X (\ omega _ {3}) = 2}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {\ Omega} X \, \ mathrm {d} P = X (\ omega _ {1}) P (\ {\ omega _ {1} \} ) + X (\ omega _ {2}) P (\ {\ omega _ {2} \}) + X (\ omega _ {3}) P (\ {\ omega _ {3} \}) = 1 \ cdot {\ frac {1} {3}} + 1 \ cdot {\ frac {1} {3}} + 2 \ cdot {\ frac {1} {3}} = {\ frac {4} {3}} }$

Da det er en diskret tilfældig variabel med og , kan den forventede værdi alternativt beregnes som ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P (X = 1) = P (\ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2} \}) = {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle P (X = 2) = P (\ {\ omega _ {3} \}) = {\ tfrac {1} {3}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = 1 \ cdot P (X = 1) +2 \ cdot P (X = 2) = 1 \ cdot {\ frac {2} {3}} + 2 \ cdot { \ frac {1} {3}} = {\ frac {4} {3}}}$

Andre ejendomme

Forventet værdi af en ikke-negativ tilfældig variabel

Hvis er og er næsten helt sikkert ikke-negativ, så ifølge Fubini-Tonellis sætning (firkantede parenteser angiver prædikatkortlægningen ) ${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle X \ i L ^ {p}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {p}) = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) ^ {p} \, \ mathrm {d} P (\ omega) = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {\ infty} px ^ {p-1} [x \ leq X (\ omega)] \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} P (\ omega) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {\ Omega} px ^ {p-1} [x \ leq X (\ omega)] \, \ mathrm {d} P (\ omega) \, \ mathrm {d} x = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P {\ big (} \ {\ omega \ in \ Omega \ mid x \ leq X (\ omega) \} {\ big)} \, \ mathrm {d} x}$

Det er det også

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {p}) = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P (X \ geq x) \, \ mathrm {d} x = p \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {p-1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x.}$

(Den sidste lighed er korrekt, der for næsten alle .) ${\ displaystyle P (X = x) = 0}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

De følgende velkendte særlige tilfælde resultater for: ${\ displaystyle p = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (X \ geq x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (X> x) \, \ mathrm {d} x.}$

For heltal, ikke -negative tilfældige variabler, gælder følgende fordi

${\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x = P (X \ geq n + 1)}$

ovenstående formel:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ int _ {i} ^ {i + 1} P (X> x) \, \ mathrm {d} x = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} P (X \ geq i + 1) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (X \ geq i).}$

Sigma additivitet

Hvis alle tilfældige variabler næsten helt sikkert er ikke -negative, kan den endelige additivitet endda udvides til -additivitet: ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {E} (X_ {i})}$

Forventet værdi af produktet af n stokastisk uafhængige tilfældige variabler

Hvis de tilfældige variabler er stokastisk uafhængige af hinanden og kan integreres, gælder følgende: ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \! \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {E} (X_ {i})}$

især også

${\ displaystyle \ operatorname {E} \! \ left (X_ {i} X_ {j} \ right) = \ operatorname {E} \! \ left (X_ {i} \ right) \ cdot \ operatorname {E} \ ! \ venstre (X_ {j} \ højre)}$ til ${\ displaystyle i \ neq j}$

Forventet værdi af produktet af tilfældige variabler, der ikke er stokastisk uafhængige

Hvis de tilfældige variabler og ikke er statistisk uafhængige klausuler gælder for produktet: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \! \ left (XY \ right) = \ operatorname {E} \! \ left (X \ right) \ operatorname {E} \! \ left (Y \ right) + \ operatorname { Cov} \! \ Venstre (X, Y \ højre)}$

Det er den kovariansen mellem og . ${\ displaystyle \ operatorname {Cov} \! \ venstre (X, Y \ højre)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Forventet værdi af en sammensat tilfældig variabel

Er en sammensat stokastisk variabel, sige er uafhængige stokastiske variable og er identisk fordelte og på defineret, kan det repræsenteres som ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle N, X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y: = \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$.

Hvis de første øjeblikke eksisterer , gælder det ${\ displaystyle N, X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y) = \ operatorname {E} (N) \ operatorname {E} (X_ {1})}}$.

Denne erklæring er også kendt som formlen for Wald . Hun er z. B. brugt i forsikringsmatematik .

