Élie Cartan

Élie Cartan

Élie Joseph Cartan (født 9. april 1869 i Dolomieu , Dauphiné ; † 6. maj 1951 i Paris ) var en fransk matematiker, der bidrog væsentligt til teorien om løgnegrupper og deres anvendelser. Han yder også betydelige bidrag til matematisk fysik og differentiel geometri .

Liv

Cartans far var smed, og familien ville ikke have været i stand til at finansiere hans videregående uddannelse, hvis hans talent ikke var blevet bemærket af en skoleinspektør, mens han gik på folkeskolen i Dolomieu. Han modtog et stipendium til at gå på gymnasiet (Lycée) i Lyon og derefter fra 1888 eliteskolen École normal supérieure i Paris . Efter at have modtaget sin doktorgrad i 1894 underviste han ved universitetet i Montpellier og fra 1896 til 1903 ved universitetet i Lyon. I 1903 blev han professor i Nancy . I 1909 begyndte han endelig at undervise i Paris, hvor han var lektor ved Sorbonne og i 1912 fik professorat i analyse. I 1920 blev han professor i rationel mekanik og i 1924 i geometri. Under første verdenskrig arbejdede han på hospitalet i École normal supérieure, men var stadig aktiv inden for forskning. I 1940 trak han sig tilbage.

Han havde været gift med Marie-Luise Bianconi siden 1903, med hvem han havde fire børn. Hans søn Henri Cartan blev også en stor matematiker. Élie Cartans søster Anna (1878-1923) studerede på École normal de jeune filles i Sèvres og i 1904 modtog hun Agrégation i matematik. Derefter underviste hun i matematiklærernes forberedende arbejde på sin alma mater. Hans datter Hélène (1917–1952) var matematiklærer (hun studerede ved Ècole normal supérieure i Paris), også offentliggjort i Comptes-rendus (1942), men blev hurtigt syg af tuberkulose.

I 1922–1932 svarede Cartan med Albert Einstein om teorien om fjern parallelitet baseret på den torsion , Cartan opdagede . Den Einstein-Cartan Theory (ECT) er en syntese af denne teori med Einsteins generelle relativitetsteori (ART).

I 1915 var Cartan præsident for Société Mathématique de France . I 1931 blev han medlem af Académie des Sciences . I 1939 blev han æresmedlem af London Mathematical Society . I 1949 blev han valgt til National Academy of Sciences . En matematikpris opkaldt efter ham ( Prix ​​Élie Cartan ) tildeles af Académie des sciences. Månekraterne Cartan og asteroiden (17917) Cartan er opkaldt efter ham.

plante

Élie Cartan er bedst kendt for sine studier om klassificeringen af semi-simple komplekse Lie algebras og hans bidrag til differentiel geometri . Mange begreber i teorien om Lie-algebraer, såsom Cartan subalgebras , Cartan-involutionen , Cartan-kriteriet og Cartan-matrixen er opkaldt efter ham. I differentiel geometri bærer Cartan-derivatet og Maurer-Cartan- ligningerne hans navn; undertiden kaldes forbindelser på hovedbundter ( hovedfiberbundter ) også Cartan-forbindelser .

Han viste, at allerede i Newtons fysik på grund af ækvivalensprincippet kan kraftfrie bevægelser fortolkes som lige bevægelser langs en geodesik i en buet " Newton-Cartan rumtid " (svarende til Einsteins tyngdekraftsteori , men med en absolut tid i newtonsk forstand).

Ifølge hans egen optagelse i sit arbejde Notice sur les travaux scientifiques , var hans vigtigste bidrag til matematik den videre udvikling af teorien om Lie-grupper og Lie-algebraer (først i hans afhandling i 1894). I forlængelse af Wilhelm Killing og Friedrich Engels arbejde arbejdede han på komplekse enkle Lie-algebraer. Her identificerede han de 4 vigtigste familier og de 5 ekstraordinære tilfælde, hvor en fuldstændig klassificering blev opnået. Han introducerede også begrebet den algebraiske gruppe , men den så ikke seriøs udvikling før efter 1950.

Han definerede den ensartede notation af alternerende differentierede former, som den stadig bruges i dag. Hans tilgang til Lie-grupperne ved hjælp af Maurer-Cartan-ligningerne krævede andenordens ligninger. På det tidspunkt blev kun første ordens ligninger ( Pfaffs formularer ) brugt. Med indførelsen af ​​2. ordre for derivater og andre ordrer blev formuleringen af ​​relativt generelle systemer med delvise differentialligninger mulig. Cartan introducerede den ydre afledning som en fuldstændig geometrisk og koordinatuafhængig operation. Dette fører naturligvis til behovet for at undersøge forskellige former for enhver grad s. Som Cartan rapporterer, blev han påvirket af den generelle teori om delvise differentialligninger som beskrevet af Riquier.

