Debye-model

Det Debye model beskriver en fremgangsmåde, med hvilken bidraget fra de kvantiserede vibrationer i krystalgitre , de fononer , til varmekapaciteten af en krystallinsk faststof kan beregnes; det opstår bl.a. fandt ud af, at dette normalt er hovedbidraget.

Denne “teori om den specifikke varme af krystaller” udviklet af Peter Debye i 1911 og 1912 betragtes som en af ​​de første teoretiske bekræftelser af kvantesatsen, der blev præsenteret af Max Planck i 1900 .

Grundlæggende

Dispersionsforhold sammenlignet med resultatet af simple harmoniske oscillatorer

Sammenlignet med Einstein-modellen fra 1906, som antager uafhængige oscillatorer med identiske frekvenser , antager Debye-modellen et stort antal mulige frekvenser og en ikke-nul-formeringshastighed for alle bølger eller fononer. ${\ displaystyle N}$

Imidlertid antages langbølgetilnærmelsen overalt; H. For enkelheds skyld antages det, at vinkelfrekvensen og bølgevektoren under en materialespecifik afskæringsfrekvens, Debye-frekvensen , altid er strengt proportional med hinanden ( dvs. en lineær dispersionsrelation gælder). Én langsgående og to tværgående lydbølger - frihedsgrader antages. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$

Hvad der er bemærkelsesværdigt ved denne tilgang er, at det (bortset fra ikke- langsomme lysbølger ) er identisk med Plancks antagelser til beregning af hulrumsstråling, hvis lydens hastighed erstattes af lysets hastighed . For et strålende hulrum (→ Plancks lov om stråling , Stefan-Boltzmanns lov ) resulterer således formler med samme struktur som for et opvarmet fast stof, hvor partikler vibrerer i et gitterlignende arrangement. I begge tilfælde følger karakteristiske " T ³ love" (se nedenfor).

Telefoner findes kun op til en maksimal frekvens (i Debye-modellen op til ). Dette skyldes summen af ​​alle mulige vibrationstilstande , da deres samlede antal højst kan være tre gange antallet af vibrerende gitterpartikler ( atomer ). Det følger også, at der i princippet ikke er noget mindre end den maksimale frekvens af en tilsvarende harmoniske oscillator (se billedet) uden frekvens begrænsning: . ${\ displaystyle \ omega _ {D}}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$${\ displaystyle \ omega _ {D} \ lessapprox \ omega _ {\ rm {max}}}$

Resultater

Debye temperaturer af forskellige materialer

	${\ displaystyle \ Theta _ {\ mathrm {D}}}$ i K
diamant	1850
krom	610
α-jern	464
aluminium	428
kobber	345
sølv	215
guld	165
natrium	160
at føre	95

Debye model korrekt forudsiger temperaturafhængighed varmekapacitet i både lav- og højtemperatur grænser .

Den mellemliggende adfærd, dvs. H. Det gennemsnitlige temperaturområde er kun beskrevet af Debye-teorien i form af en "rimelig interpolation ", som kan forbedres, hvis det er nødvendigt (se nedenfor). ${\ displaystyle T \ approx \ Theta _ {\ mathrm {D}}}$

Lavt temperaturområde

I det lave temperaturområde, dvs. H. for ( er Debye-temperaturen ) gælder følgende for phonondelen af ​​varmekapaciteten: ${\ displaystyle T \ ll \ Theta _ {\ mathrm {D}}}$${\ displaystyle \ Theta _ {\ mathrm {D}}}$

${\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {12 \, \ pi ^ {4}} {5}} \, N \, k _ {\ mathrm {B}} \ cdot \ underbrace {\ left ({\ frac {T} {\ Theta _ {\ mathrm {D}}}} \ højre) ^ {3}} _ {\ ll 1}}$

Med

• antallet af atomer i krystallen${\ displaystyle N}$
• den Boltzmann konstant ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$
• ${\ displaystyle \ Theta _ {D} = {\ frac {\ hbar \, \ omega _ {D}} {k _ {\ mathrm {B}}}}}$
  • Debye (cirkel) frekvens ${\ displaystyle \ omega _ {D}}$
  • den reducerede Planckian-kvantitet af handling .${\ displaystyle \ hbar}$

Debye-temperaturen er proportional med en effektiv lydhastighed , hvortil de tværgående lydbølger bidrager med 2/3 og de langsgående lydbølger 1/3: ${\ displaystyle c _ {\ rm {eff}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Theta _ {\ mathrm {D}} ^ {3}}} \ propto {\ frac {1} {c _ {\ rm {eff}} ^ {3}}}: = {\ frac {1} {3}} \ venstre ({\ frac {2} {c_ {t} ^ {3}}} + {\ frac {1} {c_ {l} ^ {3}}} \ ret).}$

Opførelsen ved lav temperatur er korrekt, fordi Debye-tilnærmelsen i Limes stemmer overens med den nøjagtige (se nedenfor). ${\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {D}}$${\ displaystyle g (\ omega)}$

Høj temperaturområde

I det høje temperaturområde, i. H. for gælder den interne energi og dermed varmekapaciteten ${\ displaystyle T \ gg \ Theta _ {D}}$ ${\ displaystyle U = 3 \, N \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}$

${\ displaystyle C_ {V} = 3 \, N \, k _ {\ mathrm {B}} \,}$.

I denne Limes, som med Einstein-modellen, resulterer loven i Dulong-Petit .

Opførelsen ved høj temperatur er korrekt, fordi Debye-tilnærmelsen pr. Konstruktion også er sumreglen

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {max}}} g (\ omega) \, {\ rm {d}} \ omega \ equiv 3N}$

Opfylder.