Monoton konvergens

Hvis de ikke -negative tilfældige variabler næsten helt sikkert er monotont voksende punkt for punkt og næsten helt sikkert konvergerer til en anden tilfældig variabel , gælder følgende ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} \ operatorname {E} (X_ {i}) = \ operatorname {E} (X)}$.

Dette er sætningen om monoton konvergens i den sandsynlige formulering.

Beregning ved hjælp af den kumulative genereringsfunktion

Den kumulative genererende funktion af en tilfældig variabel er defineret som

${\ displaystyle g_ {X} (t) = \ ln \ operatorname {E} (e ^ {tX})}$.

Hvis den er afledt og vurderet til 0, er den forventede værdi:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = g '_ {X} (0)}$.

Så den første kumulant er den forventede værdi.

Beregning ved hjælp af den karakteristiske funktion

Den karakteristiske funktion af en tilfældig variabel er defineret som . Med deres hjælp kan den forventede værdi af den tilfældige variabel bestemmes ved at udlede: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t): = \ operatorname {E} (e ^ {itX})}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = {\ frac {\ varphi _ {X} '(0)} {\ mathrm {i}}}}$.

Beregning ved hjælp af momentgenereringsfunktionen

I lighed med den karakteristiske funktion defineres den momentgenererende funktion som

${\ displaystyle M_ {X} (t): = \ operatorname {E} \ left (e ^ {tX} \ right)}$.

Også her kan den forventede værdi let bestemmes som

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = M_ {X} '(0)}$.

Dette følger af, at den forventede værdi er det første øjeblik, og k-th-derivaterne af den øjeblikkegenererende funktion ved 0 er nøjagtigt de k-th-øjeblikke.

Beregning ved hjælp af sandsynlighedsgenererende funktion

Hvis kun naturlige tal antages som værdier, kan den forventede værdi for også bestemmes ved hjælp af den sandsynlighedsskabende funktion${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle m_ {X} (t): = \ operatorname {E} \ left (t ^ {X} \ right)}$.

at beregne. Det gælder derefter

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X \ right] = \ lim _ {t \ uparrow 1} m_ {X} '(t)}$,

hvis venstre grænse eksisterer.

Bedste tilnærmelse

Hvis en tilfældig variabel er i et sandsynlighedsrum , beskriver den bedste tilnærmelse en i betydningen minimering , hvor a er en reel konstant. Dette følger af den bedste tilnærmelse sætning, da ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} \ venstre (X \ højre)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ left (Xa \ right) ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle \ langle X- \ operatorname {E} (X), b \ rangle = 0}$

for alle konstanter , hvor det normale normale skalære produkt betegner. Denne opfattelse af den forventede værdi gør definitionen af variansen som den mindste middelværdi for kvadratisk afstand meningsfuld, se også Fréchet -princippet . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ langle.,. \ rangle}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Forventningsværdier for funktioner i tilfældige variabler

Hvis der er en tilfældig variabel igen, kan den forventede værdi af også bestemmes ved hjælp af formlen i stedet for at bruge definitionen: ${\ displaystyle Y = g (X)}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y) = \ operatorname {E} (g (X)) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x.}$

Også i dette tilfælde eksisterer den forventede værdi kun, hvis

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ venstre | g (x) \ højre | f_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}$

konvergerer.

For en diskret tilfældig variabel bruges en sum:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (Y) = \ operatorname {E} (g (X)) = \ sum _ {i} g (x_ {i}) p_ {X} (x_ {i}).}$

Hvis summen ikke er endelig, skal serien konvergeres absolut for at forventningsværdien eksisterer.

Relaterede begreber og generaliseringer

Placeringsparametre

Hvis den forventede værdi forstås som tyngdepunktet for fordelingen af ​​en tilfældig variabel, så er det en situationsparameter. Dette angiver, hvor hoveddelen af ​​distributionen er placeret. Yderligere placeringsparametre er

1. Mode : Mode angiver på hvilket tidspunkt fordelingen har et maksimum, dvs. i tilfælde af diskrete tilfældige variabler karakteristikken med den største sandsynlighed og for kontinuerlige tilfældige variabler densitetsfunktionens maksimale positioner. I modsætning til den forventede værdi eksisterer tilstanden altid, men behøver ikke at være unik. Eksempler på tvetydige tilstande er bimodale fordelinger .
2. Den mediane er en anden almindelig placering parameter. Det angiver hvilken værdi på x-aksen, der adskiller sandsynlighedstætheden på en sådan måde, at halvdelen af ​​sandsynligheden findes til venstre og højre for medianen. Medianen eksisterer også altid, men behøver ikke at være entydig (afhængig af definitionen).