Cartan opdagede Spinor- konceptet i 1913 i et essay om repræsentationsteori af Liegruppen , som dog kun tiltrak større opmærksomhed efter opdagelsen af Dirac-ligningen i 1928, og navnet Spinor blev opfundet i 1929 af fysikeren Paul Ehrenfest . Cartan kom i vid udstrækning tilbage til spinorer i sine 1938-foredrag om spinorer.

Med disse grundlæggende - løgnegrupper og højere ordens differentialligninger - skabte han et omfattende arbejde og introducerede nogle grundlæggende teknikker såsom bevægelige rammer , som senere blev integreret i almindelige matematiske metoder.

I Notice sur les Travaux Scientifiques deler han sit arbejde i femten dele. I moderne terminologi er disse:

  • Løgnegrupper
  • Repræsentationer fra løgnegrupper
  • Hypercomplex tal , divisionsalgebra
  • Delvise differentialligninger, Cartan-Kähler sætning
  • Ækvivalens teori
  • Integrerbare systemer, teori om forlængelser og involutionssystemer
  • Uendelige dimensionelle grupper og pseudogrupper
  • Differentiel geometri og ledsagende multi-ben (bevægelige rammer, repere mobile)
  • Generelle rum med strukturel gruppe og forbindelser, Cartan forbindelse, holonomy, Weyl tensor
  • Geometri og topologi af løgnegrupper
  • Riemannian geometri
  • Symmetriske rum
  • Topologi af kompakte grupper og deres homogene rum
  • Integrerede invarianter og klassisk mekanik
  • Generel relativitet og spinorer

Han var en pioner inden for mange af disse områder. De fleste - men ikke alle - emner, som han var den første til at komme videre, relativt isoleret og ikke forstået af hans samtidige, blev taget op og udviklet af senere matematikere.

Cartan gav flere plenum foredrag på internationale kongres af Matematikere : i Oslo 1936 (Quelques aperçus sur le 'rolle de la théorie des groupes de Sophus Lie dans le développement de la géométrie moderne), Toronto 1924 (La théorie des groupes et les Recherches recentes de géométrie différentielle) og Zürich 1932 (Sur les espaces riemanniens symétriques).

Skrifttyper

  • Oeuvres complètes, 3 dele i 6 bind, Paris 1952 til 1955, genoptryk Edition du CNRS 1984:
    • Del 1: Groupes de Lie. (I 2 bind), 1952.
    • Del 2, bind 1: Algèbre, formes différentielles, systèmes différentiels. 1953.
    • Del 2, bind 2: Groupes finis, Systèmes différentiels, théories d´équivalence. 1953.
    • Del 3, bind 1: dykkere, géométrie différentielle. 1955.
    • Del 3, bind 2: Géométrie différentielle. 1955.
  • Geometri af Riemannian-rum. Brookline, Massachusetts, 1983, første La geometrie des espaces de Riemann. Gauthiers-Villars, 1925.
  • På manifolder med affin forbindelse og den generelle relativitetsteori. Napoli, Bibliopolis 1986.
  • Teorien om spinorer. Paris, Hermann 1966 (først som Lecons sur le theorie des spineurs, Hermann 1938).
  • Lecons på teorien om rum en forbindelse projektive. Gauthiers-Villars, 1937.
  • La parallelisme absolu et la teori unitaire du champ. Hermann, 1932.
  • La theory des groupes finis et continus et l'analysis situs. Gauthiers-Villars, 1930.
  • Lecons sur la geometry projektive komplekser. Gauthiers-Villars, 1931.
  • Lecons på geometrien af ​​Riemanns rum. Gauthiers-Villars, 1928.
  • Lecons sur les invariants integraux. Hermann, Paris, 1922.
  • Bemærk sur les travaux scientifiques , Gauthier-Villars 1974

litteratur

Se også

Weblinks

Individuelle beviser

  1. ^ Yvette Kosmann-Schwarzbach: Kvindelige matematikere i Frankrig i midten af ​​det tyvende århundrede (Arxiv 2015)
  2. ↑ R. Debever: Albert Einstein - Elie Cartan. Brev om absolut parallelisme 1929-1932. Princeton University Press.
personlig data
EFTERNAVN Cartan, Elie
ALTERNATIVE NAVNE Cartan, Élie Joseph
KORT BESKRIVELSE Fransk matematiker, der bidrog til teorien om Lie-grupper og deres anvendelser
FØDSELSDATO 9. april 1869
FØDSELSSTED Dolomieu , Dauphiné
DØDSDATO 6. maj 1951
DØDSSTED Paris