Densitet af stater

Den tæthed af stater følger af Debye-modellen:

${\ displaystyle g (\ omega) \, d \ omega = g (k) \, dk}$.

${\ displaystyle \ Leftrightarrow g (\ omega) = g (k) \ cdot {\ frac {d (k)} {d (\ omega)}}}$

med det cirkulære bølgenummer . ${\ displaystyle k}$

Men nu holder det generelt i k-space :${\ displaystyle g (k) = {\ frac {L} {\ pi}}}$

og ifølge Debye-modellen:, ja${\ displaystyle \ omega = v_ {s} \ cdot k}$${\ displaystyle {\ frac {d (k)} {d (\ omega)}} = {\ frac {1} {v_ {s}}}}$

og dermed samlet:

${\ displaystyle g (\ omega) = {\ frac {L} {\ pi}} \ cdot {\ frac {1} {v_ {s}}}.}$

Grund

Debye-modellen tilnærmer sig dispersionsforholdet mellem fononer lineært på den givne måde. Beregningen, som også kan udføres elementært for det (realistiske!) Tilfælde, at lydens langsgående og tværgående hastighed adskiller sig betydeligt, tager lang tid, så detaljer udelades her kun af pladshensyn.

Da der i et fast stof højst kan være tre gange så mange vibrationstilstande som atomer , men tætheden af tilstande for høje afviger, skal densiteten afskæres ved en bestemt materialeafhængig frekvens (i Debye-tilnærmelse kl. ). ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {max}}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {max}} = \ omega _ {D}}$

Baseret på den nøjagtige formel for vibrationsenergi :

${\ displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {max}}} {\ frac {g (\ omega) \, \ hbar \, \ omega} {e ^ {\ frac {\ hbar \, \ omega} {k _ {\ mathrm {B}} \, T}} - 1}} \, \ mathrm {d} \ omega}$

med antallet af svingningstilstande med cirkulære frekvenser${\ displaystyle g (\ omega) \, \ mathrm {d} \ omega}$${\ displaystyle \ i [\ omega, \ omega + \ mathrm {d} \ omega] \,.}$

ovenstående varmekapacitet resulterer eksplicit ved at udføre integral og differentiering i henhold til temperaturen: ${\ displaystyle C_ {v}}$

${\ displaystyle C_ {v} = {\ frac {\ partial U} {\ partial T}} \,.}$

Bemærk at i stedet for Debye tilnærmelse, den nøjagtige ene er vist ovenfor og den nøjagtige maksimale frekvens anvendes ikke. ${\ displaystyle g_ {D}}$${\ displaystyle g (\ omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$

Ved tilnærmelse lav temperatur benytter man i denne tilnærmelse den øvre integration grænse kan erstattes af , og at de laveste ikke-trivielle henseende til Taylor udvidelser af  g og på sammenfaldende. ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle g_ {D}}$${\ displaystyle \ omega \ til 0}$

For opførsel ved høj temperatur skal du erstatte udtrykket i nævneren med  x og beregne den resterende integral ved hjælp af sumreglen. ${\ displaystyle e ^ {x} -1}$

Tætheden af stater (som udtrykkeligt kræves for Tieftemperaturnäherung er) kan specificeres i Debye modellen, at være. ${\ displaystyle g (\ omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {max}}}$${\ displaystyle \ omega _ {D}}$

Den specifikke beregning af densiteten af ​​tilstande g , der går ud over Debye-tilnærmelsen,  kan ikke løses analytisk generelt, men kun numerisk eller tilnærmet for dele af temperaturskalaen som ovenfor for lave temperaturer. Det er her de ovennævnte forbedringsmuligheder for mellemadfærden ligger.

Generalisering til andre kvasipartikler

Debye-metoden kan udføres på en analog måde for andre bosoniske kvasipartikler i det faste stof, f.eks. B. i ferromagnetiske systemer til magnoner i stedet for fononer. Man har nu andre spredningsforhold for f.eks. B. i nævnte tilfælde og andre sumregler, z. B. På denne måde er der i ferromagneter ved lave temperaturer et magnonbidrag til varmekapaciteten, som dominerer over fononbidraget . I metaller kommer imidlertid hovedbidraget fra elektronerne. Det er fermionisk og beregnes ved hjælp af andre metoder, der går tilbage til Arnold Sommerfeld . ${\ displaystyle \ omega \ til 0}$${\ displaystyle \ omega \ propto k ^ {2}}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {max}}} \, g (\ omega) {\ rm {d}} \ omega = N \,.}$${\ displaystyle \ propto T ^ {3/2}}$${\ displaystyle \, \, \ propto T ^ {3} \ ,,}$${\ displaystyle \ propto T \ ,,}$

Individuelle beviser

1. ^ Peter Debye (1884–1966): Nobelprisvinder for kemi
2. ↑ For en detaljeret klassisk afledning se z. B.: Georg Joos : lærebog om teoretisk fysik . 12. udgave Academic Publishing Company, Frankfurt am Main 1970 - på den ene side Debye-teorien om specifik varme af faste stoffer , side 566 ff eller den anden. Plancks lov ff, s 580 nylige henvisninger til at inkludere. DJ Amit og Y. Verbin : Statistisk fysik, et introduktionskursus , verdensvidenskabelig, 1999; HJW Müller-Kirsten : Basics of Statistical Physics , 2. udgave, World Scientific, 2010.
3. ↑ Yderligere detaljer kan findes f.eks. B. i Werner Döring : Introduktion til teoretisk fysik , bind 5, §14. Göschen Collection, De Gruyter, Berlin 1957