Øjeblikke

Hvis den forventede værdi forstås som det første øjeblik , er det tæt forbundet med de højere orden momenter. Da disse igen er defineret af den forventede værdi i forbindelse med en funktion , er de sådan set et specielt tilfælde. Nogle af de kendte øjeblikke er: ${\ displaystyle g (\ cdot)}$

• Den varians : Centreret inertimomentet . Her er den forventede værdi.${\ displaystyle g (X) = (X- \ mu _ {X}) ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu _ {X}}$
• Den skævhed : Centreret tredje moment, normaliseret til tredje potens af standardafvigelsen . Det er .${\ displaystyle \ sigma _ {X}}$${\ displaystyle g (X) = {\ frac {(X- \ mu _ {X}) ^ {3}} {\ sigma _ {X} ^ {3}}}}$
• Den krumning : Centreret fjerde moment, normaliseret til . Det er .${\ displaystyle \ sigma _ {X} ^ {4}}$${\ displaystyle g (X) = {\ frac {(X- \ mu _ {X}) ^ {4}} {\ sigma _ {X} ^ {4}}}}$

Betinget forventet værdi

Den betingede forventede værdi er en generalisering af den forventede værdi for det tilfælde, at visse resultater af det tilfældige forsøg allerede er kendt. På denne måde kan betingede sandsynligheder generaliseres, og den betingede varians kan også defineres. Den betingede forventningsværdi spiller en vigtig rolle i teorien om stokastiske processer .

Kvantemekanisk forventning

Hvis den bølgefunktion en partikel er i en bestemt tilstand og er en operatør, så er ${\ displaystyle \ psi (r, t) = \ langle r | \ psi (t) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {O}} \ rangle _ {| \ psi (t) \ rangle}: = \ langle \ psi (t) | {\ hat {O}} | \ psi (t) \ rangle = \ int _ {M ^ {2}} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ mathrm {d} ^ {n} r ^ {\ prime} \, \ psi ^ {\ star} (r, t) \ langle r | {\ hat {O}} | r ^ {\ prime} \ rangle \ psi (r ^ {\ prime}, t)}$

den kvantemekaniske forventning om i staten . er her det rumlige rum, hvor partiklen bevæger sig, er dimensionen af , og en overskriftsstjerne står for kompleks bøjning . ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$

Hvis den kan skrives som en formel power -serie (og det er ofte tilfældet), så bruges formlen ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$ ${\ displaystyle O ({\ hat {r}}, {\ hat {p}})}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {O}} \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ psi ^ {\ star} (r, t) O (r, {\ frac {\ hbar} {i}} \ nabla _ {r}) \ psi (r, t).}$

Indekset for forventningsværdi -parentes er ikke kun forkortet som her, men undertiden også helt udeladt.

eksempel

Den forventede værdi af opholdsstedet i lokalitetsrepræsentationen er

${\ displaystyle \ langle {\ hat {r}} \ rangle = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, \ psi ^ {\ star} (r, t) r \ psi (r , t) = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} r \, r | \ psi (r, t) | ^ {2} = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ { n} r \, rf (r, t).}$

Den forventede værdi af opholdsstedet i momentumrepræsentationen er

${\ displaystyle \ langle {\ hat {r}} \ rangle = \ int _ {M} \ mathrm {d} ^ {n} p \, \ Psi ^ {\ star} (p, t) i \ hbar {\ vec {\ nabla}} _ {p} \ Psi (p, t),}$

hvor vi har identificeret sandsynlighedstæthedsfunktionen for kvantemekanik i det rumlige rum.

Forventet værdi af matricer og vektorer

Lad være en stokastisk - matrix , med de stokastiske variabler som elementer, så er den forventede værdi af defineret som: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle m \ gange n}$${\ displaystyle (X_ {i, j})}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ mathbf {X} \ right) = \ operatorname {E} {\ begin {pmatrix} X_ {1,1} & X_ {1,2} & \ cdots & X_ { 1, n} \\ X_ {2,1} & X_ {2,2} & \ cdots & X_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ X_ {m, 1} & X_ {m, 2} & \ cdots & X_ {m, n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {E} (X_ {1,1}) & \ operatorname {E} ( X_ {1,2}) & \ cdots & \ operatorname {E} (X_ {1, n}) \\\ operatorname {E} (X_ {2,1}) & \ operatorname {E} (X_ {2, 2}) & \ cdots & \ operatorname {E} (X_ {2, n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ operatorname {E} (X_ {m, 1}) & & operatorname {E} (X_ {m, 2}) & \ cdots & \ operatorname {E} (X_ {m, n}) \ end {pmatrix}}}$.

Hvis der er en - tilfældig vektor : ${\ displaystyle n \ gange 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {E} {\ begin {pmatrix} X_ {1} \\ X_ {2} \\\ vdots \\ X_ {n} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ operatorname {E} (X_ {1}) \\\ operatorname {E} (X_ {2}) \\\ vdots \\\ operatorname {E} (X_ {n} ) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mu _ {1} \\\ mu _ {2} \\\ vdots \\\ mu _ {n} \ end {pmatrix}} = {\ boldsymbol {\ mu}}}$.

Se også

• Funktion til forventningsværktøj
• Forventet værdiregel

litteratur

• Krishna B. Athreya , Soumendra N. Lahiri : Measure Theory and Probability Theory (=  Springer Texts in Statistics ). Springer Verlag , New York 2006, ISBN 0-387-32903-X ( MR2247694 ). 
• Heinz Bauer : Sandsynlighedsteori (=  De Gruyter lærebog ). 5., reviderede og forbedrede udgave. de Gruyter , Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 ( MR1902050 ). 
• Kai Lai Chung : Et kursus i sandsynlighedsteori . Academic Press, Inc. , San Diego (et al.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 ( R1796326 ). 
• Walter Greiner : Quantum Mechanics . 6. revideret og eksp. Udgave. Udgiver Harri Deutsch , Zürich [u. a.] 2005, ISBN 3-8171-1765-5 . 
• Erich Härtter : Sandsynlighedsberegning for økonomer og naturforskere . 10. udgave. Vandenhoeck & Ruprecht , Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9 . 
• Norbert Henze : Stokastik for begyndere . 10. udgave. Springer Spectrum , Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
• Achim Klenke : Sandsynlighedsteori . 3., revideret og suppleret udgave. Springer Spectrum , Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-6 . 
• Norbert Kusolitsch : Måle- og sandsynlighedsteori . En introduktion (=  Springer -lærebog ). 2., reviderede og udvidede udgave. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 . 
• M. Loève : Sandsynlighedsteori I (=  kandidattekster i matematik . Bind 45 ). 4. udgave. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 ( MR0651017 ). 
• Vladimir Spokoiny , Thorsten Dickhaus : Basics of Modern Mathematical Statistics (=  Springer Texts in Statistics ). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 ( MR3289985 ). 

Weblinks

• Interaktiv visualisering af kubeeksempel

Individuelle beviser

1. ↑ Norbert Henze: Stokastik for begyndere . Vieweg + Teubner, 2008. ISBN 978-3-8348-9465-6 . S. 79.
2. ↑ https://jeff560.tripod.com/stat.html
3. ↑ Baden-Württemberg-lærere bruger stavemåden [1]${\ displaystyle \ operatorname {E} \ venstre (X \ højre)}$
4. ↑ David Meintrup og Stefan Schaffler - Stokastik: Teori og anvendelser. Springer-Verlag 2005.
5. ^ Eugen-Georg Woschni: Informationsteknologi: Signal, system, information . 1981
6. ↑ Se f.eks. (I tysk oversættelse) AN Širjaev : Sandsynlighed 1988, s. 52 ff!
7. ↑ Se Ilʹja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 23. udgave. 1987, ISBN 3-87144-492-8 . Operatøren er angivet med kursiv her.
8. ^ John Aldrich: Tidligste anvendelser af symboler i sandsynlighed og statistik . online
9. ^ Ross, SM: Introduktion til sandsynlighedsmodeller , Academic Press, 2007, 9. udgave, s. 143, ISBN 0-12-598062-0 .
10. ↑ H. Wirths: Forventningsværdien - skitser til udvikling af begreber fra klasse 8 til 13. I: Mathematik in der Schule 1995 / Heft 6, s. 330–343.